精品解析：2026年四川成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学试卷

2026年成都市高中阶段教育学校统一招生 暨初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；全卷共150分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 2. 如图，是三星堆目前出土的最完整青铜瓿（bù），关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 俯视图与左视图相同 D. 三个视图都不相同 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 截至2026年3月，我国日均词元（，是大模型理解和生成文本时的最小基本单位）调用量突破140万亿．将数据140万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 成都大熊猫繁育研究基地，是全球最大的大熊猫人工繁育与迁地保护机构．基地有6只刚出生的熊猫宝宝，它们的体重分别为（单位：克）：120，100，130，110，90，120，则这组数据的中位数是（ ） A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 6. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（　　） A. B. C. D. 7. 如图，为正五边形的外接圆，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. D. 当时，抛物线的顶点坐标为 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 10. 在平面直角坐标系中，若点和关于轴对称，则点的坐标为_________． 11. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为________． 13. 如图，在中，D为边的中点，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，交于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内交于点P；作直线交于点Q；连接．若，则______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）解不等式组：． 15. 成都作为国家“无废城市”建设试点，已形成制度、市场、监管、设施四位一体的完整体系，是全国生活垃圾分类成效最好的城市之一．为增强学生的环保意识，学校联合环保部门开展环保知识宣传活动，并抽取部分学生进行环保知识测评，现将测试成绩分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（需加强）四个等级，并根据测试结果绘制成如下尚不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角是_________度； （2）所抽取学生测试成绩的中位数处于哪个等级？ （3）为比较甲、乙两班本次环保知识测试的整体情况，分别从两班随机抽取10名学生的成绩（满分100分），具体成绩如下： 甲班：86，88，88，90，91，91，91，92，93，94 乙班：85，87，88，89，90，91，92，93，94，96 其中，甲班学生成绩的平均数为分，方差为． 试分析哪个班级的环保知识掌握情况更稳定，并简要说明理由． 16. 如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 17. 如图，是的内接三角形，为直径，的平分线分别交，于点D，E，过点E作交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，N． （1）求反比例函数的表达式及a的值； （2）若将直线向下平移得到新的直线与反比例函数的图象交于点C，D，连接，，当四边形是矩形时，求平移的距离； （3）若点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数在第一象限内的图象于点P．若，求点T的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知实数，满足，则_________． 20. 已知控制双眼皮的基因是显性基因，控制单眼皮的基因是隐性基因．现有一对夫妇，父亲的基因组成是，母亲的基因组成是，则他们的子女是双眼皮的概率为_________． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是_________（写出一个即可）． 22. 如图，将一张长方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，折痕与折痕交于点，连接，．若，则_________（用含的式子表示）；若，，则的长为_________． 23. 由完全平方公式可知：对于任意实数，，有．将不等式左边展开变形，可得，整理后，得．当，，且为定值时，可取最大值．如：，，，则，即，，的最大值为．若，则的最大值为_________；若，则的最小值为_________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 彭州川芎是四川成都的特色道地药材，有着非常悠久的种植与加工历史．某药材商用1000元购进一批鲜川芎，直接以鲜品形式出售，鲜川芎的售价为每公斤6元；经过干燥加工，干川芎的售价为每公斤30元，但重量会因水分流失减少约，还需支付480元的储存费用．全部销售完，干川芎销售的总利润是鲜川芎直接销售总利润的1.6倍． （1）求鲜川芎的进价； （2）第二次进货时，计划购进鲜川芎和干川芎共300公斤，鲜川芎的数量不少于干川芎数量的，已知干川芎的进价为每公斤24元，应如何设计进货方案才能使销售完这批进货获得的利润最大，最大利润是多少？ 25. 如图，在四边形中，，点E为边上一动点（不与端点重合），作射线，将射线绕点B顺时针旋转后交射线于点F，且． 【初步感知】 （1）如图1，若四边形为正方形，试猜想，，之间的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形为矩形，，设，求的长（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，若四边形为菱形，，连接，M是的中点，连接，求的最小值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）连接，过点C作抛物线的对称轴于点M，连接并延长交抛物线于点E，求的值； （3）在（2）的条件下，过点M的直线交抛物线于P，Q两点，试探究：的度数是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年成都市高中阶段教育学校统一招生 暨初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；全卷共150分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：-8的相反数是8， 故选A． 【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义． 2. 如图，是三星堆目前出土的最完整青铜瓿（bù），关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 俯视图与左视图相同 D. 三个视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图、左视图和俯视图的定义，并结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该图形的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不同． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项合并方程可判定A，根据积的乘方与幂的乘方法则可判定B，利用平方差公式可判定C，利用完全平方公式可判定D即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式与完全平方公式，掌握合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式与完全平方公式是解题关键． 4. 截至2026年3月，我国日均词元（，是大模型理解和生成文本时的最小基本单位）调用量突破140万亿．将数据140万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：140万亿． 5. 成都大熊猫繁育研究基地，是全球最大的大熊猫人工繁育与迁地保护机构．基地有6只刚出生的熊猫宝宝，它们的体重分别为（单位：克）：120，100，130，110，90，120，则这组数据的中位数是（ ） A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据按从小到大顺序排序，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数得到中位数． 【详解】解：首先将原数据从小到大排列得90，100，110，120，120，130， ∵这组数据共有个数，个数为偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴中位数为第个数和第个数的平均数，即． 6. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设大和尚有x人，需要个馒头，则小和尚有人，需要个馒头，依据个和尚分个馒头，正好分完列方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，需要个馒头，则小和尚有人，需要个馒头， 依题意得： 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是表示出大小和尚所需求的馒头数． 7. 如图，为正五边形的外接圆，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，由题意可得，，由等腰对等角并结合三角形内角和定理得出，由切线的性质可得，即可得出结果． 【详解】解：连接、， 由题意可得，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. D. 当时，抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当时，， ∴，故C选项错误； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 在平面直角坐标系中，若点和关于轴对称，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律．关于轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可得关于的一元一次方程，求解得到的值后，代入即可得到点的坐标． 【详解】解：点和关于轴对称， 两点纵坐标相等，可得，解得， 将代入点的横坐标，得， 点的坐标为． 11. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，根据反比例函数的图像和正比例函数的图像均关于原点对称，进而得到点和关于原点对称，求出的值，进而求出的值，进行求解即可． 【详解】解：∵直线 与反比例函数 的图像均关于原点对称， ∴两个图像的交点也关于原点对称，即点和关于原点对称， ∴， ∴，， 把分别代入和中，得， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在中，D为边的中点，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，交于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内交于点P；作直线交于点Q；连接．若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，根据题意得出，结合垂直平分线的性质得出，即可解答． 【详解】解：根据作图步骤可知，， ∵D为边的中点， ∴垂直平分边， ∴． ∵， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： 由①可得：； 由②可得：； ∴原不等式组的解集为． 15. 成都作为国家“无废城市”建设试点，已形成制度、市场、监管、设施四位一体的完整体系，是全国生活垃圾分类成效最好的城市之一．为增强学生的环保意识，学校联合环保部门开展环保知识宣传活动，并抽取部分学生进行环保知识测评，现将测试成绩分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（需加强）四个等级，并根据测试结果绘制成如下尚不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角是_________度； （2）所抽取学生测试成绩的中位数处于哪个等级？ （3）为比较甲、乙两班本次环保知识测试的整体情况，分别从两班随机抽取10名学生的成绩（满分100分），具体成绩如下： 甲班：86，88，88，90，91，91，91，92，93，94 乙班：85，87，88，89，90，91，92，93，94，96 其中，甲班学生成绩的平均数为分，方差为． 试分析哪个班级的环保知识掌握情况更稳定，并简要说明理由． 【答案】（1）60， （2）等级 （3）甲班更稳定， 乙班平均分： 求乙班方差：， 已知， ，方差越小波动越小， ∴甲班的环保知识掌握情况更稳定． 【解析】 【分析】（1）用C级人数÷对应百分比求总数，再用B占比得圆心角； （2）排序后找中间位次，判断中位数所在组别； （3）算乙班平均数、方差，依据“方差越小稳定性越好”对比． 【小问1详解】 解：级24人，占比 ∴总人数：（名） B级18人，圆心角度数： 【小问2详解】 ∵总人数：（名） ∴D人数：（名） ∴四类人数依次为：A级：3名，B级：18名，C级：24名，D级：15名， 中位数是第30、31个数的平均数． 前两级累计：，前三级累计， ∴第30、31名都落在等级． 中位数在等级． 【小问3详解】 略 16. 如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】升降台能达到要求，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴总高度为 ∵， ∴升降台能达到要求． 【解析】 【分析】过点作于点，由题意可得，，，求出，解直角三角形得出的长，即可得出结果． 【详解】略． 17. 如图，是的内接三角形，为直径，的平分线分别交，于点D，E，过点E作交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 【答案】（1）证明：是的直径， ， 又， ， ， ， ， 平分，， ， ， ， ，即． ． （2）， 【解析】 【分析】（1）突破口是为直径，根据圆周角定理，可得，结合，可推出，因此可得弧等于弧． 因为是的角平分线，所以可得到弧等于弧，进而推导弧等于弧，根据同圆中等弧对等弦即可证明结论． （2）由（1）的结论可知，先利用勾股定理求出的长，再结合角平分线得到E点位置，计算出的长，通过证明为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．过点C作，过点D作，利用角平分线的性质得到与的比值，结合的长度求出、的长，再通过相似关系求出的长，最后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 由勾股定理得直径，半径为​． 由（1）知，且 ，为直径， 是等腰直角三角形， ． 又， ​． 如图，连接，过点C作，过点D作， 是的平分线， ， ， ， ​， ，​​， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，N． （1）求反比例函数的表达式及a的值； （2）若将直线向下平移得到新的直线与反比例函数的图象交于点C，D，连接，，当四边形是矩形时，求平移的距离； （3）若点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数在第一象限内的图象于点P．若，求点T的坐标． 【答案】（1），反比例函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线计算可得，即，再利用待定系数法计算即可得出反比例函数的解析式； （2）求出，由勾股定理可得，设直线向下平移的距离为，则直线向下平移后的解析式为，联立得，整理可得，设点，，则，，，，表示出，由矩形的性质可得，由此计算即可得出结果； （3）求出，从而可得，设点，由（2）可得，，则，，求出直线的解析式为，联立，求出，求出直线的解析式为，设直线与轴交于点，则，，表示出，结合，得出，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将点代入直线可得， ∴，即， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得或， 由（1）可得， ∴， ∴， 设直线向下平移的距离为，则直线向下平移后的解析式为， 联立得， 整理可得， 设点，， ∵直线与反比例函数的图象交于点C，D， ∴，，、是方程的两个根， ∴，， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴平移的距离为； 【小问3详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵点T在y轴上， ∴设点， 由（2）可得，， ∵点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点P在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交于点， 当时，，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴或， ∴点T的坐标为或． 【点睛】一次函数的平移法则：上加下减，左加右减；矩形的性质：对边相等． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知实数，满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方的非负性和算术平方根的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数均为，据此得到关于，的二元一次方程组，整理即可求出所求代数式的值． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由得， ∴． 20. 已知控制双眼皮的基因是显性基因，控制单眼皮的基因是隐性基因．现有一对夫妇，父亲的基因组成是，母亲的基因组成是，则他们的子女是双眼皮的概率为_________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】先找出双亲配子结合后所有等可能的基因组合，再统计符合双眼皮性状的组合数，根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：父亲基因组成为，可产生、两种类型的配子，母亲基因组成为，可产生、两种类型的配子． 配子随机结合，列表如下： 父亲 母亲 可知所有等可能的基因组合共有种． 已知双眼皮由显性基因控制，只要含有显性基因即表现为双眼皮，因此符合双眼皮的组合有种． 根据概率计算公式，可得子女为双眼皮的概率为． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，写一个小于等于的数即可） 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式，求出的取值范围，在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ，整理得 ，解得 ， ∴可以取小于等于的任意实数，例如：． 22. 如图，将一张长方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，折痕与折痕交于点，连接，．若，则_________（用含的式子表示）；若，，则的长为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由轴对称图形的性质可知：，分别垂直平分，，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解；设与交于点，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由轴对称图形的性质可知：，分别垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在矩形中，，由折叠可知：，， 设与交于点，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴． 23. 由完全平方公式可知：对于任意实数，，有．将不等式左边展开变形，可得，整理后，得．当，，且为定值时，可取最大值．如：，，，则，即，，的最大值为．若，则的最大值为_________；若，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】仿照题中所给方法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为； ， ∵， ∴， 由可得： ， ∴的最小值为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 彭州川芎是四川成都的特色道地药材，有着非常悠久的种植与加工历史．某药材商用1000元购进一批鲜川芎，直接以鲜品形式出售，鲜川芎的售价为每公斤6元；经过干燥加工，干川芎的售价为每公斤30元，但重量会因水分流失减少约，还需支付480元的储存费用．全部销售完，干川芎销售的总利润是鲜川芎直接销售总利润的1.6倍． （1）求鲜川芎的进价； （2）第二次进货时，计划购进鲜川芎和干川芎共300公斤，鲜川芎的数量不少于干川芎数量的，已知干川芎的进价为每公斤24元，应如何设计进货方案才能使销售完这批进货获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）鲜川芎的进价为每公斤元 （2）购进鲜川芎公斤，干川芎公斤时获得的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设商家购进鲜川芎共公斤，由题意得，进而求解即可； （2）设购进鲜川芎公斤，则购进干川芎公斤，这批进货获得的利润为元，由题意得，，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设商家购进鲜川芎共公斤，由题意得： ， 解得， ∴鲜川芎的进价为（元）； 答：鲜川芎的进价为每公斤元 【小问2详解】 解：设购进鲜川芎公斤，则购进干川芎公斤，这批进货获得的利润为元，由题意得， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； 答：购进鲜川芎公斤，干川芎公斤时获得的利润最大，最大利润为元． 25. 如图，在四边形中，，点E为边上一动点（不与端点重合），作射线，将射线绕点B顺时针旋转后交射线于点F，且． 【初步感知】 （1）如图1，若四边形为正方形，试猜想，，之间的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形为矩形，，设，求的长（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，若四边形为菱形，，连接，M是的中点，连接，求的最小值． 【答案】（1），，之间的数量关系为，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，求出，从而得出，再证明，得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，求出，从而得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出结果； （3）连接，，由菱形的性质可得，，，，证明点、、、四点共圆，得出，即，由等腰三角形的性质可得，由，得出当最大时，取得最小值，令与交于点，当点与点重合，即点在边上时，最大，作于，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形得出，即可得出结果 【小问1详解】 解：，，之间的数量关系为，证明略； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵四边形为菱形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴当最大时，取得最小值， 令与交于点， ∵， ∴， ∴如图，当点与点重合，即点在边上时，最大，作于， ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】相似三角形的性质：对应边成比例；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；全等三角形的对应边相等． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）连接，过点C作抛物线的对称轴于点M，连接并延长交抛物线于点E，求的值； （3）在（2）的条件下，过点M的直线交抛物线于P，Q两点，试探究：的度数是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由 【答案】（1）解析式为，顶点的坐标为． （2）． （3）的度数是定值，． 【解析】 【分析】（1）此问突破口是已知抛物线与x轴的两个交点坐标，因为抛物线过A、B两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，联立方程组求解a、b，得到解析式后，用配方法或顶点坐标公式计算顶点D的坐标． （2）先求点C坐标，由抛物线对称轴确定点M坐标，再求直线的解析式，联立直线与抛物线方程得到点E坐标；求的正切值，可构造包含该角的直角三角形，或通过计算的长度用余弦定理转化，或利用两条直线的夹角公式计算． （3）设过M的直线解析式，与抛物线方程联立，得到P、Q坐标的关系，再通过一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形，勾股定理的逆定理判断是直角三角形，即可验证角度是否为定值． 【小问1详解】 将、代入， 得方程组：， 解得​， 因此抛物线解析式为：， 配方得，顶点的坐标为：． 【小问2详解】 解：连接， 对，令，则， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵对称轴， ∴． 设直线解析式为， 代入、， 得， 解得， ∴直线解析式为． 联立抛物线得， 整理得， 解得（对应点），， 得． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故． 【小问3详解】 解：是定值，大小为．证明如下： 设过的直线解析式为， 则， ∴， ∴， 联立抛物线得， ∴， 整理得：， 设， ∴由韦达定理得：，． ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， 对应点，． ∵ ， 同理， ， ∴ ； ∵ ． ∴， ∴是直角三角形，，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $