精品解析：广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期月考（三）数学试题

南宁三中2025～2026学年度下学期高二月考（三） 数学试题 2026.6 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 解不等式得或，∴ 或. ∴ . 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则 ，是充分条件， 若，则推不出， 比如： 也可以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 4. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 216 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可. 【详解】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 5. 已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性计算即可. 【详解】因为，，所以. 由对称性可知. 6. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 7. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的单调性，再根据函数的解析式，列式求解. 【详解】由，不妨假设， 则，即，即， 则函数单调递增， ，（且）， 则，解得：. 故选：D 8. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项. 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 10. 已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用条件概率公式，相互独立事件概率公式，并事件概率公式来进行求解即可. 【详解】利用概率加法公式： 由， 代入，，得： ， 又，所以算， 所以事件相互独立，故A正确； 根据条件概率公式计算：​， 则，故B错误； 由，且，得， 因为，所以， 即 ，故C正确； 由可得：， 代入，，可得， 又因为，两式消元解得： ，故D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 曲线与曲线有且仅有个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶性及单调性可判断C；对D构造函数，用导数判断函数的零点可得. 【详解】由函数的定义域：由，，得， 即函数的定义域为. 对于A：，满足奇函数定义，A正确； 对于B ：化简，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确； 对于C，由奇函数性质，， 所以不等式可化为：  ， ，，所以, 又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误； 对于D，设，因为均为奇函数， 所以是奇函数，只需分析： 当时，，即是一个交点； 当时，求导得， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递减，，因此在无零点； 因为是奇函数，所以在无零点， 因此函数在有且仅有零点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义域为的函数满足，则的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 代入，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 13. 两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有_______种． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分组分配策略计算“把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本”的分法种数，再减去“两本图画书分给同一个小朋友”的分法种数即可. 【详解】把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，有种分法， 其中两本图画书分给同一个小朋友的分法有种， 故两本图画书不分给同一个小朋友的分法有种. 故答案为：. 14. 已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6 （1）求样本的相关系数（精确到0.01； （2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③. 【答案】（1）0.98 （2），4.92万元 【解析】 【分析】（1）依次求出和，将相关数据代入相关系数公式，计算即得； （2）利用公式依次求出，即得回归方程，代入，即得销售额估计值. 【小问1详解】 由题意，得， 所以， 所以样本的相关系数约为0.98. 【小问2详解】 因为，所以. 又， 所以， 所以回归方程为， 当时，，所以预测第8天的销售额为4.92万元. 16. 已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设为的前项和，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】(1)设等比数列的公比为,由变形得,解得；结合求得,故.由是公差为1的等差数列及,得,进而得. (2)化简：奇数项,偶数项；将拆分为奇偶项和,奇数项用裂项相消法、偶数项按等比数列求和,最终得. 【小问1详解】 等比数列的公比设为，前项和为， 数列是公差为的等差数列，设 即有，即， 由，，，得， 又，所以， 即为，即，代入解得， 可得；． 【小问2详解】 即为 ． 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且． （1）证明：； （2）若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直证明异面直线垂直； （2）根据为等边三角形，可得的值，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用向量的夹角公式即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，为的中点，∴， 又平面平面，平面平面，平面，故平面， ∵平面，∴， 又∵，且，，平面，∴平面， 又平面，∴． 【小问2详解】 由为等边三角形，，得， 如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，得，取，得，则， 因为为的中点，所以 ， 又，所以， 则， 设直线与平面所成角为，则， 18. 设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由直线的方程为得其斜率为，即 ，结合，可得离心率； （2）（i）先求得点的坐标，根据三角形面积求得的值，从而可得椭圆的方程；（ii） 设直线的方程为，联立椭圆的方程，由判别式为零，结合点到直线的距离公式表示出四边形的面积，求解方程可得的值，从而得直线的方程． 【小问1详解】 由已知，则．，． 【小问2详解】 （ⅰ）设点，于是， 所以或， 而无解；由得 又因为三角形面积，所以， 于是，椭圆的方程为． （ⅱ）设直线：代入椭圆的方程中，得 由已知，即 同时，，， 易知四边形为梯形，所以， 解得，所以. 所以，直线的方程为． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求出函数的定义域，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）参变量分离得，令，所以，构造函数，，利用导数求出该函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以当时，曲线在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 则， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无减区间； 当时，对于函数，. 若时，即当时，对任意的，， 此时函数的增区间为，无减区间； 若时，即当时，由可得， 由可得或， 此时函数的减区间为， 增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【小问3详解】 因为不等式对任意恒成立，则， 因为，则，所以，则， 即， 令，所以， 令，，则， 令，其中， 则， 由（2）知，当时，函数在上为增函数， 因为，则， 所以， 即函数在上为增函数， 此时，则， 所以函数在上单调递增，则，所以， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2025～2026学年度下学期高二月考（三） 数学试题 2026.6 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 216 5. 已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8 6. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 7. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. C. 若，则 D. 若，则 11. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 曲线与曲线有且仅有个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义域为的函数满足，则的解析式为______． 13. 两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有_______种． 14. 已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6 （1）求样本的相关系数（精确到0.01； （2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③. 16. 已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设为的前项和，求． 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且． （1）证明：； （2）若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $