湖北武汉市武钢三中2025-2026学年高二下学期数学期末模拟卷

**基本信息** 2025-2026学年高二数学期末模拟卷，聚焦选择性必修第二、三册，以新能源汽车、延迟退休等现实情境为载体，融合数列、概率统计、函数导数等知识，梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等比数列、正态分布、独立性检验|第9题结合新能源汽车部件指标正态分布，考查数据分析能力| |填空题|3题15分|二项式定理、等差数列、概率|第14题正四面体爬行概率，渗透数学建模思想| |解答题|5题77分|回归分析、数列求和、导数应用|16题以延迟退休政策调查为背景设计独立性检验与分布列，19题导数零点证明考查逻辑推理，体现数学思维与现实应用的结合|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，a2a3＝8，则a4的值为（　C　） A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】 因为数列{an}是等比数列，可得a2a3＝a1a4，又因为a1＝1，所以a2a3＝a1a4＝8，则a4＝8． 2．已知，则的值为（　B　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 【解析】 因为，所以，所以． x 1 2 3 4 y 5.5 4 3.5 3 3．已知x与y之间的一组数据： 若y与x满足回归方程yx+5，则（　A　） A． B． C． D． 【解析】 ，，根据线性回归方程的性质可知，线性回归方程过样本中心点，则，解得． 4．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的四位偶数有（　C　）个． A．16 B．12 C．10 D．8 【解析】 当个末位数字是0时，前三位任意排有6个，当末位数字式2是，首位只能从1，3中选，再排中间两位共有4个．根据分类计数原理得没有重复数字的四位偶数共有6+4＝10个． 5．学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个8名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个8名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，有两名同学来自同一个班级，记事件A：老师选择的四名同学有两名同学来自同一个班级，记事件B：老师选择的四名同学有两名同学不在同一个班级，故，，由条件概率公式可得． 6．下列说法正确的是（　A　） A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 B．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2 C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D．若随机变量X服从两点分布，，则 【解析】 对于A：因为χ2＝4.712＞3.841＝x0.05，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故A正确．对于B：若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝9D（ξ），故B错误；对于C：事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，故C错误；对于D：随机变量X服从两点分布，设P（X＝1）＝p，则D（X）＝p（1﹣p），显然不是方程的解，故D错误． 7．已知函数f（x）＝x2（3lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　D　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C． D． 【解析】 导函数，由于f（x）有两个极值点， 因此导函数f′（x）＝3x（2lnx+1﹣ax）＝0在x＞0时有两个不同的解，令函数g（x）＝2lnx+1﹣ax，那么函数g（x）＝0在（0，+∞）上有两个不同的解，导函数，当a≤0时，导函数g′（x）＞0，那么函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝0不存在两个不同的解；当a＞0时，令导函数，则，因此函数g（x）在上单调递减，在上单调递增，那么，当x→+∞时，g（x）＜0，当x→0时，g（x）＜0，因为g（x）＝0在（0，+∞）上有两个不同的解，所以，所以． 8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意x，y＞0，总有f（xy）＜f（x）+f（y）+1成立，且当x＞1时，f（x）＜﹣1．设，，c＝f（e）（e≈2.718…），则（　B　） A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【解析】 根据题意，因为定义在（0，+∞）上的函数f（x），且对任意x，y＞0满足f（xy）＜f（x）+f（y）+1，且当x＞1时，f（x）＜﹣1，所以设x2＞x1＞0，则有1，故f（）＜﹣1，则有f（x2）＝f（x1）＝f（x1）+f（）+1＜f（x1），即f（x2）＜f（x1），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，又由0，故，e0，故e，则有f（）＜f（）＜f（e），即a＜b＜c． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动．某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，0＜σ1＜σ2.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（　BC ） A．P（X＜100）＜P（Y＞105） B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 【解析】 因为纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，0＜σ1＜σ2，可得P（X＜100）＝0.5，P（Y＞105）＝0.5，所以P（X＜100）＝P（Y＞105），故A错误；因为0＜σ1＜σ2，所以X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高”，故B正确；因为Y对应的正态曲线的对称轴方程为Y＝105，所以P（Y＜100）＝P（Y＞110），又P（Y＜90）＜P（Y＜100），所以P（Y＜90）＜P（Y＞110），即混动类部件优质品率高于其不合格品率，故C正确；因为X对应的正态曲线的对称轴方程为X＝100，所以P（X＜90）＝P（X＞110），则纯电类部件优质品率等于其不合格品率，故D错误． 10．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　AC　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 【解析】 f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得， ∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故A正确，B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故C正确；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故D错误． 11．在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为Xn，下列结论正确的是（　ACD　） A． B．P（X2＝2）＜P（X3＝3） C．P（X3＝k）＞P（X3＝k+1），其中k＞3 D．E（X2）＝3 【解析】 对于A：n＝2时，3次停止，共有23＝8种，其中恰好在第3次摸完的情况：第1次任意摸一个并记录编号，第2次只能摸第1次记了编号的，第3次摸剩下未记编号的，故共有2×1×1＝2种，则，故A正确；对于B：，则P（X2＝2）＞P（X3＝3），故B错误；对于C：，P（X3＝k+1），所以P（X3＝k）＞P（X3＝k+1），故C正确；对于D：，所以分布列为： X2 2 3 ⋯ n P ⋯ ，，两式相减可得 ，所以，n→+∞时，，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（x﹣y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为 　 　 ．（用数字填写答案）﹣20 【解析】 （x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8 含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28＝﹣20． 14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为_________ ．﹣49 【解析】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10＝10a1+45d＝0，S15＝15a1+105d＝25，∴a1＝﹣3，d，∴Sn＝na1dn2n，∴nSnn3n2，令nSn＝f（n），∴f′（n）＝n2n，∴当n时，f（n）取得极值，当n时，f（n）递减；当n时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，故nSn的最小值为﹣49． 12．一只蚂蚁从正四面体A﹣BCD的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点A的概率为 　　 ． 【解析】 设“蚂蚁爬行n次后仍在顶点A”为事件An，“不在顶点A”为事件Bn，则P（A1）＝0，P（B1）＝1，P（An）+P（Bn）＝1，P（An+1|Bn），P（An+1）＝P（Bn）•P（An+1|Bn）P（Bn）[1﹣P（An）]P（An），则P（An+1）[P（An）]，又P（A1）0，所以数列{P（An）}是等比数列，首项为，公比为，所以P（An）（）n﹣1，所以P（An），所以P（A5），所以蚂蚁爬行5次后仍在顶点A的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某便利店销售草莓，经过市场调研，对连续6天的销售量及销售单价进行统计，销售单价x（元）和销售量y（千克）之间的一组数据如表所示： 天i 1 2 3 4 5 6 销售单价xi 18 19 20 21 22 16 销售量yi 22 20 16 12 10 30 （1）试根据前5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过1.2千克，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ 参考公式：回归直线方程，其中． 参考数据：，． 【解析】 （1）由表中数据可得，，，故，则，故回归直线方程为． （2）当x＝16时，千克，而|28.8﹣30|＝1.2千克，故误差不超过1.2千克，即（1）中所得到的回归直线方程是理想的． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/6 10:17:44；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 16．（本小题满分15分）2025年1月1日起，在全国实施渐进式延迟法定退休年龄政策，通过延长劳动者的工作年限，相应缩短领取养老金的年限，从而在一定程度上减轻养老金的支付压力，有助于养老制度的可持续发展．为了了解民众对这一政策的支持态度，某社保部门随机抽取了100位市民进行问卷调查．调查后，结果统计如表： 支持 不支持 合计 男性 30 20 50 女性 40 10 50 合计 70 30 100 （1）请根据2×2列联表，并根据小概率值为α＝0.05的独立性检验，能否认为民众对延迟退休政策的支持态度与性别有关联？ （2）现从上述样本支持的市民中，按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人作进一步的详细调查，设抽取的3人中女性的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 【解析】 （1）零假设为H0：市民是否支持延迟退休的态度与性别无关联，，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民是否支持延迟退休的态度与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.05； （2）由题意知从支持的70位市民中分层抽样取得7人中，男性有3人，女性有4人，故X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，， ，所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 所以． 17．（本小题满分15分）某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B） 张同学 6天 9天 13天 2天 李同学 6天 6天 6天 12天 假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率． （1）计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率； （2）记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知P（M）＞0，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：P（M|N）＞P（M|）． 【解析】 （1）设事件C为“某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐”，因为30天中张同学午餐去A餐厅用餐的天数为6+9＝15，午餐去A餐厅用餐且晚餐去B餐厅用餐的天数为9，所以． （2）由题意可知：X的所有可能取值为1，2，，，所以X的分布列为： X 1 2 P ． （3）证明：由题知P（N|M）＞P（N|），则，可知P（NM）＞P（N）•P（M），可得P（NM）﹣P（N）P（NM）＞P（N）•P（M）﹣P（N）P（NM），即P（NM）•P（）＞P（N）•P（M），所以，即P（M|N）＞P（M|）． 18．（本小题满分17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，2an＝Sn+n（n∈N*），设bn＝an+1． （1）证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{bn•log2bn}的前n项和Tn； （3）若数列的前n项和为Pn，求证：． 【解析】 （1）证明：由2an＝Sn+n（n∈N*），可得2a1＝S1+1＝a1+1，即有a1＝1，当n≥2时，由2an＝Sn+n（n∈N*），可得2an﹣1＝Sn﹣1+n﹣1，相减可得2an﹣2an﹣1＝Sn+n﹣Sn﹣1﹣n+1＝an+1，即为an＝2an﹣1+1，即有an+1＝2（an﹣1+1），可得bn＝2bn﹣1，则数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列； （2）bn•log2bn＝n•2n，可得Tn＝1•21+2•22+3•23+...+n•2n，则2Tn＝1•22+2•23+3•24+...+n•2n+1，相减可得﹣Tn＝21+22+23+...+2n﹣n•2n+1n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，化为Tn＝（n﹣1）•2n+1+2； （3）证明：数列即{}的前n项和为Pn，可得Pn...． 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣axe﹣x，a∈R． （1）当a＝0时，直线y＝kx（k为常数）与曲线f（x）相切，求k的值； （2）若x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围； （3）若f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1+x2＞2． 【解析】 （1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx．设切点（x0，x0﹣lnx0），则，消k得，解得x0＝e，代入得； （2）因为f（x）＝x﹣lnx﹣axe﹣x，所以， （i）当a＜0时，设g（x）＝x﹣lnx，则，所以当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝1＞0，又﹣axe﹣x＞0，故f（x）≥0恒成立，所以a＜0成立， （ii）当a≥0时，ex+ax＞0，所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故，解得a≤e，又a≥0，所以0≤a≤e，综上所述，a 的取值范围为（﹣∞，e]； （3）证明：因为f（x）有两个零点x1，x2，不妨设0＜x1＜x2，则，即，即，令t（x）＝x﹣lnx，则，所以当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以t（x）min＝t（1）＝1＞0，令h（x）＝xex（x≥1），则h'（x）＝ex+xex＞0，h（x）单调递增，又a＝h（x1﹣lnx1）＝h（x2﹣lnx2），所以x1﹣lnx1＝x2﹣lnx2，即，由t（x）的单调性可知0＜x1＜1＜x2，构造函数T（x）＝t（x）﹣t（2﹣x），x∈（0，1），则T′（x）＝t′（x）+t′（2﹣x）0，故T（x）在（0，1）上单调递减，又因为T（1）＝0，所以T（x）＞0，则T（x1）＞0，即t（x1）＞t（2﹣x1），又因为t（x1）＝t（x2），所以t（x2）＞t（2﹣x1），又x2＞1，2﹣x1＞1，t（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，a2a3＝8，则a4的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知，则的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 3．已知x与y之间的一组数据： x 1 2 3 4 y 5.5 4 3.5 3 若y与x满足回归方程yx+5，则（　　） A． B． C． D． 4．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的四位偶数有（　　）个． A．16 B．12 C．10 D．8 5．学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个8名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为（　　） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　　） A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 B．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2 C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D．若随机变量X服从两点分布，，则 7．已知函数f（x）＝x2（3lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C． D． 8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意x，y＞0，总有f（xy）＜f（x）+f（y）+1成立，且当x＞1时，f（x）＜﹣1．设，，c＝f（e）（e≈2.718…），则（　　） A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动．某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，0＜σ1＜σ2.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（　　） A．P（X＜100）＜P（Y＞105） B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 10．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 11．在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为Xn，下列结论正确的是（　　） A． B．P（X2＝2）＜P（X3＝3） C．P（X3＝k）＞P（X3＝k+1），其中k＞3 D．E（X2）＝3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12． （x﹣y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为 　 　 ．（用数字填写答案） 13． 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为　 　 ． 14． 一只蚂蚁从正四面体A﹣BCD的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点A的概率为 　 　 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某便利店销售草莓，经过市场调研，对连续6天的销售量及销售单价进行统计，销售单价x（元）和销售量y（千克）之间的一组数据如表所示： 天i 1 2 3 4 5 6 销售单价xi 18 19 20 21 22 16 销售量yi 22 20 16 12 10 30 （1）试根据前5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过1.2千克，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ 参考公式：回归直线方程，其中． 参考数据：，． 16．（本小题满分15分）2025年1月1日起，在全国实施渐进式延迟法定退休年龄政策，通过延长劳动者的工作年限，相应缩短领取养老金的年限，从而在一定程度上减轻养老金的支付压力，有助于养老制度的可持续发展．为了了解民众对这一政策的支持态度，某社保部门随机抽取了100位市民进行问卷调查．调查后，结果统计如表： 支持 不支持 合计 男性 30 20 50 女性 40 10 50 合计 70 30 100 （1）请根据2×2列联表，并根据小概率值为α＝0.05的独立性检验，能否认为民众对延迟退休政策的支持态度与性别有关联？ （2）现从上述样本支持的市民中，按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人作进一步的详细调查，设抽取的3人中女性的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 17．（本小题满分15分）某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B） 张同学 6天 9天 13天 2天 李同学 6天 6天 6天 12天 假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率． （1）计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率； （2）记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知P（M）＞0，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：P（M|N）＞P（M|）． 18．（本小题满分17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，2an＝Sn+n（n∈N*），设bn＝an+1． （1）证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{bn•log2bn}的前n项和Tn； （3）若数列的前n项和为Pn，求证：． 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣axe﹣x，a∈R． （1）当a＝0时，直线y＝kx（k为常数）与曲线f（x）相切，求k的值； （2）若x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围； （3）若f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1+x2＞2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $