函数与数列综合问题、函数新定义问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦函数与数列交叉应用及新定义问题，通过典例变式构建从概念理解到综合论证的逻辑链条，提升抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与数列综合问题|3例+3变式|含等差数列证明、伴随函数、实际应用（微生物繁殖）|从数列定义（前n项和）到函数与数列互化，体现模型观念| |函数新定义问题|3例+3变式|涉及性质P、拟等差/等比数列、无穷数列性质|从具体新定义辨析到抽象推理证明，培养逻辑思维与创新意识|

函数与数列综合问题、函数新定义问题专项训练 函数与数列综合问题、函数新定义问题专项训练 考点目录 函数与数列综合问题 函数新定义问题 考点一 函数与数列综合问题 例1．（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，两式相减即可求解； （2）由（1）得到的表达式，分别讨论为奇数和偶数的情况即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 例2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若存在数列满足．称是的“伴随数列”，称为数列的“伴随函数”． (1)若数列的“伴随函数”，求最小的正数的值，使得数列为等比数列． (2)若某数列的“伴随函数” ，证明：； (3)若某数列的“伴随函数”，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出前3项，利用等比中项的性质得出A的表达式求最值； （2）构造函数，利用导数判断单调性求最值证明不等式； （3）结合（2）中的结论，利用累加法构建数列通项公式的不等式，再化简并放缩构造所求不等式，再结合函数放缩求证 【详解】（1）， 由得，，即， 解得最小为4，故当时成立． （2）依题意，定义域为，据定义域分段讨论， 当时，， 令，， 所以，当时，单调递增，即， ，所以，即成立； 当时，， 令，， 故当时，单调递增，即， ，，即成立； 综上，成立 （3）由（2）知， ，令，， 则 ，故 ， 所以当时， 即，可得当时，． 所以，即， 又时，有， 由于， 设 ，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即 ， ， 当时,令，则， 所以，得证． 例3．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)98； (2). 【分析】（1）根据题意，分别求得的值，即可求解； （2）由题意，可求得，则，裂项可求得其前项和，进而可得不等式，解不等式即可得的取值范围. 【详解】（1）由题意，，， 所以，， ， 所以. （2）由题意，， 所以， 则， 所以， 由恒成立，可得， 则，得，则， 即的取值范围为. 变式1．（2026·甘肃酒泉·二模）某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. (1)求的值； (2)令，证明：； (3)在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求概率，然后根据互斥事件的概率公式求解可得； （2）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求出的递推公式，将条件代入化简即可得证； （3）利用数学归纳法，结合函数的单调性即可得证. 【详解】（1）由题知， 经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个后，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以. （2）经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以， 因为，所以， 整理即得. （3）当时，，此时，不等式成立； 假设时，成立. 证右边： 设函数，易知在上单调递增， 因为，所以， 即， 因为，所以， 所以，右边成立； 证左边： 因为，所以， 即， 因为， 所以，所以， 综上，当时，不等式成立. 所以对任意正整数，都有. 变式2．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)数列的通项公式为：. (2)数列的前n项和为：. (3)的取值范围为：. 【分析】（1）利用数列前n项和与通项的关系来求解； （2）先根据（1）的结果求出，再利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）先根据已知条件求出，再区分n为奇数和偶数两种情况讨论不等式恒成立时的取值范围. 【详解】（1）当时，. 当时，. 根据指数运算法则,,则. 当时，也满足. 故数列的通项公式为：. （2）已知，由（1）可知，则， ； 所以. 所以. 故数列的前n项和为：. （3）已知，由（1）可知，则 ①. 当时，，解得. 当时，②. ①②相减得：， 所以. 当时，也满足. 那么不等式可化为. 当n为偶数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立. 当n为奇数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立. 故的取值范围为：. 变式3．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 【答案】(1)（i）;（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到与的关系，进而求出； （ii）通过两递推式相减找到与的关系，再结合平方差公式求出； （2）根据得到的范围，再利用放缩法证明不等式. 【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得： ，又， ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 根据等比数列通项公式可得. 所以. （ii）将与两式相减可得： 即，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 由平方差公式，则 设 ① 则 ② ① - ②得： 所以 则. （2）因为，所以. 由，，可得，. 则. 设 ③ 则 ④ ③ - ④得： 所以. 则. 当足够大时，会大于2025，所以，使得 考点二 函数新定义问题 例1．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【答案】(1)关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质” (2)不存在满足要求的等比数列 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“性质”的定义，判断是否存在严格增的有限数列，，…，，使得和. （2）假设存在满足条件的等比数列，根据“性质”的定义列出等式，通过分析等式是否成立来判断是否存在这样的等比数列. （3）利用函数的连续性、零点存在定理以及等差数列的性质，构造出满足“性质”的严格增的有限等差数列. 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 例2．（2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在时，等式成立 【分析】（1）由，，求解数列，，⋯，共个数即可； （2）由可得，，，⋯，是首项为，公差为的等差数列，故，而，，，⋯，，是公比为的等比数列，并求解，可以得到，再由最大，则最大即可求解； （3）由题意可得，，可得，再由代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，所以，又因为， 所以，，构成等比数列，所以， 所以数列，，⋯，为，，，，，，，，，共个数， 此时，. （2）由，，，⋯，是首项为，公差为的等差数列，故， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，故，因此， 所以，因此，要使最大，则最大，又，故的最大值为， 由，即，故的最大值为. （3）由，，，⋯，是公差为的等差数列，可得：， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，所以，故， 即，又，， 所以，即， 即，即，因此， 所以，所以； 代入验证可得：当时，上式等式成立，此时， 所以当且仅当时，存在满足等式. 例3．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 【答案】(1)①具有性质；②不具有性质. (2)证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）先检查数列是否为严格递增的正整数数列，再代入性质中的等式验证. （2）把与奇数作差，利用性质把换成，再与前个正奇数的和比较. （3）设，将结论转化为证明的项有无穷多个，再用反证法说明若只出现有限次，则最终只能为正或为负，都会与第（2）问得到的恒等关系矛盾． 【详解】（1）①当时，显然为正整数，且. 又因为，所以 . 从而. 前个正奇数的和为，所以. 故数列具有性质. ②当时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取，有. 而，同时 . 所以. 不满足性质中的条件②，故数列不具有性质. （2）由数列具有性质，得． 因此， 所以，所以． （3）设数列满足． 由题知，得，即， 假设中满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 即当时，或． ①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 由第二问可知恒成立.(1) 设，由于当时，，又是整数，有， 所以， 所以对满足的正整数，，与(1)式矛盾． ②若满足的项数有限，同理可得矛盾． ③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足， 因此，存在正整数，使得且， 因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾， 所以数列中有无穷多项为0． 即集合是无限集． 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）将n个不同的数，，，…，（）的任意一个排列，，…，，记为数列． (1)，有，，求的所有元素之和； (2)将正整数n拆分成若干个2的非负整数次幂（、、……）之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为．例如：2可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故；3可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故． （i）求； （ii）求证：，（）． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，求出时的数列，结合求出，进而求出的所有元素之和； （2）（i）根据题意对进行拆分，进而求出；（ii）根据定义进行奇数拆分和偶数拆分进而证明递推式． 【详解】（1）当时，数列是，，这3个数的任意排列，， 当时，对应的不参与求和，当时，对应的参与求和； ， 的所有元素之和为：． （2）（i）由题意可拆分如下： , ． （ii）证明：， 任意整数均可拆分成2的非负整数次幂，而2的幂只有1为奇数， 要得到奇数，必须用奇数个1， 把任意拆分里的1个1去掉，便可得到的一个拆分， 反过来的任意一个拆分加个1，便得到的一个拆分， ； 证明：（）， 对的拆分项进行分类，共两类： 第1类为至少含有两个1的拆分项，第2类至多含1个1的拆分项， 第1类至少含有两个1的拆分项，将两个1去掉，与的拆分项是一一对应的， 故这类拆分的数量为； 第2类至多含1个1的拆分项，而总和为偶数， 故1的个数只能是0个， 的不含1拆分项，可由n的拆分，中各项乘以2得到， ， 的拆分项，与n的拆分项是一一对应的，故此类拆分数为； 综上可得：． 变式2．（2026·山东滨州·二模）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (1)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 【答案】(1)不满足性质①，理由如下： 取，，得，， 计算得​，不是正整数，不属于， 不存在满足条件的​， 因此数列不满足性质①。 (2)同时满足性质①和性质②，理由如下： 验证性质①：对任意，，计算得： ，​ 时为正整数，因此存在使得，性质①成立， 验证性质②：对任意，取，，满足，计算得： ， 因此存在满足条件的，性质②成立，故同时满足两个性质； (3)首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数：显然， 假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由①可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证，若数列中存在正项，则必不存在负项； 综上可得，数列中的项同号. 其次，证明：利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知， 而，故，此时必有，即， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列， 不妨设，其中，（的情况类似） 由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：， 由数列的单调性可知：， 由可得： （**） 由（**）和（*）式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故，代入（**）式，从而. 综上可得，数列的通项公式为：. 即数列为等比数列. 变式3．（2026·广东江门·二模）若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”． (1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式． (2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为． （i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”． （ii）证明：． 【答案】(1)或； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据数列新定义得到方程，解出值，最后验证即可； （2）（i）根据数列新定义得到方程，再构造常数列即可证明； （ii）首先分析得，再对分奇偶数讨论，再利用的单调性，最后取值放缩即可. 【详解】（1）因为是“2-拟等差数列”，所以，则是等差数列，设的公差为. 又是“4-拟等比数列”，所以， 即，即. 当时，由，得； 当时，由，得. （2）（i）由“-拟等比数列”的定义，取，得， 即，得，所以. 由可得， 即，即. 所以是常数列，，即，即是“-拟等差数列”. （ii）由，得， 可知是等比数列，首项为，公比为，故. 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以当为奇数时，； 当为偶数时，. 设，则. 当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 取，其中，则有，即，即， 则. 当为奇数时，. 当为偶数时，. 综上，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与数列综合问题、函数新定义问题专项训练 函数与数列综合问题、函数新定义问题专项训练 考点目录 函数与数列综合问题 函数新定义问题 考点一 函数与数列综合问题 例1．（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 例2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若存在数列满足．称是的“伴随数列”，称为数列的“伴随函数”． (1)若数列的“伴随函数”，求最小的正数的值，使得数列为等比数列． (2)若某数列的“伴随函数” ，证明：； (3)若某数列的“伴随函数”，证明：． 例3．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围. 变式1．（2026·甘肃酒泉·二模）某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. (1)求的值； (2)令，证明：； (3)在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 变式2．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 变式3．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 考点二 函数新定义问题 例1．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 例2．（2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）将n个不同的数，，，…，（）的任意一个排列，，…，，记为数列． (1)，有，，求的所有元素之和； (2)将正整数n拆分成若干个2的非负整数次幂（、、……）之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为．例如：2可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故；3可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故． （i）求； （ii）求证：，（）． 变式2．（2026·山东滨州·二模）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (1)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 变式3．（2026·广东江门·二模）若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”． (1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式． (2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为． （i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”． （ii）证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $