精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

定远育才学校2025-2026学年高一（下）月考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由题利用复数的除法运算可求复数，根据复数几何意义即可求解. 【详解】根据题意， ，在复平面对应的点为位于第三象限. 故选：C. 2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量平行的坐标表示得出的方程，求解的值，再分别判断充分性和必要性是否成立，从而确定与的条件关系. 【详解】 若平面向量，，则等价于， 又因为，所以， 化简可得：，解得或. 若，则一定满足，充分性成立， 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，选A. 3. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状. 【详解】，分别为向量与方向上的单位向量， 因为，所以的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形，且， 由，，所以， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：A. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为，， 所以． 故选：B． 5. 在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性关系结合平面向量数量积的运算律计算求解. 【详解】平行四边形中，，，， 为的中点，则. 故选：B. 6. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可. 【详解】由题意, 即， 所以 故选：A. 7. 已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先确定向量与轴正方向的夹角，再利用旋转的角度可求答案. 【详解】因为，所以向量与轴正方向的夹角为， 向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为， 此时点在轴上，点的横坐标为0. 故选：C. 8. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，进而求得. 【详解】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据向量的线性的坐标运算即可求解B，根据夹角公式即可求解C，根据投影向量的定义，即可求解D. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B, ,而，故与不共线，故B错误， 对于C，，由于，故与的夹角为，C正确， 对于D，在上的投影向量为，故D正确， 故选：CD 10. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可得判断A，由余弦定理求判断B，再由勾股定理判断三角形为直角三角形求面积判断C，求出三角形斜边判断D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 如图， 因为，所以， 由余弦定理, 所以，故B正确； 因为，所以，即， 所以，故C错误； 由，所以（为三角形外接圆半径）， 故，故D正确. 故选：BD 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】定义法求向量数量积判断选项A；利用向量数量积求，配方法求最小值判断选项B；由正弦定理解三角形，求有两个解时需要的条件判断选项C；由为锐角三角形求角B的范围，结合正弦定理求的取值范围判断选项D. 【详解】中，内角所对的边分别为， 若，则，A选项错误； 当时， ， 当时等号成立，所以最小值为，B选项正确； 由正弦定理，，当有两个解时， 且，的取值范围是，C选项错误； ，，当为锐角三角形时，， 解得，则，， ，所以的取值范围是，D选项正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得模长. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，若，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 14. 设的内角的对边分别为，且，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得，由，可得为锐角，又由，可得为锐角，再由正弦定理求解即可. 【详解】解：由余弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以为锐角，为锐角，且， 由正弦定理可得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数运算的几何意义可得点的坐标，即可求出，即可求得其模长； （2）由平行四边形性质可得，结合向量坐标运算即可求得D点坐标；利用向量夹角的坐标形式，即可求得的值. 【小问1详解】 由题意知， 故， 则，故； 【小问2详解】 因为四点A、B、C、D组成平行四边形，故， 设，则，即， 解得，即； 又，则， 即. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， 又，故， 故三点共线. 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且. （1）求A的大小； （2）若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于，求b和c的长. 【答案】（1） （2）b＝3，c＝5或b＝5，c＝3 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解； （2）利用面积公式求出，联立方程组可求答案. 【小问1详解】 由正弦定理，， 即. 因为，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知①. 又因为，所以②， 联立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及的面积． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 19. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为 （2）四边形周长的取值范围为（米） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）在中，利用余弦定理，结合基本不等式求得的范围，求得四边形的取值范围. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 即，故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R，故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． 【小问2详解】 因为A，B，C，D四点共圆，，所以， 在，由余弦定理可得，， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，又，又，， 所以四边形周长的取值范围为（米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高一（下）月考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 10. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 13. 已知向量，若，则的值为___________. 14. 设的内角的对边分别为，且，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且. （1）求A的大小； （2）若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于，求b和c的长. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及的面积． 19. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $