学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷（上海专用，沪教版必修第二册全部+空间直线与平面）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷以沪教版必修二及空间几何为核心，通过傅立叶乐声、简谐运动等跨学科情境，融合三角函数、向量、立体几何等知识，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|三角函数周期、向量投影、直观图面积、异面直线距离等|第12题结合傅立叶乐声考查谐波频率，体现数学与音乐跨学科联系| |选择题|4题/18分|充要条件、空间线面关系、复数模比较、简谐运动图像分析|第16题以简谐运动图像设问，强化数学与物理学科融合| |解答题|5题/78分|立体几何证明与作图、三角函数图像与方程、折叠问题、解三角形综合|第19题折叠问题分层设计，考查空间观念与推理能力；第21题向量应用结合最值求解，体现数学语言表达现实问题|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 数学·参考答案 1、 填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 5 3. 4. 5. 6. 1 7. 3 8 . 9. 10 . 11. 12 .8 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A C C B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.……（7分）    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.……（14分）    18．（14分） 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为.……（7分） （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面.……（4分） （2）由（1）知为与平面所成的角， 在中，，所以， 又，所以， 即与平面所成的角为.……（9分） （3）存在，且，理由如下， 如图在上取点，使，连接，过作交于，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 由，知， 所以在线段上是否存在点，使得平面，且.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形.……（6分） （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为.……（12分） （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1），……（4分） （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得……（11分） （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为.……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 日 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 ■ 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][]【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 日 61 8. 9 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13ˇ14题每题4分，第1516题每题5分） 13[A][B][CI[D] 14[A][BJ[C][D] 15[A][B][C][D] 16[A]BJ[C][D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(14分) E B F D 18.(14分) 2 5π 12 末 12 12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) D D E G.- A 图1 图2 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) B E 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册全部+空间直线与平面。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．函数的最小正周期为________. 【答案】 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 2．已知向量，，则__________. 【答案】 【详解】因为，，所以， ， 则. 3．在中，若，则的大小为__________. 【答案】 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 4．如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于______． 【答案】 【详解】由题设，易知是等腰直角三角形， ， 所以原图中，， 则原图面积为. 故答案为：. 5．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 6．已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 7．在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 8．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可推得，结合夹角范围与余弦函数的单调性即得的取值范围. 【详解】依题意， ,则在方向上的投影向量为， 又因，则， 因， 而函数在上单调递减， 则得， 即的取值范围是. 9．在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 10．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 【答案】 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 11．如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则______． 【答案】 【详解】因为，，，所以， 所以， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 所以， 因为，所以. 12．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 【答案】8 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】当时，一定等于零；反之当时，， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 14．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确. 故选：C. 15．若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 16．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.……（7分）    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.……（14分）    18．（14分）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为.……（7分） （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围……（14分） 19．（14分）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面.……（4分） （2）由（1）知为与平面所成的角， 在中，，所以， 又，所以， 即与平面所成的角为.……（9分） （3）存在，且，理由如下， 如图在上取点，使，连接，过作交于，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 由，知， 所以在线段上是否存在点，使得平面，且.……（14分） 20．（18分）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形.……（6分） （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为.……（12分） （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，.……（18分） 21．（18分）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【详解】（1），……（4分） （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得……（11分） （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 p 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 23 23 123 123 0123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4 4 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 破。 5. 正确填涂 6789 789 6789 6789 5678 6789 456789 123456789 1234 5 6789 0123456789 缺考标记 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 艾南 5 6 8 10. 11. 12. 警 二、选择题（本大题共有4题， 满分18分，第13~14题每题4分，第 1516题每题5分) 妇 13[A][B][C][D] 14[AJ[B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 器 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三 解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) P E B A 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 5π 12 O 11π 12 12 -2 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) D E G-2 B 图1 图2 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) E 数学第6页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 A4考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册全部+空间直线与平面。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．函数的最小正周期为________. 2．已知向量，，则__________. 3．在中，若，则的大小为__________. 4．如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于______． 5．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 6．已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 7．在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 8．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 9．在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 10．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 11．如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则______． 12．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 15．若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 16．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 18．（14分）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 19．（14分）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 20．（18分）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 21．（18分）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 A4考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册全部+空间直线与平面。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．函数的最小正周期为________. 2．已知向量，，则__________. 3．在中，若，则的大小为__________. 4．如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于______． 5．已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 6．已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 7．在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 8．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 9．在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 10．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 11．如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则______． 12．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 15．若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 16．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 18．（14分）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 19．（14分）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 20．（18分）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 21．（18分）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（14分） 18.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （14分） 20.（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（18分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $