湖南衡阳市第八中学2026届高三下学期高考适应性练习卷（五）数学试题

衡阳市八中2026年高考适应性练习卷（五） 数学 请注意：本卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（四个选项你都找不到对的选项，还想在十几亿人中找到对的人……） 1．三年前大家在霸中“集合”，今天终于学有所成，长大成人，老师们高兴啊！已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．学习了简易逻辑之后，大家明白“我爱你”的逆否命题是什么了吗？已知命题，，则（ ） A．p的否定为， B．p的否定为， C．p是真命题 D．p是假命题 3．题目略长，不要彷徨，套路不深，何必当真．某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．周而复始，踏着朝霞当思如何学习，踏着晚霞当思是否进步？函数，的最小值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 5．心是用来碎的，求和公式是用来背的……一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，这个数列的公比等于（ ） A． B． C． D． 6．将一切都体谅，将一切都原谅，你尝试着找答案，而答案很简单，简单的很遗憾……包括甲、乙在内的6名航天员进入A、B、C三个实验舱，已知恰有4名航天员在A舱，则甲和乙在A舱的概率为（ ） A． B． C． D． 7．我们就是抛物线，你是焦点，我是准线，你想我有多深，我念你便有多真．已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．假如生活欺骗了你，不要悲伤，不要心急，应该冷静下来，仔细观察：在三棱锥中，，，M是的中点．则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（有些时候，选择比努力更重要！） 9．题目做对很正常，因为不会做的题还有很多，不会的永远是下一题……下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 10．还是原来的配方，还是熟悉的味道．已知函数（m，），则下列说法正确的是（ ） A．当时，在R上单调递增 B．函数的对称中心为 C．，使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形 D．，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切 11．我们的心就是一个圆形，因为它的离心率永远是零．若两圆，相交，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（ ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．一条直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（确认过眼神，你是不是会做题的人……） 12．读了高中才知道，数绝对不止1，2，3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！设i为虚数单位，则_________． 13．真的好想你，在每一个雨季你选择遗忘的，是数学老师最不舍的题短情长，又要考你求导啦！若直线是曲线的切线，则_________． 14．学校如同一个周而复始的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远……已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（感情不是一个人的独角戏，好的感情都是相互的，别守着一颗不会开花的树，就如同别守着不会做的难题！） 15．（13分）三角是你高一学的吧，想当初你刚入高中，那么青涩，经过军训，经过红五月合唱，经过运动会，经过研学，经过无数次考试的洗礼，你已经长大了．在中，，点D在边上且． （1）求； （2）若，的面积为，求线段的长． 16．（15分）如果有一天我们分居异面直线的两头，那我一定穿越时空的阻隔，画条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留．如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点E，F是棱，上的动点（E，F不与端点重合），且． （1）证明：平面； （2）已知圆柱的体积为，，点A到直线的距离是1．求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，相信波谷过了，波峰还会远吗？ 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： 若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，． （1）由最小二乘法建立y关于t的线性回归方程； （2）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由； （3）现从该区域2026年已经发布的大模型中随机抽取3款，假设各款模型类型相互独立，根据2025年大模型的分布情况，用频率估计概率，求抽取的3款大模型中恰有2款是多模态模型的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 18．（17分）有些事，有些人会永远留在脑海，不会忘记，不会褪色。其实没什么放不下的，只是会觉得，付出了这么多时间，却始终没有被感动…… 已知双曲线（，）的离心率为，一条渐近线方程为． （1）求C的方程； （2）设点P，Q均在C上，且满足． （i）若，证明：；（ii）若直线的斜率为2，求t的值． 19．（17分）你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件． 设函数（，）． （1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （2）设是的导函数，证明：，； （3）是否存在，使得恒成立？若存在，证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2026年高考适应性练习卷（五） 数学参考答案与评分标准 请注意：本卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B D D A C A AC ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．6 14．211或218 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）（2） 【详解】（1）在中，由正弦定理得，可得， 又，所以，所以，即． 因为，所以，所以，可得． 6分 （2）因为的面积为，， 由（1）知，所以，得， 9分 所以，可得，所以，所以． 12分 由已知，在直角中，，可得． 13分 另解： ． 13分 16．【详解】（1）在正方形中，由，得， ，则，，因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又，，平面，所以平面． 6分 （2）（i）设圆柱的底面圆半径为r，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线，，两两垂直，以点B为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设（），则，， 9分 ，，由点A到直线的距离是1，得，则，而，解得，，，设平面的法向量为，则，取，得， 12分 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 15分 17．【答案】（1）；（2）该款大模型更有可能是语言模型；（3）． 【详解】（1）因为，， 表示2025年1月份，表示2025年6月份，所以，，， 所以， 4分 所以，根据， 所以y关于t的线性回归方程为： 7分 （2）已知2026年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差，，残差为：，所以．再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：，，所以，所以根据Q值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型． 11分 （3）由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模 态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为， 13分 设抽取的3款大模型中多模态模型有X款，则， 故． 15分 18．【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意可得，解得，，所以C的方程为． 4分 （2）（i）设，，则， 化简得，所以． 同理，由，可得， 所以． 10分 （ii）由（i）可得点P，Q均在圆上． 设直线的方程为． 由得① 由得②， 且， 方程①②的解均为点P，Q的横坐标，所以， 解得，，满足，，所以t的值为． 17分 19．【答案】（1）；（2）（i）见解析；（ii）存在． 【详解】（1）展开式中二项式系数最大的项是第5项，这项是． 4分 （2）证法一： 10分 证法二：因 而，故只需对和进行比较． 6分 令（），有，由，得 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处有极小值1．故当时，， 从而有，亦即，故有恒成立． 8分 所以，原不等式成立． 10分 （3）对，且有 12分 15分 又因（，3，4，…，m），故，故， 即存在，使得恒成立． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $