精品解析：山西晋城市高平市部分学校2025-2026学年高二第二学期6月月考数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级6月月考试题 数 学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】所有样本点都在直线上，是完全线性相关. 斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 3. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A. 144 B. 114 C. 94 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】使用先分组后分配，间接法求解. 【详解】将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法， 所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法. 4. 2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】由题意，服从二项分布， 则，要使最大， 则且 ，解得， 又，所以当为整数时，，； 当不为整数时，，，故. 5. 正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】设，，则， 因为， 可知数列为递增数列，则 当时， ， 可知， 所以． 6. 已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的值有相同的形式，进而构造函数，并用函数的导数判断函数的单调性，再利用单调性判断函数值的大小可得. 【详解】因为，， ， 令，则. 又因为，令，得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因为，所以， 因此. 7. 已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由点到直线的距离小于等于半径，列不等式计算即可求解. 【详解】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 8. 不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据的第75百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A，样本共个数据， ，第75百分位数为第8项数据24，A错误； 选项B，方差， 因为， 故样本均值，样本总和为，B正确； 选项C，若，则， 根据期望性质， 得，C正确； 选项D，正态分布的对称轴为， 由对称性得， 则，D错误. 10. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误. 【详解】已知，根据商的求导法则求导得： . 由题知，因此在上单调递减. 因为，结合单调递减性得： . 由，即， 整理得. 由，即， 整理得. 综上，选项A、B错误，选项C、D正确. 11. 已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 13. 若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______. 【答案】－448 【解析】 【分析】令，和联立求解可得和的值，化简通项，由的指数等于2可解. 【详解】由题意得，所以， 所以的展开式的通项为， 令，解得. 所以的系数为. 故答案为：－448 14. 已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，成等差数列，所以， 当时，可得，解得， 当时，可得， 则， 得到，化简得， 设，则，得到， 则，即数列是公比为2的等比数列， 得到，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 现有两种脑机接口技术和，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表： 技术类型 任务结果 合计 成功 失败 技术 50 10 60 技术 30 30 60 合计 80 40 120 （1）根据小概率值的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关； （2）已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术和的概率分别为，.将上述试验中使用技术，时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率. 附：， 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方即可得解； （2）根据全概率公式求解即可. 【小问1详解】 零假设：任务结果与技术类型无关， 根据列联表中数据，得， 依据小概率值的独立性检验，推断假设不成立， 即任务结果与技术类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 设试验中使用技术时任务结果为成功为事件，试验中使用技术时任务结果为成功为事件， 甲体验的任务结果为成功为事件， 由题意，，，，， 则. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用求出数列首项,再通过与作差得到递推关系,判定为等比数列,进而求出通项公式并验证首项符合. (2)由得出,利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 因为①， 当时,可得，即， 当时，②. 由①②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列，所以, 当时满足上式，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得， 即，则 故. 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为，， ， 所以与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 18. 已知函数. （1）当时，求的极值点； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，极大值点为0 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，进而得到函数的单调性，再求解极值点即可； （2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 当时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则函数的极小值点为，极大值点为0. 【小问2详解】 由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： AI 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. （3）证明：由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级6月月考试题 数 学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A. 144 B. 114 C. 94 D. 78 4. 2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小关系不确定 5. 正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据的第75百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 13. 若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______. 14. 已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 现有两种脑机接口技术和，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表： 技术类型 任务结果 合计 成功 失败 技术 50 10 60 技术 30 30 60 合计 80 40 120 （1）根据小概率值的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关； （2）已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术和的概率分别为，.将上述试验中使用技术，时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率. 附：， 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求. 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知函数. （1）当时，求的极值点； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围. 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $