精品解析：河北承德双滦圣泉高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（ ） A. c B. C. D. 2. 已知，的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. 720 B. 648 C. D. 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某商场推出抽奖促销活动．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个．顾客按如下规则进行操作：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则可得到一份奖品，那么顾客获奖的概率为（　　） A. 0.48 B. 0.41 C. 0.59 D. 0.64 7. 设，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 96 C. D. 48 8. 已知 的展开式中x³的系数为m，所有项的系数之和为n，若 则a=（ ） A. 2 B. 1 C. - 2 D. - 1 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知为正整数，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两张1号奖券，一张2号奖券和一张3号奖券；2号盒子内装有两张1号奖券，一张3号奖券；3号盒子内装有三张1号奖券，两张2号奖券．若第一次先从1号盒子内随机抽取1张奖券，将取出的奖券放入与奖券同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一张奖券，则下列说法错误的是（ ） A. 在第一次取到2号奖券的条件下，第二次取到1号奖券的概率为 B. 第二次取到3号奖券的概率为 C. 第二次取到2号奖券的概率为 D. 现将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有210种 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 14. 中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 17. 为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． （1）将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； （2）当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 19. 已知的展开式中第项的系数为，且的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的系数； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（ ） A. c B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把函数展开，求出导数，设切点为，根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论. 【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故． 故选：B 2. 已知，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 又，所以. 3. 已知事件满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据条件概率的公式得， . 4. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. 720 B. 648 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用间接法求解. 【详解】间接法：在0到9这10个数字中，任取3个数字，按从左到右的顺序排列，有种排法， 其中不能组成三位数的即第一个数字为0的有种排法； 故可以组成没有重复数字的三位数一共有个； 直接法：选一个数字为百位数字，十位和个位任意排，故有种. 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数在区间上的单调性，转化为不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数与函数单调性求最值即可. 【详解】由函数，则， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，等价于在上恒成立， 令，则， 因为，所以，所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以函数在上单调递减，则实数的取值范围为. 6. 某商场推出抽奖促销活动．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个．顾客按如下规则进行操作：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则可得到一份奖品，那么顾客获奖的概率为（　　） A. 0.48 B. 0.41 C. 0.59 D. 0.64 【答案】C 【解析】 【详解】设 “从第一个盒子中取得标有字母的球”， “从第一个盒子中取得标有字母的球”， “第二次取出的球是红球”， 由题意可知，，，，, 则. 7. 设，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 96 C. D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】先将原式括号内的代数式化简为完全平方形式，转化为标准二项式后，利用二项展开式通项公式求解对应的系数即可. 【详解】因为，对括号内代数式变形得， 因此原式可化为. 根据二项式定理，的展开式通项为（，）， 则的展开式通项为 ， ​令的指数等于5，即，解得. 代入系数表达式得. 8. 已知 的展开式中x³的系数为m，所有项的系数之和为n，若 则a=（ ） A. 2 B. 1 C. - 2 D. - 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项，令，求出所有项的系数之和即可求解. 【详解】已知，展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以含的项为，可得含的项的系数, 令，则所有项的系数之和 由于若 所以，解得： 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知为正整数，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，而 即，所以D错误. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【详解】，定义域为，则 A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，当，；当，， 所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误； C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确； D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误. 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两张1号奖券，一张2号奖券和一张3号奖券；2号盒子内装有两张1号奖券，一张3号奖券；3号盒子内装有三张1号奖券，两张2号奖券．若第一次先从1号盒子内随机抽取1张奖券，将取出的奖券放入与奖券同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一张奖券，则下列说法错误的是（ ） A. 在第一次取到2号奖券的条件下，第二次取到1号奖券的概率为 B. 第二次取到3号奖券的概率为 C. 第二次取到2号奖券的概率为 D. 现将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有210种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用全概率公式求解；对于D，相同元素的分配问题，利用隔板法即可求解. 【详解】记第一次抽到第号奖券的事件分别为，则有， 对于A，在第一次抽到2号奖券的条件下，将2号奖券放入2号盒子内，因此第二次抽到1号奖券的概率为，故A错误； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号奖券的事件分别为， 而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到3号奖券的事件为， 则，故B正确； 对于C，记第二次在第号盒子内抽到2号奖券的事件分别为， 而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到2号奖券的事件为， 则，故C错误； 对于D，将21个相同的玩偶放入这3个编号的盒子中，每个盒子至少分得一个玩偶的分法共有种不同的放法，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【详解】根据二项式定理，的通项为：， ，要找项，分为两部分： 中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为； 中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为； 则的系数为 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 14. 中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种. 【答案】2640 【解析】 【分析】先算7 个不同古都的全排列数，再算至少有一对相邻的排列数，最后得到两对都不相邻的排列数. 【详解】7 个不同古都的全排列:, 西安与洛阳相邻的排列数:, 同理，南京与杭州相邻的排列数也是1440, 西安洛阳相邻且南京杭州相邻的排列数:, 至少有一对相邻的排列数: 两对都不相邻的排列数:. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 【答案】（1）90 （2）30 （3）140 【解析】 【分析】（1）由分步乘法计数原理结合组合数即可求解； （2）分1男1女和2名女讨论求解即可； （3）通过间接法求解即可. 【小问1详解】 根据题意，从4名女生中任选2人的选法有种， 从6名男生中任选2人的选法有种， 则从中选出男、女各2名的选法有种； 【小问2详解】 根据题意，分2种情况讨论： ①选出的2名代表为1男1女，有种选法； ②选出的2名代表都为女生，有种选法； 则必须有女生的选法有种； 【小问3详解】 从10人中任选4人， 要求男生甲与女生乙至少有1人在内， 利用排除法有种选法. 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）切线方程为； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 17. 为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． （1）将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； （2）当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 【答案】（1） （2）当销售单价为（千元）时，利润最大；当销售单价为（千元）时，利润最小 【解析】 【分析】（1）由化简可得出的解析式，结合题中的取值范围可得结果； （2）利用导数分析函数在区间的单调性，利用函数的最值与导数的关系求解即可. 【小问1详解】 由题意：. 【小问2详解】 因为， 设， 则， 因为，所以，所以函数在上单调递增. 又， ，又， 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又，， . 所以当销售单价（千元）时，利润最大；当销售单价（千元）时，利润最小． 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解； （2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 函数求导得 ， 已知，则， ． 【小问2详解】 （ⅰ），则，求导得：， ，在上恒成立， 导数符号由决定： 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， ，， ， 在上的最小值为，最大值为； （ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值， 在上的最大值为， ，解得， 又，， 的取值范围为． 19. 已知的展开式中第项的系数为，且的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的系数； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数定义确定第三、四项系数，利用已知比例关系和组合数公式求解. （2）先由（1）得值，写出通项公式，令次数为求出，进而得系数. （3）先计算系数，利用组合数性质变形，再用二项式定理计算. 【小问1详解】 因为二项展开式中第项的二项式系数为，因此第三项的二项式系数为， 第四项的二项式系数为，由题意得，代入组合数公式： ，解得. 【小问2详解】 由(1)知，二项展开式的通项为：  ，  令 ，解得，因此的系数为：  . 【小问3详解】 由题意可得第项的系数 ， 利用组合数性质 ， 所以 令 ，则上式变形为：， 由二项式定理可得：， 因此原式 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $