8.2 一元线性回归模型及其应用 提升训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 围绕一元线性回归模型，通过基础认知、概念深化到综合建模的三阶分层设计，覆盖回归方程、样本中心、相关系数等核心知识点，强化数学建模与数据分析素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|回归直线性质、样本中心|单选/填空聚焦公式直接应用，如样本中心点验证| |概念深化|相关指数、残差分析|多选题强化易混概念辨析，如相关系数与相关性强弱| |综合应用|实际情境建模|解答题结合扶贫、广告投入等真实数据，实现预测与决策分析|

人教A版（2019）选择性必修第三册《8.2 一元线性回归模型及其应用》提升训练 一 、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）设，，，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图，则下列结论正确的是 A. 和成正相关 B. 若直线方程为，则 C. 最小二乘法是使尽量多的样本点落在直线上的方法 D. 直线过点 2.（5分）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，得到组数据，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为 A. B. C. D. 3.（5分）某化工厂为了确定工作效率，进行了次试验，收集数据如下表： 加工零件个数 加工时间分钟 经检验，这组样本数据的两个变量与具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是 A. 成正相关，其回归直线经过点 B. 成正相关，其回归直线经过点 C. 成负相关，其回归直线经过点 D. 成负相关，其回归直线经过点 4.（5分）下列说法不正确的是 A. 回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和越小 B. 若一组观测值，，…，满足…，，若恒为，则 C. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 D. 画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号 5.（5分）已知具有线性相关的变量，，设其样本点为，回归直线方程为，若，为原点，则 A. B. C. D. 6.（5分）某商场为了确定下一年需要的宣传费用，对近年的宣传费用单位：百万元与年销售额单位：百万元进行了初步统计，得出如下数据： 年宣传费用 年销售额 由最小二乘法原理，年销售额与年宣传费用的回归方程为，则 A. B. C. D. 7.（5分）下列说法：  ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；  ②设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加个单位；  ③线性回归方程必过；  ④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患肺病；  其中错误的个数是 A. B. C. D. 8.（5分）某产品在某零售摊位的零售价单位：元与每天的销售量单位：个的统计资料如下表所示： 根据上表得回归直线方程，其中，，据此回归方程估计零售价为元时销售量估计为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）对于线性回归方程，以下判断正确的是 A. 变量与变量负相关 B. 该方程不一定过点 C. 变量时，变量的值一定是 D. 当变量减少一个单位时，平均增加个单位 10.（5分）下列选项中正确的有 A. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小 B. 某中学有高中学生人，初中学生人，小学生人，为了了解学生的学习情况，从中抽取一个容量为的样本，应采用分层抽样 C. 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的回归方程可能是 D. 将某选手的个得分不完全相同去掉个最高分，去掉个最低分，则平均数一定会发生变化 11.（5分）某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近年借阅数据如表： 年份 年份代码 年借阅量万册 根据上表，可得关于的经验回归方程为，下列结论正确的有 A. B. 借阅量，，，，的分位数为 C. 与的线性相关系数 D. 年的借阅量一定不少于万册 12.（5分）给出下列四个命题： 线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强； 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 在回归方程中，变量每增加一个单位时，平均增加个单位． 其中错误命题的序号是    A. B. C. D. 13.（5分）下列叙述正确的是  A. 若事件发生的概率为，则 B. 简单随机抽样都是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等 C. 线性回归直线必过点 D. 对于任意两个事件和， 都有 三 、填空题（本大题共5小题，共25分） 14.（5分）某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：根据表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为__________. 15.（5分）年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年某机构统计了某市个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： 区 区 区 区 区 外来务工人员数 留在当地的人数占比 根据这个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴元，该市区有名外来务工人员，根据线性回归方程估计区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为 ______ 万元参考数据：取 16.（5分）给出下列说法，其中说法正确的序号是__________. 可以刻画回归模型的拟合效果，越接近于，说明回归模型的拟合效果越好 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示解释变量和预报变量的线性相关关系越强 比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型的拟合效果越好 若残差图中个别点的残差比较大，则应确认在采集样本点的过程中是否有人为的错误或模型是否恰当. 17.（5分）下列说法正确的有______填正确命题的序号  ①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；  ②可导函数在处取得极值，则；  ③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；  ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”． 18.（5分）假如女儿身高为单位：关于父亲身高单位：的经验回归方程为，，已知父亲的身高为，则可以估计女儿的身高为 ______ 四舍五入到个位 四 、解答题（本大题共5小题，共60分） 19.（12分）在彩色显像中，根据以往的经验，知道染料光学密度与析出银的光学密度之间的关系可用函数进行拟合我们通过次试验得到如下数据： 试确定参数，的值. 20.（12分）利最小乘法求年销金额关于工作限的回归方程；   调某公司的五名销员，某工作年与推销金额如：   推销员 工限万元 年销金额元 画年推销金额于年限的散并从散图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般律；   附：，． 21.（12分）年月日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利目前，陕西省个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加该地的经济收入变化及构成比例如下表所示： 年份 年 年 年 年 年 年份代号 经济收人单位：百万元 年､年经济收入构成比例： 年份 类别 种植收人 养殖收人 第三产业收人 其他收人 年 年 根据上表，试分析：与年相比，年第三产业､种植业收入变化情况； 求经济收入关于的线性回归方程，并预测年该地区的经济收入. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为 22.（12分）中华人民共和国道路交通安全法第条规定：机动车经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”如表是某十字路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据： 月份 不“礼让斑马线”驾驶员人数 Ⅰ请根据表中所给前个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；  Ⅱ若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”试根据Ⅰ中的回归直线方程，判断月分该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？  Ⅲ若从表中、月份发别选取人和人，再从所选取的人中任意抽取人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率．  参考公式：，． 23.（12分）年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．遂宁市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了个月的月广告投入单位：万元与月销售额单位：万元的数据如表所示： 月广告投入万元 月销售额万元 已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明，并求关于的线性回归方程；  根据的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销售额能突破万元．  参考数据：，，  参考公式：相关系数；  回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 答案和解析 1.【答案】D; 【解析】解：由图可知和成负相关，故A错误；  表示回归直线的斜率，所以，故B错误；  最小二乘法是求到样本点的平均距离最小的直线的方法，故C错误；  回归直线过样本中心点，正确．  故选：．  对个选项，分别进行判断，即可得出结论．  此题主要考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 2.【答案】C; 【解析】解：．  将代入回归方程得．  ．  故选：．  将数据中心代入回归方程得出．  该题考查了线性回归方程经过数据中心的特点，属于基础题． 3.【答案】B; 【解析】  此题主要考查线性相关及回归方程的应用，解答该题的关键是得到样本中心点，为基础题．根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，进而得到结论．    解：因为随着的增大，也增大，所以加工零件的个数与加工时间这两个变量成正相关，排除、，  因为，，  故其回归直线经过点，  故选 4.【答案】D; 【解析】解：，回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和越小，正确；  ，一组观测值，，…，满足…，，若恒为，则，正确；  ，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，正确；  ，画残差图时，纵坐标为残差，横坐标不一定是编号，故错误，  故选：  回归分析变量间的相关关系中的概念及意义对、、、四选项逐一分析即得答案．  此题主要考查变量间的相关关系中的概念及意义，属于基础题． 5.【答案】B; 【解析】解：计算，  ；  回归直线方程为，  ，  解得．  故选：．  根据题意计算平均数、，代入回归直线方程求出的值．  该题考查了平均数与线性回归方程的应用问题，是基础题． 6.【答案】B; 【解析】   此题主要考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．  根据表格中的数据求出，代入回归方程计算，从而得出的值．    解：由表格中的数据得，  所以，  所以，  解得，  故选 7.【答案】C; 【解析】  根据概率与统计的知识，对题目中的问题进行分析、判断即可．  此题主要考查了线性回归方程和独立性检验以及方差的变化特点、相关关系的应用问题，是基础题目．    解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；  对于②，设有一个回归方程，变量增加一个单位时，应平均减少个单位，②错误；  对于③，线性回归方程必过样本中心点，正确；  对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，  我们说某人吸烟，那么他有的可能患肺病，错误；  综上，其中错误的个数是．  故选：．    8.【答案】C; 【解析】解：，．  ，解得．  线性回归方程为．  当时，．  故选C．  求出样本中心点代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令，计算即可．  该题考查了线性回归方程的求解及数值预测，属于基础题． 9.【答案】AD; 【解析】  此题主要考查线性回归，属于基础题. 根据线性回归的知识分析即可.   解析：对于选项，变量与变量负相关，所以项正确  对于选项，线性回归方程必过点，所以项不正确  对于选项，变量时，变量的值不一定是而是可能在附近，所以项不正确  对于选项，在回归方程中，当变量减少一个单位时，平均增加个单位，所以项正确.  10.【答案】ABC; 【解析】  此题主要考查方差、回归直线方程 、分层随机抽样，平均数等，属于基础题.  由方差、回归直线方程 、分层随机抽样，平均数等知识进行判断即可．    解：方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，故正确；  某中学有高中学生人，初中学生人，小学生人，层次明显，应采用分层抽样，故正确；  由于回归方程经过，故正确；  将某选手的个得分不完全相同去掉个最高分，去掉个最低分，则平均数也有可能不发生变化，故错.  故选 11.【答案】ABC; 【解析】解：对于，，，  关于的经验回归方程为，  ，解得，故正确，  对于，，  故借阅量，，，，的分位数为，故正确，  对于，，  于的线性相关系数，故正确，  对于，线性回归方程为，当时，，  故年的借阅量约为万册，故错误．  故选：  对于，结合线性回归方程的性质，即可求解，对于，结合分位数的定义，即可求解，对于，结合相关系数的定义，即可求解，对于，将代入对应的线性回归方程，即可求解．  此题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题． 12.【答案】AB; 【解析】   此题主要考查了相关系数，方差，回归方程，平均数等知识，属于中档题. 根据相关系数判断①；根据平均数的性质判断②；根据方差的性质判断③；根据所给线性回归方程判断④. 解：①因为相关系数的绝对值越大，说明两个变量间相关性越强，所以①不正确； ②给一组数据的每一个数同时加上或减去同一个常数，平均数会相应的增加或减小所加或减的常数，所以②不正确； ③方差反映一组数据的波动的大小，由方差公式知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，所以③正确； ④当每增加一个单位时，可计算得平均增加个单位，所以④正确； 故选 13.【答案】ABC; 【解析】  此题主要考查概率，抽样以及线性回归方程的定义及简单性质.  对各选项逐项判断即可得到答案.    解：关于选项，任何事件发生的概率都不会大于，也不会小于，所以选项正确；  关于选项，简单随机抽样的特点就是不放回抽样，每个个体被抽到的概率相等，所以选项正确；  关于选项，根据线性回归方程的性质，选项正确；  关于选项，只有互斥事件的概率才符合，所以选项错误.  故选  14.【答案】万元; 【解析】由已知得样本中心点是，则，所以回归方程是，把代入得万元. 15.【答案】818.6; 【解析】解：由表知，，  ，，，，五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为，，，，，  所以，  因为样本中心点在上，  所以，  解得，  所以，  当时，，  所以估计区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为元万元．  故答案为：  由表中数据可得，的值，由回归直线方程恒过样本中心点，可求得的值，再把代入回归直线方程，知的值，进而得解．  此题主要考查回归直线方程的求法与应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题． 16.【答案】; 【解析】此题主要考查了回归分析的初步应用，属于基础题由相关概念可得结果.  解：由回归分析的相关概念，知都正确. 17.【答案】②③④; 【解析】解：①相关指数越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好． 错误；   ②可导函数在处取得极值，则；显然正确；   ③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理，由归纳推理与演绎推理的概念可知正确．   ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”，由概念可知正确．   故答案为：②③④．  ①可由相关指数的概念判断；②③④由导数，推理，综合法和反证法的概念判断即可．  该题考查了相关指数，导数，归纳推理，演绎推理，综合法和分析法的概念．属于基础题型，应熟练掌握． 18.【答案】166cm; 【解析】解，当时，可以估计女儿的身高为  故答案为：  把带入回归方程求解即可．  此题主要考查回归方程的预测功能，属于基础题． 19.【答案】解：对两边取自然对数，得 取，，，则，这是对的线性回归方程. 题设中所给的数据经变量置换，，变为如下表所示的数据：    得，， 得，，所以 把和换回来可得， 所以， 所以，; 【解析】此题主要考查了回归直线方程，属于中档题对两边取自然对数，得，取，，，则，这是对的线性回归方程，可求得，把和换回来可得，进而求得结果. 20.【答案】解：年推销额y关于工作年限散点图：   a5-=，   =5，5，b==，   推销金额y关于作年限x的回归直线为y=x+．   点图可以看出，各点散布在从左下到右上角的区域里因，工年限与推销金额之间成正相关，即工作年越，推销额越．   ∴预测工作限是0年的推销的推销金额为万元．; 【解析】  利用式求出线回归方程可；   根据线性回归方程计算时，可到预报．   此题主要考查线性回析的初步应用问题也考查了利用最小乘法线性回归程的应题，是综合题． 21.【答案】解：①与年相比，年第三产业的收入占比大幅度增加；年第三产业的收入为百万元，年第三产业的收入为百万元，收入大幅度增加；  ②与年相比，年种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；          故经济收入关于的线性回归方程为  当时，，则年该地区的经济收入预测为百万元.; 【解析】此题主要考查回归直线方程的求法及应用，属中档题.  从占比与经济收入两方面进行解答即可；  由表格数据，可解得经济收入关于的线性回归方程为，再将，代入即可. 22.【答案】解：（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，  =×（120+105+100+85+90）=100；  ===-8，  ==100-（-8）×3=124；  ∴y与x之间的回归直线方程=-8x+124；  （Ⅱ）由（Ⅰ）知=-8x+124，当x=6时，=-8×6+124=76；  且80-76=4＜5，  ∴6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”；  （Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶员的编号分别为A、B、C、D，  4月份选取的2位驾驶员的编号分别为e、f，  从所选取的6人中任意抽取2人，基本事件是  AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、Bf、  CD、Ce、Cf、De、Df、ef共15种；  其中恰好来自同一月份的概率是  AB、AC、AD、BC、BD、CD、ef共7种；  故所求的概率为P=．; 【解析】  Ⅰ请根据表中数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；  Ⅱ利用回归方程计算时的值，比较即可得出结论；  Ⅲ利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．  该题考查了线性回归方程和列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 23.【答案】解：（1）由题意，知，………………………………（2分）  ∴+（7-4）2=28． ……………………（3分）  结合，可得，  相关系数．（5分）  显然y与x的线性相关程度相当高，从而线性回归模型能够很好地拟合y与x的关系．………………（6分）  易知，，  ∴．  ∴y关于x的线性回归方程为．……………………………………（10分）  （2）若月销量突破100万元，则，  解得x＞14.64．  故当月广告投入大于14.64万元时，月销售额能突破100万元．………………（12分）; 【解析】  通过求解相关系数，然后求解回归直线方程即可．  通过求解预报值判断结果即可．  此题主要考查相关系数的求法，回归直线方程的求法与应用，是中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $