精品解析：陕西省西安市爱知中学2025--2026学年下学期九年级第三次学情调研数学学科试题

初三第三次学情调研数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将直线向左平移个单位，得到直线，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，分别是边上的高线和中线，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，点在上，与相交于点，且，过点作于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线（为常数），下列说法正确的是（ ） A. 对称轴在轴右侧 B. 顶点在第二象限 C. 若时，随的增大而增大，则 D. 抛物线上有两点，，若，则 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中的长为________．（结果保留） 11. 一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 12. 若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，则的值为________． 13. 如图，四边形是的内接四边形，若，且，，则半径的长为________． 14. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，，，若，，则的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 16. 解方程组： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，连接，若，．求证：． 20. 某学校举行趣味运动会，运动会共设置四个项目：踢毽子（记为），跳绳（记为），定点投篮（记为），袋鼠跳（记为），规定每人只能参加一个项目，采用转转盘的方式确定参赛项目．如图，转盘被半径分成四个扇形区域，分别标有字母，，，，其中，，，所在的扇形区域的圆心角度数分别为，，，．规则如下：转动转盘，待转盘停止后，指针指向哪个区域，报名者就参加对应的项目；若指针指向区域交界处，则重新转动转盘，直到指针指向扇形内部为止．李坤和王挺报名参加了本次运动会， （1）李坤转动转盘一次，他参加跳绳的概率是________； （2）李坤和王挺各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求出两人参加同一项目的概率． 21. 为了让学生体验诗词魅力，传承文化经典，某学校组织开展了校园诗词大会，全校学生参加初赛．为了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（学生成绩均为整数），并对抽取的成绩进行了统计整理，得到如下不完整的统计图表： 组别 成绩分 频数（人数） 其中、两组全部成绩如下： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 请根据以上所提供的信息回答下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的成绩； （2）抽取的所有成绩的中位数是________分，组数据的众数是________分； （3）根据调查结果，估计该校名学生中，成绩不低于80分的人数． 22. 学校组织九年级学生开展综合实践活动，数学社团的小明和小亮同学准备测量河对岸一座建筑物的高度．如图，小明在点处测得建筑物顶端点处的仰角为；小亮利用无人机搭载的扫描仪获取数据，无人机从小明的正前方米的点处（米）竖直上升，上升至距地面米的点（米）处时，测得建筑物顶端点的俯角为．已知图中各点均在同一竖直平面内，，．请根据上述数据，计算建筑物的高度．（参考数据：，，，，，） 23. 某工厂研发了一款智能机器人，在常规负载下，它的最大垂直工作高度与底座支撑臂的展开长度成一次函数关系．经实验室测试，得到以下两组数据：当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为；当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为． （1）求与之间的函数表达式； （2）工厂计划用这款机器人给仓库货架码货，货架最高层的高度为，为了安全，要求机器人的最大垂直工作高度至少要比货架高度高．已知这款机器人的支撑臂展开长度最大可达到，请通过计算判断这款机器人能否满足仓库的码货需求． 24. 如图，是的外接圆，且，连接并延长交于点，交的切线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 为了丰富初三同学的学习生活，周五下午学校在操场举办心理游园会．游园会工作小组的同学在操场上用两根垂直于地面的竹竿、悬挂彩旗，彩旗下垂的形状可以近似看成抛物线．如图，以地平线为轴，竹竿所在直线为轴，建立平面直角坐标系，抛物线满足函数表达式：（）．若两根竹竿高度相同（），两根竹竿的水平距离米， （1）求竹竿的高度和抛物线的顶点坐标； （2）为方便同学通行，保持竹竿不动，将竹竿向右平移米至处，调整后的彩旗依旧呈抛物线形，且彩旗最低点离地面高度上升了米，此时，小明站在彩旗下面，头顶刚好碰着彩旗．已知小明的身高为米，求小明到竹竿的距离． 26. 根据题目条件，解答下列问题 （1）如图，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边在右侧作等边，连接．则的长为________； 【问题提出】 （2）如图，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．求证：； 【问题解决】 （3）如图，某开发区原有一块边长为米的正方形活动场地，市政规划部门准备将其改造扩建，先在原边上选择一点，修建直道，然后在右侧修建一个新的正方形活动场地，点是正方形活动场地的中心．规划部门设计将正方形活动场地中区域修建成喷泉池，其他位置铺设草坪，为了使铺设草坪费用最少（草坪面积最小），请确定此时的长及草坪面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第三次学情调研数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A. 是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B. 是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； C. 开立方后是无限不循环小数，是无理数，本选项符合题意； D. 是分数，属于有理数，本选项不符合题意． 2. 下列图形中，不是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 3. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题涉及合并同类项，完全平方公式，单项式除法，积的乘方，根据对应运算法则逐一计算验证即可． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C.，故C错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意． 5. 将直线向左平移个单位，得到直线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图像平移的“左加右减”规律，写出平移后的解析式，再对比已知平移后的解析式，列方程求解即可． 【详解】解：将原直线向左平移个单位，则平移后的解析式为：， 展开得， ∵平移后得到的直线为， ∴， 解得． 6. 如图，在中，，，分别是边上的高线和中线，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先在中，由三角函数解得，再由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，是边上的高线，即， ∴在中，， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴． 7. 如图，在矩形中，，，点在上，与相交于点，且，过点作于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质和相似三角形求出的长，再通过证明利用对应边成比例求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，即， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 8. 关于抛物线（为常数），下列说法正确的是（ ） A. 对称轴在轴右侧 B. 顶点在第二象限 C. 若时，随的增大而增大，则 D. 抛物线上有两点，，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，再根据二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵抛物线：，且， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， A. 当时， ，对称轴在轴左侧，故A错误，本选项不符合题意； B. 顶点纵坐标恒成立，当时，横坐标，顶点在第一象限，故B错误，本选项不符合题意； C. 抛物线开口向上，时随增大而增大， 若时随增大而增大，则，解得， 故C错误，本选项不符合题意； D. 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大， ， ，两边平方得： ， 展开化简得，即，故D正确，符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质求出内角的度数，确定扇形的半径，利用弧长公式计算即可 【详解】解：多边形是正六边形， ，， ∴的长为． 11. 一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 【答案】 【解析】 【分析】根据电梯额定限载量得到总重量的不等关系，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据题意，列不等式得， 解不等式得， 为正整数， 的最大值为，即两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运28箱货物． 12. 若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数与正比例函数的图象性质，可知两个交点关于原点中心对称，由此得到两点坐标的关系，再结合点在反比例函数图象上得到的值，代入所求代数式化简计算即可． 【详解】解： 正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点中心对称， 两交点，关于原点中心对称， ，， 又 点在反比例函数上， ， 将，代入 得： ． 13. 如图，四边形是的内接四边形，若，且，，则半径的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据 ，，得到，设半径为，由 ，，得 ，解得，因此半径为． 【详解】解： 连接， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设半径为， ∵ ，， ∴  ， 解得，（舍去）， 因此半径为． 14. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，，，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作且，延长交于点F，连接，推导出四边形是平行四边形，得到，，继而推导出，得到是等边三角形，推导出，得到，过点作于点，求出，，得到，再根据勾股定理求出，则，即可解答． 【详解】解：过点作且，延长交于点F，连接，如图 ∵，， 四边形是平行四边形． ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． ， ， ， ， 过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 先整理方程组得到，再用加减消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解： 整理得：， 得， 解得， 把代入得， 解得， ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式混合运算法则，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法约分得到最简结果，最后代入的值计算即可 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了作垂线以及垂直平分线的性质，以点B为圆心，为半径，画弧交于一点，即为D点，再作的垂线，连接，并延长交于一点，即为点P，得出，则,即，得证 【详解】解：如图所示： 19. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，连接，若，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】利用证明，由全等三角形的性质，即可证明结论． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 某学校举行趣味运动会，运动会共设置四个项目：踢毽子（记为），跳绳（记为），定点投篮（记为），袋鼠跳（记为），规定每人只能参加一个项目，采用转转盘的方式确定参赛项目．如图，转盘被半径分成四个扇形区域，分别标有字母，，，，其中，，，所在的扇形区域的圆心角度数分别为，，，．规则如下：转动转盘，待转盘停止后，指针指向哪个区域，报名者就参加对应的项目；若指针指向区域交界处，则重新转动转盘，直到指针指向扇形内部为止．李坤和王挺报名参加了本次运动会， （1）李坤转动转盘一次，他参加跳绳的概率是________； （2）李坤和王挺各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求出两人参加同一项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将所在的扇形区域平均分为2部分，即转盘被平均分为五个扇形区域，然后根据简单概率公式求解即可； （2）根据题意作出列表，结合列表求解即可． 【小问1详解】 解：如下图，将所在的扇形区域平均分为2部分， 即转盘被平均分为五个扇形区域， 则李坤转动转盘一次，他参加跳绳的概率， 即指针指向B区域的概率为； 【小问2详解】 根据题意，作出列表如下， A B C D D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，D） 由列表可知，共有25种等可能的结果，其中两人参加同一项目的结果有7种， ∴两人参加同一项目的概率为． 21. 为了让学生体验诗词魅力，传承文化经典，某学校组织开展了校园诗词大会，全校学生参加初赛．为了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（学生成绩均为整数），并对抽取的成绩进行了统计整理，得到如下不完整的统计图表： 组别 成绩分 频数（人数） 其中、两组全部成绩如下： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 请根据以上所提供的信息回答下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的成绩； （2）抽取的所有成绩的中位数是________分，组数据的众数是________分； （3）根据调查结果，估计该校名学生中，成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50 （2）77.5，78 （3）720人 【解析】 【分析】（1）利用“B组人数除以其占比”，即可计算所抽取学生总数； （2）根据中位数和众数的定义，即可获得答案； （3）利用“该校总人数所抽取学生中成绩不低于80分的人数占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：， 即本次共抽取了50名学生的成绩； 【小问2详解】 将所有学生成绩按照从小到大的顺序排列，其中排在第25和26位的是和， ∴抽取的所有成绩的中位数是分， 组数据中，出现次数最多的是78，共计6次， 故组数据的众数是78分； 【小问3详解】 （人）， 即成绩不低于80分的人数为720人． 22. 学校组织九年级学生开展综合实践活动，数学社团的小明和小亮同学准备测量河对岸一座建筑物的高度．如图，小明在点处测得建筑物顶端点处的仰角为；小亮利用无人机搭载的扫描仪获取数据，无人机从小明的正前方米的点处（米）竖直上升，上升至距地面米的点（米）处时，测得建筑物顶端点的俯角为．已知图中各点均在同一竖直平面内，，．请根据上述数据，计算建筑物的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】18米 【解析】 【分析】过点作于点，易得四边形为矩形，进而可得，；设米，则米，在和中，利用三角函数解得，，结合可得，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点， 根据题意，，，米， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得米， 即建筑物的高度为18米． 23. 某工厂研发了一款智能机器人，在常规负载下，它的最大垂直工作高度与底座支撑臂的展开长度成一次函数关系．经实验室测试，得到以下两组数据：当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为；当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为． （1）求与之间的函数表达式； （2）工厂计划用这款机器人给仓库货架码货，货架最高层的高度为，为了安全，要求机器人的最大垂直工作高度至少要比货架高度高．已知这款机器人的支撑臂展开长度最大可达到，请通过计算判断这款机器人能否满足仓库的码货需求． 【答案】（1） （2）这款机器人能满足仓库的码货需求． 【解析】 【分析】（1）已知与为一次函数关系，先设一次函数的一般形式，再代入已知的两组对应值列方程组，求解得到系数后即可得到函数表达式； （2）先计算出货要求的最低工作高度，再将支撑臂最大展开长度代入函数，求出机器人可达到的最大高度，比较两个高度即可得出结论． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为根据题意，将和代入，得 解得， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意，码货要求机器人的最小垂直工作高度为， 将代入函数表达式，得， ∵， ∴这款机器人能满足仓库码货需求． 24. 如图，是的外接圆，且，连接并延长交于点，交的切线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于点G，连接，再根据等腰三角形的性质和直径所对的圆周角是直角可得，进而得出，即可得是的垂直平分线，即，然后根据切线的性质得，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）设，根据勾股定理得，可得，进而得，，再说明，可求出，最后根据垂径定理得出答案． 【小问1详解】 证明：连接，并延长交于点G，连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的垂直平分线，即． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， 在中，，， 即， 解得， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 25. 为了丰富初三同学的学习生活，周五下午学校在操场举办心理游园会．游园会工作小组的同学在操场上用两根垂直于地面的竹竿、悬挂彩旗，彩旗下垂的形状可以近似看成抛物线．如图，以地平线为轴，竹竿所在直线为轴，建立平面直角坐标系，抛物线满足函数表达式：（）．若两根竹竿高度相同（），两根竹竿的水平距离米， （1）求竹竿的高度和抛物线的顶点坐标； （2）为方便同学通行，保持竹竿不动，将竹竿向右平移米至处，调整后的彩旗依旧呈抛物线形，且彩旗最低点离地面高度上升了米，此时，小明站在彩旗下面，头顶刚好碰着彩旗．已知小明的身高为米，求小明到竹竿的距离． 【答案】（1）竹竿的高度为3米，抛物线的顶点坐标为 （2）小明到竹竿的距离为米或米 【解析】 【分析】（1）对于，首先令，可得，即可确定点坐标及竹竿的高度；结合题意可得该抛物线的对称轴为，进而解得的值，即可确定抛物线解析式，并将其化为顶点式，进而确定抛物线的顶点坐标； （2）首先确定新的抛物线顶点纵坐标和对称轴，设新抛物线的解析式为，将点代入，利用待定系数法求得新抛物线的解析式，并令，代入解析式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：对于， 令，可得，即， ∴米，即竹竿的高度为3米； ∵竹竿、等高，即点的纵坐标相等，且米， ∴该抛物线的对称轴为， ∴，解得， 经检验，符合题意， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 结合（1）可知，原抛物线的最低点高度为1米，调整后彩旗最低点离地面高度上升了米，即新的抛物线顶点纵坐标为， ∵竹竿向右平移米至处，即米， ∴新抛物线的对称轴为， 设新抛物线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴新抛物线的解析式为， ∵小明的身高为米，即， 可得， 解得，， 即小明到竹竿的距离为米或米． 26. 根据题目条件，解答下列问题 （1）如图，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边在右侧作等边，连接．则的长为________； 【问题提出】 （2）如图，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．求证：； 【问题解决】 （3）如图，某开发区原有一块边长为米的正方形活动场地，市政规划部门准备将其改造扩建，先在原边上选择一点，修建直道，然后在右侧修建一个新的正方形活动场地，点是正方形活动场地的中心．规划部门设计将正方形活动场地中区域修建成喷泉池，其他位置铺设草坪，为了使铺设草坪费用最少（草坪面积最小），请确定此时的长及草坪面积的最小值． 【答案】（1）2 （2）见详解 （3）的长为54米，草坪面积的最小值为3555平方米 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质，即可获得答案； （2）首先证明，由相似三角形的性质证明，进而证明，即可证明结论； （3）连接，过点作，交的延长线于，设米，则米，利用勾股定理可得；证明，由相似三角形的性质解得米，，利用三角函数可得米，再根据三角形面积公式求得，进一步计算可知草坪面积，结合二次函数的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵，均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图，连接，过点作，交的延长线于， 设米，则米， ∴，即， ∵四边形为正方形，点是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴米，， ∴米， ∴， ∴草坪面积， ∵， ∴当时，草坪面积取最小值，最小值为3555平方米， ∴此时米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $