河南省押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 河南省2026年初中学业水平考试数学押题卷，通过FAST望远镜、月洞门、电动汽车充电等真实情境，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，考查抽象能力、推理意识和数据观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10小题|无理数、三视图、科学记数法、几何综合|第3题结合FAST望远镜考查科学记数法，体现科技前沿| |填空题|5小题|黄金分割、方差、图形旋转、圆的翻折|第12题通过麻雀体重方差比较，培养数据观念| |解答题|8小题|不等式组、函数综合、几何证明与应用|第23题中位线定理证明与迁移，发展推理意识和创新应用能力|

河南省押题卷-2026年河南省初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共10小题） 1．下列是无理数的是（　　） A． B．0 C． D．﹣1 2．如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（　　） A． B． C． D． 3．有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年≈9.46×1012千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（　　） A．9.46×1014千米 B．9.46×1020千米 C．9.46×1022千米 D．9.46×1023千米 4．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点C，E，A，D在同一条直线上，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°．当AB∥CF时，α的大小为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 5．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+3k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．9 6．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若OB＝AB，优弧AB所对的圆心角为∠1，则优弧AB的长为（　　） A． B． C． D． 7．若关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加全区中小学AI知识竞赛，下表记录了各组几轮比赛成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（　　） 小组 甲组 乙组 丙组 丁组 平均数 92 96 96 95 方差 1.5 0.6 1.4 1.1 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，连接CE，则CE的长度为（　　） A．2 B． C． D． 10．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（　　） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80% C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 二．填空题（共5小题） 11．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：　 　 （填“＞”或“＜”）． 12．为了解不同栖息地对麻雀生存的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两栖息地随机捕捉相同数量的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，数据如表．已知体重越稳定，越适宜生存，则麻雀更适宜在　 　 栖息地生存（填“干早草原”或“温带森林”）． 平均数 方差 干旱草原的麻雀 20 87.5 温带森林的麻雀 20 5.8 13．如图，在平面直角坐标系中，P（2，0），正六边形ABCDEF的顶点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），点M是正六边形ABCDEF的边上一动点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转90°，得到PN，连接MN．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A…）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为　 　 ． 14．如图是半径为2的半圆，点C是的中点，现将半圆翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E，M分别为AD，BC的中点，P为BC边上一动点（不与点C重合），连接DP，过点P作PF⊥PD，且，连接EF，FM，则tan∠FMB的值为　 　 ，线段EF长度的最小值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（1）解不等式组：． （2）若计算的结果是，求“⊗”代表的单项式． 17．青少年的体质健康是成长发展的重要基础，充足的体育锻炼不仅能增强体魄，更能锤炼意志品质．某校开展了“阳光体育一小时”活动，为了解学生体质健康的提升情况，随机抽取40名学生参加活动前、后的得分（满分为10分，得分均为整数）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 众数 中位数 平均数 活动前 a 8 8.025 活动后 9 b c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）依据“数据分析与运用”的结果，判断该校开展的“阳光体育一小时”活动是否有效，并为学校进一步增强学生体质健康提出一条具有针对性的合理化建议． 18．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（m，3），与x轴交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）经过点A的直线CD与反比例函数图象交于点C，与y轴交于点D，连接BC，若AD＝AC，求△ABC的面积． 19．小军将量角器按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，分别与x轴，y轴相切于A，B两点，M是CD的中点，CD＝10，反比例函数的图象与CD交于点E（3，m+4），与交于点F（9，m）． （1）求反比例函数的表达式． （2）求图中阴影部分的面积． （3）转动量角器，当点D与点F重合时，判断转动后的点C是否落在反比例函数图象上． 20．为改善教学条件，某学校添置甲、乙两种投影仪．已知每台甲种投影仪的价格比每台乙种投影仪的价格贵80元，购买甲种投影仪2台、乙种投影仪3台共需2160元． （1）求甲、乙两种投影仪每台的价格分别是多少元． （2）该校计划购买这两种投影仪共60台．为支持教育事业，该厂商对两种投影仪进行了优惠：甲种投影仪每台降价50元，乙种投影仪打九折．若要求甲种投影仪的数量不得少于乙种投影仪数量的一半，则购买这批投影仪最少需要花费多少元？ 21．金属探测器的工作原理是利用电磁感应，通过设备发射的交变磁场，使地下金属物产生感应电流，进而产生反向磁场被探测器接收，以此精准定位地下金属物的位置．如图1，某人用金属探测仪探测到地下有一金属物，某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出金属物到地面的距离，方案如下： 课题 检测金属物到地面的距离 工具 金属探测仪等 示意图 说明 如图2，在地面PQ上选择B处探测金属物A，探测射线与地面PQ的夹角为∠DBP，再在地面PQ上距B处4.5m的C处探测金属物A，探测射线与地面QP的夹角为∠ECP． 测量数据 ∠DBP＝35°，∠ECP＝22°，BC＝4.5m． 参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40 任务解决： （1）∠BCA＝　 　 °，∠ABQ＝　 　 °； （2）计算金属物A到地面的距离．（结果精确到0.1m） 22．同学们在游乐场中穿越拱形水廊，水廊的轮廓线为抛物线，如图1．水廊的两个端点A，B水平间距为6米，支撑点到地面的距离AO和BC均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O水平距离为1米的点F处，刚好能从水廊轮廓线下方穿过，轮廓线最高点恰好经过她的头顶的点E．以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+bx+c． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.82米的小华也想穿越该水廊，问他能否顺利从水廊轮廓线下方穿过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小明站在OC之间，且离点O的距离为t米，要能顺利从水廊轮廓线下方穿过（轮廓线必须超过其头顶），请结合图象，直接写出t的取值范围． 23．【课本回顾】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】已知：如图（1），DE是△ABC的中位线． 求证：DE∥BC，． （1）证明：如图（2），延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF…请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） 【定理应用】（2）如图（3），已知四边形ABCD纸片，AB＝AD，BC＝DC，对角线BD⊥AC．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】（3）在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC是其对角线，点M为射线BC（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转120°得到点C'，连接C'M，C'B，点N是C′B的中点，连接MN，AM． ①证明：AM＝2MN； ②连接CN．若AB＝4，，请直接写出CN的长． 河南省押题卷-2026年河南省初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、是无限不循环小数，是无理数，正确，符合题意； B、0是整数，属于有理数，不正确，不符合题意； C、是分数，属于有理数，不正确，不符合题意； D、﹣1是整数，属于有理数，不符合题意． 故选：A． 2．【解答】解：根据主视图发现该物体有两层组成， 根据左视图和俯视图确定该物体底层是长方体，第二层是圆柱， 故选：C． 3．【解答】解：因为1光年≈9.46×1012km， 所以1百亿光年用科学记数法表示约为10000000000×9.5×1012≈9.46×1022（千米）． 故选：C． 4．【解答】解：∵AB∥CF， ∴∠ACF＝∠BAC＝∠B＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠D＝30°，点C，E，A，D在同一条直线上， ∴α＝∠D+∠ACF＝30°+45°＝75°， 则α的大小为75°， 故选：C． 5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+3k＝0有两个相等的实数根， ∴Δb2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3k＝0， 解得k＝3． 故选：A． 6．【解答】解：根据题意得：AB＝2， ∵OB＝AB，OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴OA＝AB＝2，∠AOB＝60°， ∴∠1＝360°﹣∠AOB＝300°， ∴，即优弧AB的长为， 故选：B． 7．【解答】解：由条件可知该方程为一元二次方程，即k≠0，且根的判别式Δ＞0， 则Δ＝（﹣2）2﹣4•k•1＝4﹣4k＞0，解得k＜1， ∴k的取值范围是k＜1，且k≠0， 观察四个选项中只有﹣1符合该范围． 故选：A． 8．【解答】解：由条件可知成绩较好的小组为乙和丙， ∵乙的方差为0.6，小于丙的方差1.4，方差越小成绩越稳定， ∴乙组成绩好且状态稳定，应选择乙组， 故选：B． 9．【解答】解：连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H， ∵AC＝8，AB＝6， ∴， ∵CD＝DB， ∴AD＝DC＝DB＝5， ∵， ∴， 由翻折得：AE＝AB， ∵DE＝DB＝DC， ∴∠DEB＝∠DBE，∠DEC＝∠DCE， ∴∠DEB+∠DBE+∠DEC+∠DCE＝180°， ∴∠BEC＝∠DEB+∠DEC＝90°， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量，正确，不符合题意； B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从0%到100%的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， ∴10%到90%的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，则： ∵5＞4， ∴，即． ∴，即 ∴． 故答案为：＞． 12．【解答】解：∵干旱草原的麻雀和温带森林的麻雀的体重的平均数相同，但温带森林的麻雀的体重的方差比干旱草原的麻雀小， ∴温带森林的麻雀更适宜在栖息地生存． 故答案为：温带森林． 13．【解答】解：由题意可得：AB＝OA＝1，AP＝1， ∴正六边形ABCDEF的周长为6， ∴点M运动一周用时（秒）， ∵2025÷12＝168……9， ∴第2025秒时点M的位置与第9秒时点M的位置相同，即与EF的中点重合，如图所示，此时在Rt△OEM中，，过点N作NH⊥x轴于点H， 由旋转得，∠MPN＝90°，PM＝PN， ∴∠OPM＝90°﹣∠NPH＝∠HNP， 在△POM和△NHP中， ， ∴△NHP≌△POM（AAS）， ∴，NH＝OP＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 14．【解答】解：如图，连接OC交DE于H，连接OD，OE， 由题意得到：OC⊥DE，OH＝CHOC2＝1， ∴DE＝2DH， ∵cos∠DOH， ∴∠DOH＝60°， ∵OD＝OE，OH⊥DE， ∴∠DOE＝2∠DOH＝120°， ∴扇形ODE的面积， ∵sin∠DOH＝sin60°， ∴DH， ∴DE＝2DH＝2， ∵△ODE的面积DE•OH21， ∴弓形DCE的面积＝扇形ODE的面积﹣△ODE的面积， ∵半圆的面积π×22＝2π， ∴阴影的面积＝半圆的面积﹣弓形DCE面积的2倍＝2π﹣2×（）＝2． 故答案为：2． 15．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝5，E，M分别为AD，BC的中点，连接DF，DM，EB，延长MF交AB于点N，设EN，MN交于点G，如图， ∴CD＝BC，∠C＝90°， ∴， 又∵PF⊥PD，， ∴，即， 又∵∠FPD＝∠MCD＝90°， ∴△FPD∽△MCD， ∴，∠FDP＝∠MDC， ∴∠FDM＝∠PDC， ∴△FDM∽△PDC， ∴∠DMF＝∠DCP＝90°， ∴∠BMF＝90°﹣∠DMC＝∠MDC， ∴， ∴F点在MN上运动， ∴当EF⊥MN时，EF取得最小值， ∵，AD＝BC， ∴ED＝BM， 又∵ED∥BM， ∴四边形EDMB是平行四边形， ∴EB∥DM， 又∵∠DMF＝90°， ∴BE⊥MB， ∴当F在BE上时，EF取得最小值，此时F，G重合， ∵AB＝5，则， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形BMN中，， ∴， ∴， ∴，即EF的最小值为， 故答案为：，． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1）解不等式3x+5＜6得， 解不等式得x≥﹣2， 则不等式组的解集为； （2）设“⊗”代表的单项式为A，则， ， 所以A＝0． 17．【解答】解：（1）由条形统计图可知，活动前得分为8分的人数最多， ∴众数为8，即a＝8； ∵将活动后数据按从小到大的顺序排列后，第20，21个数据分别为8，9， ∴中位数； ， 故答案为：8，8.5，8.35； （2）活动后的平均数8.35高于活动前的平均数8.025，说明该校开展的“阳光体育一小时”活动非常有效． 建议：学校可加强体育锻炼活动的实施，比如设置球类训练课、趣味体能课、体质监测指导课，举办班级篮球赛、跳绳赛等，为学生提供更多在校锻炼的时间和专业指导． 18．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象过点A（m，3）， ∴3＝m+1， ∴m＝2， ∴A（2，3）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象过点A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的表达式为y； （2）∵点A（2，3），D点的横坐标是0，AD＝AC， ∴点C的横坐标是4， 把x＝4代入y得y， ∴C（4，）， 把y＝0代入y＝x+1得，x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， 设直线BC的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得， ∴直线BC为yx， 作AM⊥x轴于M，交BC于E， 当x＝2时，y2， ∴E（2，）， ∵A（2，3）， ∴AE＝3， ∴S△ABCCE•（xC﹣xB）（4+1）． 19．【解答】解：（1）反比例函数的图象与CD交于点E（3，m+4），与交于点F（9，m）．将点E，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）如图1，连接AM，BM． ∵量角器分别与x轴，y轴相切于A，B两点， ∴AM⊥x轴，BM⊥y轴，． 又∵∠AOB＝90°， ∴四边形AOBM为正方形， ∴∠BMA＝90°， ∴，S正方形AOBM＝AM•BM＝5×5＝25， ∴． （3）转动后的点C不在反比例函数图象上．理由如下： 当点D与点F重合时，如图2，连接AM，BM，过点C作CG⊥BM于点G，过点D作DH⊥BM交BM的延长线于点H，则∠CGM＝∠DHM＝90°． ∵M是CD的中点， ∴CM＝DM＝5， 在△CGM和△DHM中， ， ∴△CGM≌△DHM（AAS）， ∴CG＝DH，MG＝MH． 由（2）知AM＝BM＝5，AM⊥x轴，BM⊥y轴， 由（1）知点F的坐标为（9，2）， 即点D的坐标为（9，2）， ∴MG＝MH＝4，CG＝DH＝3， ∴转动后点C的坐标为（1，8）， 将x＝1代入，得y＝18≠8， ∴转动后的点C不在反比例函数图象上． 20．【解答】解：（1）设甲种投影仪每台x元，乙种投影仪每台y元， 由题意列二元一次方程组得，， 解得， 答：甲种投影仪每台480元，乙种投影仪每台400元； （2）设购买甲种投影仪m台，总花费为W元， 根据题意列一元一次不等式得，， 整理得，m≥30， 解得m≥20， 优惠后甲种投影仪的单价为480﹣50＝430 （元），乙种投影仪的单价为400×0.9＝360（元） 故W＝430m+360（60﹣m）＝70m+21600， ∵70＞0， ∴W随m的增大而增大， ∴当m取最小值20时，W取得最小值， 将m＝20代入得 W＝70×20+21600＝23000 （元）． 答：购买这批投影仪最少需要花费23000元． 21．【解答】解：（1）射线与地面PQ的夹角为∠DBP，再在地面PQ上距B处4.5m的C处探测金属物A，探测射线与地面QP的夹角为∠ECP． ∵∠DBP＝35°，∠ECP＝22°， ∴∠BCA＝∠ECP＝22°，∠ABQ＝∠DBP＝35°； （2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H． 由题意得，∠ABH＝35°，∠ACH＝22°， ∴． ． ∵CH﹣BH＝BC， ∴ ∴AH＝4.2． 答：金属物A到地面的距离为4.2m． 22．【解答】解：（1）水廊的两个端点A，B水平间距为6米，支撑点到地面的距离AO和BC均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O水平距离为1米的点F处， 由题意得点E（1，1.4），A（0，0.9），代入y＝﹣0.1x2+bx+c， 得， 解得， ∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9； （2）不能，理由如下： ∵y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8， ∵a＝﹣0.1＜0， ∴x＝3时，y有最大值为1.8， ∵1.82＞1.8， ∴轮廓线不能顺利从他头顶越过； （3）果身高1.7米的小明站在OC之间，且离点O的距离为t米，要能顺利从水廊轮廓线下方穿过（轮廓线必须超过其头顶）， 由题意得，y＞1.7， 当y＝1.7时，﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7， 解得x1＝2，x2＝4， 而抛物线开口向下， 由图象可知满足条件的t的值为2＜t＜4． 23．【解答】（1）证明：如图（2），延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝EC， 又∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠DAE＝∠FCE，AD＝CF， ∴AD∥CF， ∵点D是AB的中点， ∴BD＝AD， ∴BD＝CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE∥BC，； （2）解：作图如下图所示：（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边AD，AB，BC，CD的中点， 由（1）知DE∥AC，QP∥BD， ∵BD⊥AC， ∴BD⊥AC．QR⊥QP， 把△APQ向下移，使点A和点C重合，将△QBR绕点R逆时针旋转180°，使点B和点C重合，将△PDS绕点S顺时针旋转180°，使点D和点C重合，就会得到一个矩形，如图： （3）①证明：如图（2），延长MN至点G，使GN＝MN，连接BG，AG， ∵点N是C′B的中点， ∴BN＝C′N， 又∵∠BNG＝∠C′NM， ∴△BNG≌△C′NM（SAS）， ∴BG＝C′M，∠GBN＝∠C′， ∴BG∥C′M， 由旋转的性质可知，∠C′MC＝120°，MC′＝MC， ∴BG＝CM，∠GBM＝180°﹣∠C′MC＝60°， ∴∠ABG＝∠ABC+∠GBM＝120°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°＝∠ABG， ∴△ABG≌△ACM（SAS）， ∴∠BAG＝∠CAM，AG＝AM， ∴∠GAM＝∠CAM+∠GAC＝∠BAG+∠GAC＝∠BAC＝60°， ∴△AMG是等边三角形， ∴AM＝MG＝2MN； ②CN的长为2或1， 理由：由题意知，，分两种情况讨论， 当CN不是△BMC′的中位线时，如图，取BM的中点H，连接HN， ∴，HN∥C′M，又， ∴HN＝CN，∠NHM＝180°﹣∠BMC′＝60°， ∴△HNC是等边三角形， ∴CN＝HC， 设CN＝HC＝a，则CM＝2a， ∴BH＝HM＝3a， ∴BC＝4a＝4，解得a＝1， ∴CN＝1， 当CN是△BMC′的中位线时，如图，此时C′M＝CM＝BC＝AB＝4， ∴CN＝2； 综上所述，CN的长为2或1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $