7.5 正态分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦正态分布，涵盖密度函数、曲线特点及3σ原则。通过高斯历史情境和食盐包装误差实例导入，衔接离散型随机变量，引导学生从具体数据抽象出钟形曲线，搭建知识支架。 亮点是结合数学眼光、思维与语言，以100个误差数据构建频率分布直方图，抽象出正态曲线培养数学思维，例3用3σ原则解决出行选择问题培养应用意识。帮助学生提升抽象与推理能力，为教师提供系统教学资源和清晰教学思路。

第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布 1 01 情境导入 2 情境导入 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和特殊曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”． 02 正态分布 4 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问 题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个 实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量. 下面我们看一个具体问题. 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差，则是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差(单位：g)的观测值如下： 新知讲解 (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差的分布? 新知讲解 可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示： 其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，面积为和为1. 随着样本数据量越来越大，分组越来越多，组距越来越小， 频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 新知讲解 由函数知识可知，钟形曲线是一个函数. 这个函数是否存在解析式呢? 对任意的，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. O 新知讲解 若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从 正态分布，记为. 特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布. 思考：参数在正态分布中的实际意义是什么? 是反映随机变量取值的平均水平，可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小，可以用样本的标准差去估计. 新知讲解 1.判断正误. (1)正态密度函数的值可正可负，但不能为0. (　 ) (2)正态密度函数的图象与轴之间区域的面积是变化的. (　 ) 2.下列函数是正态密度函数的是( 　) A. B. C. D. 新知辨析 1.正态曲线的特点 (1)曲线位于轴的上方，与轴不相交.  (2)曲线是单峰的，它关于直线对称.  (3)曲线在处达到峰值.   (4)当无限增大时，曲线无限接近x轴. (5)曲线与轴之间的面积为1.  新知讲解 O (6)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移. (7)当一定时，曲线的形状由确定， 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中； 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散.  新知讲解 1.(多选题)已知三个正态密度函数( )的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 新知辨析 2.正态曲线下的面积规律 (1)若，则取值不超过的概率为区域A的面积， 为区域B的面积. (2)正态曲线下对称区域的面积相等，对应的概率也相等. 新知讲解 【例1】一个正态曲线如图所示，试根据该图象写出其正态密度函数的 解析式，求出随机变量的均值和方差. 例题剖析 【练习】若一个正态密度函数是偶函数，且该函数的最大值为， 则该正态密度函数的解析式为　　　　　.  举一反三 【例2】已知随机变量服从正态分布，若， 则(　　) A.0.2 B.0.24 C.0.28 D.0.32 例题剖析 【练习】(多选题)已知随机变量服从正态分布，定义函数 为取值不超过的概率，即.若， 则(　　) A. B. C.在内是减函数 D. 举一反三 03 3原则 19 假定，可以证明： 对给定的，是一个与有关的定值. 新知讲解 由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试 验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外 取值的概率大约只有，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取中的值，这在统计学中称为原则. 新知讲解 【例3】李明上学有时坐公交车, 有时骑自行车. 他各记录了50次坐公 交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平 均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样 本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正 态分布． (1)估计， 的分布中的参数； (2)如果某天有38min可用, 李明应选择哪种交通工具?如果某天 只有34min可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由． 例题剖析 【练习】假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量 服从正态分布(单位:g)，该生产线上的检测员某天 随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515 g. (1)求正常情况下，任抽一包食盐，质量大于515 g的概率为多少? (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即 停产检修，检测员的判断是否合理?请说明理由. 举一反三 04 课堂小结 24 正态分布 课堂小结 $