精品解析：广西南宁市第三中学2026届高三考前自测数学试卷

南宁三中2026届毕业班收网题 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（   ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 4. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数的值变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 5. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，夹角为钝角，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 过圆上一点的切线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线C的离心率 C. 双曲线C的渐近线方程为 D. 点到C的渐近线的距离为 10. 关于函数，下列说法正确的是（    ） A. 的单调递减区间为 B. 当时，的最小值为 C. 的极大值为 D. 在点处的切线方程为 11. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B. 若，则点到平面的距离为 C. 存在，使得平面 D. 若三棱柱存在内切球，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________ 13. 求值：______.（用数字作答）． 14. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 16. 如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥． （1）证明：平面； （2）当为时，求点到平面的距离． 17. 设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 18. 某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次． （1）如果该学校携带病毒的人占，用统计专家的方法分组化验.（，） （i）按照5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； （ii）按照5个人一组或10个人一组分组化验，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？请说明理由． （2）如果该学校携带病毒的人占，按照个人一组，取多大时化验次数最少？此时大约化验多少次？说明：先减后增 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若存在，使得． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2026届毕业班收网题 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若数列1，b，9是等比数列， 则， 所以. 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 4. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数的值变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】B 【解析】 【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断. 【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小， 相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1， 即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强， 故A、C、D错误，B正确. 故选：B. 5. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，求解即得的取值范围. 【详解】因是定义在上的奇函数， 由可得， 又在单调递增，则函数在上单调递增， 则得，解得. 故选：B 6. 已知，，若，夹角为钝角，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，夹角为钝角，则，且，不共线， 即，则的取值范围为. 7. 过圆上一点的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 8. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD. 【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误； 对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误； 对于C，两个骰子的点数之和为的情况有， 则， 所以，所以与相互独立，C正确； 对于D，两个骰子的点数之和为的情况有， ，所以，D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线C的离心率 C. 双曲线C的渐近线方程为 D. 点到C的渐近线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定、、，再根据双曲线的性质一一判断即可. 【详解】双曲线，则、，所以； 对于A：因为点在双曲线的右支上， 所以，故A正确； 对于B：双曲线C的离心率，故B正确； 对于C：双曲线C的渐近线方程为，故C错误； 对于D：点，所以点到C的渐近线的距离，故D正确. 故选：ABD 10. 关于函数，下列说法正确的是（    ） A. 的单调递减区间为 B. 当时，的最小值为 C. 的极大值为 D. 在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数， ． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，故 A正确； 当时，单调递增，的最小值为，故 B错误； 当时，函数取得极大值，故C正确； ，，它在点处的切线方程为，故 D正确． 11. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B. 若，则点到平面的距离为 C. 存在，使得平面 D. 若三棱柱存在内切球，则 【答案】AB 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，根据向量法判断ABC，首先求等边三角形内切圆的半径，再根据三棱柱存在内切球，再计算. 【详解】如图，以点为原点，向量为轴的正方向，再作， 若，，，，， ，，，故A正确； ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为，且, 所以点到平面的距离为，故B正确； C.设，则，， ，所以不存在，使得平面，故C错误； D. 等边三角形的内切圆的半径为，若三棱柱存在内切球，则，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 求值：______.（用数字作答）． 【答案】20 【解析】 【详解】由组合数性质， 因为， 所以 . 14. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为， 又为的内角，则 故， 所以，所以. 设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得.① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以. 16. 如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥． （1）证明：平面； （2）当为时，求点到平面的距离． 【答案】（1）在梯形中，，则四边形为平行四边形， 而，则是矩形，即 在四棱锥中，， 而平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，根据定义证明线面垂直即可； （2）解法一：根据线面平行的性质，转化为求点到平面的距离，再找到在平面的投影，计算即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再计算点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：已知，，则是正三角形， 取的中点，连接，，则有， 又平面，于是平面， 而，则平面， 又平面，则平面平面， 在平面内过作于， 而平面平面，因此平面， 又，平面，平面，所以平面， 于是点到平面的距离等于， 而，由（1）知，平面， 则平面，又平面，则，而， 则，， 所以点到平面的距离为. 解法二：已知，，则是正三角形， 取的中点，连接，，则有， 由（1）知，平面， 则平面，又平面，则， 如图建立空间直角坐标系， 则可得，，，， ，， 设平面的法向量为，则， 取， 则 所以点B到平面的距离为 17. 设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，运用相关点法即可解决； （2）设，利用点差法得到，所以直线方程为与椭圆方程联立，由韦达定理得到，再由弦长公式得到，原点到直线的距离：，即可求的面积. 【小问1详解】 设，则，由，得， 得，而是圆上的动点，所以，即 【小问2详解】 设，即①，② 两式相减得到， 即 所以， 所以直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理：， 所以， 原点到直线的距离：， 所以. 18. 某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次． （1）如果该学校携带病毒的人占，用统计专家的方法分组化验.（，） （i）按照5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率； （ii）按照5个人一组或10个人一组分组化验，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？请说明理由． （2）如果该学校携带病毒的人占，按照个人一组，取多大时化验次数最少？此时大约化验多少次？说明：先减后增 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 【答案】（1）（i）0.05；（ii）10人一组的分组方式，10个人总的化验次数小于5个人一组总的化验次数 （2），275次 【解析】 【分析】（1）（i）计算5人一组混合血样阴性的概率，根据对立事件的概率求得混合血样呈阳性的概率；（ii）计算5人一组时的总化验次数期望，再计算10人一组时的总化验次数期望，然后进行比较；（2）计算人一组时每人化验次数的期望，利用数列单调性求最优值，计算总化验次数. 【小问1详解】 （i）已知某学校携带病毒的人占， 所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为， 所以，一组混合血样呈阳性的概率约为． （ii）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则可能取的值有． 由（i）知，5个人一组，需要重新化验的概率为，则的分布列为 所以，， 总的化验次数为； 设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则． 10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为， 则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1， 则Y的分布列为 1 11 所以， 总的化验次数为， 所以，10人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少． 【小问2详解】 假设个人一组，设每个组需要化验的次数为， 若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则， ∴的分布列为： ∴ ∴每个人需要化验 ∵先减后增， ，∴ ，∴ ∴当时，最小，最小值为， 次，此时化验次数大约为275次. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若存在，使得． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数导数与函数单调性的关系，判断函数单调性即可. （2）（i）根据函数单调性与函数最值，判断函数图像，以及函数图像，判断有四个零点时的情况，求出参数范围； （ii）根据函数图像，求出四个零点的关系，进而构造函数，根据函数导数判断函数单调性，进而证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 令， 若，则，则，则直线与函数的图象最多有两个交点，不符合题意； 若，，此时存在两个零点， 此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时作直线，其中，直线与的图象存在四个交点， 即存在，使得， 故实数m的取值范围是． （ii）由题意得，， 则，， 令，，注意到，则，即，同理， 要证，即，即证明， 设， 则， 设，设， 则，故在上单调递减， 从而，则，在上单调递减， 故，也即，因此． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $