精品解析：河北衡水市第十五中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试卷

2025−2026学年七年级下学期数学期中考试 一、选择题（共12小题，每题3分，共计36分） 1. 若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴且， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键． 2. 中边上的高的作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 3. 下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据平方差公式的形式： 结合各选项进行判断即可． 【详解】A、原式，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、可以把看做一个整体，故原式=，可以运用平方差公式，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、符合两个数的和与这两个数差的积的形式，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选： B． 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的方法、因式分解与整式乘法的关系即可判断． 【详解】A、，故分解错误； B、，故分解错误； C、，故分解正确； D、，故分解错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的概念，因式分解是与整式乘法相反的一种变形，因此因式分解正确与否可用整式乘法进行验证；注意：在给定的范围内，因式分解一定要分解到再也不能分解为止． 5. 下列说法中正确的有（ ） ①同旁内角互补；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高所在的直线交于一点． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，平行线，三角形的高，解题的关键是掌握相应的概念进行判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故错误； ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故错误； ③在同一平面内，不相交的两条直线必平行，线段不一定平行，故错误； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故正确； ⑥三角形的三条高所在的直线交于一点，故正确； 故有2个正确， 故选：A． 6. 若，则的值为（ ） A. 18 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简原式，再将整体代入即可求解． 【详解】解： ， 将，代入上式可得： 原式， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及到完全平方公式，解题的关键是正确化简原式，理解整体思想． 7. 若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个一次多项式的两个一次项的乘积得到结果中的二次项，两个常数项的积得到结果中的常数项，从而可判断出另一个因式，再利用整式的乘法进行计算，即可得到答案． 【详解】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式， 由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为 常数项为 故选：A 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键． 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A. 20 B. 18 C. 15 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】由，推出即可解决问题． 【详解】解∶平移距离为3， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键． 9. 式子 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可． 【详解】解：设S= ， ∴（2—1）S=（2—1） ∴S= = = = ， 故答案为：C． 【点睛】此题主要考查平方差公式的运算，解题的关键是根据式子的特点进行添项． 10. 如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，∠B，∠D，∠E三个角的大小分别是x，y，z则x，y，z之间满足的关系式是(　　) A. x+z＝y B. x+y+z═180° C. x+y﹣z＝90° D. y+z﹣x＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】先过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，得到∠CNE＝y﹣z，再根据CM∥AB∥EF， 得到∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，∠1+∠2＝90°，即可解答 【详解】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF， ∴CM∥AB∥EF， ∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴x+y﹣z＝90°． 故选C． 【点睛】此题考查平行线的性质，作好辅助线是解题关键 11. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫．在螳螂的示意图中，AB∥DE，是等腰三角形，，，则的度数为（ ） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACB=28°，根据平行线的性质得出∠CFD=∠A=28°，由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数，于是得到结论． 【详解】解：延长ED，交AC于F， ∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=124°， ∴∠A=∠ACB=28°， ∵， ∴∠CFD=∠A=28°， ∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°， ∴∠ACD=72°-28°=44°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质定理是解题的关键． 12. 下列有四个结论，其中正确的是（ ） ①若，则只能是； ②若的运算结果中不含项，则 ③若，，则 ④若，，则可表示为 A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式及同底数幂的除法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：若，则或，①错误； ，不含项 则，解得，②正确； ，所以，③错误； ∵， ∴， ，④正确 综上所述，②④正确 故选D 【点睛】本题考查了零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二．填空题（共4小题，每题3分，共计12分） 13. 请将0.0002026这个数用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 若有理数m使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则__________． 【答案】9或##或9 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：二次三项式能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式，可得 一次项系数满足， 即， 当时，解得， 当时，解得． 综上可知，或． 15. 若和的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行线的性质，若两个角的两边分别平行，则两个角相等或互补，因此分类讨论两种情况，结合题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵和的两边分别平行， ∴分两种情况讨论： 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 综上，的度数为或． 16. 如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 【答案】4 【解析】 【分析】首先分析第一次操作后新三角形与原三角形的面积关系，利用等底同高的三角形面积相等，计算每次延长后新增的3个小三角形的面积，结合原三角形面积得到第一次操作后的总面积．同样得到第二次操作后的总面积．因为每次操作的延长规则相同，所以相邻两次操作后的三角形面积是固定的倍数关系，据此推导n次操作后三角形面积的公式．令规律表达式的结果大于2026，解指数不等式得到最小的正整数n． 【详解】解：连接，过点C作于点D，过点作于点E， ∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 同理可得，， ∴第一次操作后，​的面积． 连接，同理，， ∴， 同理， ∴第二次操作后，​的面积． 按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的倍， ∴次操作后三角形面积为． ∵，，，， ∴最少经过次操作． 三．解答题（7小题，共72 分） 17. 计算下列各题 （1）计算： （2）简便计算：； （3）因式分解： （4）因式分解： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 . 18. 尝试解决下列有关幂的问题： （1）若，求m的值； （2）若，求值； （3）若为正整数，且，求的值． 【答案】（1）15 （2）11或 （3）512 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘法法则进行计算即可； （3）根据幂的乘方法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 19. 解答下列各题： （1）已知多项式与的乘积中不含和项，求和的值； （2）在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）与相乘，整理后令和的系数为零，即可解得和的值； （2）利用平方差公式、完全平方公式，先化简，再代入和的值求解． 【小问1详解】 解：， ∵多项式与的乘积中不含和项， ∴ 解得； 【小问2详解】 把，代入上式，上式 20. 如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ；证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用图中大正方形的面积写出完全平方公式； （2）号纸片的数量展开后的系数； （3）①由即可求解的值； ②采用换元法，令，则，，由，计算出的值，即的值． 【小问1详解】 解：由图中大正方形的面积可得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴需要3张号纸片； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②令，则，， ∵， ∴， ∴，即． 22. 某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【答案】（1）第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 （2）①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【小问1详解】 解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． 【小问2详解】 解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或， 有3种购进方案： 购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台； 23. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩BOT》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以， 因为，， 根据 ， 所以， 根据 ， 所以． 因为， 所以 ， 所以 【迁移应用】 如图③，在一款手推车的平面示意图中． （2）若，，则____ （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （4）如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； （2） （3）， 理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （3）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （4）过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年七年级下学期数学期中考试 一、选择题（共12小题，每题3分，共计36分） 1. 若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 中边上的高的作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的有（ ） ①同旁内角互补；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高所在的直线交于一点． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 若，则的值为（ ） A. 18 B. C. 6 D. 7. 若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A. 20 B. 18 C. 15 D. 26 9. 式子 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，∠B，∠D，∠E三个角的大小分别是x，y，z则x，y，z之间满足的关系式是(　　) A. x+z＝y B. x+y+z═180° C. x+y﹣z＝90° D. y+z﹣x＝180° 11. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫．在螳螂的示意图中，AB∥DE，是等腰三角形，，，则的度数为（ ） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 12. 下列有四个结论，其中正确的是（ ） ①若，则只能是； ②若的运算结果中不含项，则 ③若，，则 ④若，，则可表示为 A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二．填空题（共4小题，每题3分，共计12分） 13. 请将0.0002026这个数用科学记数法表示为_____________． 14. 若有理数m使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则__________． 15. 若和的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为_______ 16. 如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 三．解答题（7小题，共72 分） 17. 计算下列各题 （1）计算： （2）简便计算：； （3）因式分解： （4）因式分解： 18. 尝试解决下列有关幂的问题： （1）若，求m的值； （2）若，求值； （3）若为正整数，且，求的值． 19. 解答下列各题： （1）已知多项式与的乘积中不含和项，求和的值； （2）在（1）的条件下，先化简，再求值：． 20. 如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 22. 某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 23. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩BOT》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以， 因为，， 根据 ， 所以， 根据 ， 所以． 因为， 所以 ， 所以 【迁移应用】 如图③，在一款手推车的平面示意图中． （2）若，，则____ （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （4）如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $