山西忻州市某校2025-2026学年高一5月阶段检测数学试题（人教A卷）

秘密★启用前 高一数学（人教A卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂层。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知a=(2,5),b=(-1,x),且a⊥b,则x= 装 A R号 C. Γ5 D.一 2 2已知1为虚数单位，则- A.5i B.5 C.-5i D.-5 3.为了解某校学生每天课外运动时长，按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法从高 订 一、高二、高三中共抽取130名学生进行调查，已知该校高一有1500名学生，高二有 ! 1200名学生，高三有1200名学生，则高一、高二共抽取 A.40名学生 B.50名学生 C.80名学生 D.90名学生 4在△ABC中，E为AB边上的中线cD上一点，且可-G正，若A正=君A+号正， 则t= A B.2 C.3 D.4 级 线 5.已知a,b是两条不同的直线，平面a,B满足a∩B=b,则下列结论正确的是 A.若a∥a,则a,b共面 B.若a⊥a,则a与B有公共点 名 C.若a与B无公共点，且a⊥b,则a⊥月 D.若存在平面y,使得a⊥y,b⊥y,aCB,则a∥a 6.在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E为线段BD(包含端点)上一动点，则AE·CE 的取值范围为 A.[-5,0] B[-o] C.[-5,-1] n[--] 数学（人教A卷）试题第1页（共4） 7.如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=BC=2√2，AA,= 3,AB⊥BC,D,E分别为A,B,,AC的中点，过点E作与CD 0 垂直的平面a,且平面a与该三棱柱的侧面BCC,B,的交线为 线段FH,则FH= R。 A.3 2 卡 c吗 D.2 8.已知A,B是两个暗礁群，将其视为质点，相距5√5km.为保障航行安全，欲在一条东 项 西方向的航道EF(视为直线)上选取C,D点建两座灯塔，其中C选取在距A比距B 近的地方，且在灯塔C处测得A在它的南偏东15°方向，测得B在它的南偏东60°方向. 从灯塔C沿航道EF向正东行驶30km可到灯塔D,在灯塔D处测得A在它的南偏西 45°方向，则在D处测得B在它的 A.南偏西75°方向 B.南偏西60°方向 C.南偏西30°方向 D.南偏西15方向 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 高 9.已知一组从小到大排列的数据2,3,4,4,5，m,7,10的上四分位数为6，则 有 A.m=5 B.该组数据的众数为4和5 C.剔除该组数据中的后，剩下数据的平均数变小 t. D.剔除该组数据中的后，剩下数据的方差变大 10.已知复数z1z2满足=i,其中1为虚数单位，则 22 A.z1=z2 B.=22 c4=-i D.|z1+z2|=2|z1l 11.如图，梯形ABCD为圆台的轴截面，已知AB=4,CD=1,且梯形ABCD的面积为 15V3 ,则 A.圆台的母线长为3 龙 且圆合的体职为y。 C.已知点F为CD上靠近点C的三等分点，则沿着圆台表面从A到F的最短路径的 长度为√13 D,在该圆台内能放人一个可以绕正方体中心自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略 不计)，则该正方体棱长的最大值为号 数学（人教A卷）试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(a+2i)(1-i)=3-bi(a,b∈Ri为虚数单位)，则a+b= 13.已知用斜二测画法作出△ABC的直观图△A'B'C如图所 示，∠y'O'x'=45°，B'C∥x轴.B'C'=2.且△A'B'C'的而积 为√厄，则△ABC的边BC上的高为 14.已知平面向量a,b满足a-2b|=a十b|,a-b在a上的投 影向量为2a当X∈R时，a一b的最小值为5则|分a十 = 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知复数之满足z十1一2i为实数，z一3十2i为纯虚数，i为虚数单位. (1)求之； (②)若复数1-：·[m+(m一1门十千(m∈R)在复平面内对应的点乙，位于第四 象限，求m的取值范围。 16.(15分) 2026年春晚节目中机器人完美展示了中国武术，激发了同学们对人工智能的强烈兴 趣.某校组织开展人工智能知识竞赛（满分100分），随机抽取了30名男生的成绩和30 名女生的成绩，得到如下统计表： 竞赛成绩/分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 男生人数/人 5 10 10 5 女生人数/人 6 9 9 6 (1)分别估计该校男生成绩的平均分与女生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区 间的中点值为代表)； (2)定义波动参数s=[m1z1-+m2x2-+…+m:x,-++ mnxn一x门，其中n表示区间的个数，x,表示第i个区间中学生的成绩，取该区间的 中点值为代表，m,表示学生成缵在第i个区间的人数，x表示样本的平均值，M= m1十n2十…十m,十…十.参数s越小，表示学生成缋的波动性越小.请通过计算s, 比较男生、女生成缋的波动性. 数学（人教A卷）试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在楼长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，O为侧面BCC,B,的中心. (1)证明：AB∥平面A,DO; D C (2)求直线A,B与平面A,DO所成角的大小： (S)求三棱锥A-A,DO的外接球的表面积. 20 2 装 18.(17分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a十c)2-b2=4 ac cos2C. (1)证明：B=2C; (2)若a=3,c=2,求△ABC的面积； (3)若△ABC为锐角三角形，且b=2,求△ABC的周长的取值范围. 9.(17分) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E为CD的中点，将 △DAE沿AE翻折至△PAE的位置，使点D落在点P的位置，且PB=√6，F,G分 别为AE,BC的中点. (1)证明：平面PAE⊥平面ABCE, 线 (2)若线段PC上存在点M,使得平面PBF∥平面MEG, PM (1)猜想PC的值，并说明理由； (i)求二面角P-BE-M的正弦值. 高一数学（人教A卷）参考答案 1.B【解析】因为a⊥b,所以a·b=2×(-1)+ 6.A【解析】以A为原点，AB,AD所在直线分别为 5x=0,解得x=5 2 x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 故选B. 2.A【解析因为记==一i,所以可=子=5品 故选A. 3.D【解析】设高一、高二共抽取x名学生， 由比例分配的分层随机抽样可知， 则A(0,0),C(4,2),设E(x,y)(0≤x≤4)，当x≠ 130 1500+12001500+1200+12001 0且x≠4时，过E作EF⊥y轴于点F,则牙= 解得x=90. 则高一、高二共抽取90名学生， 22,所以y=2-受（当x=0或4时也成立）， 2 故选D, 4.C【解析1A它=AC+C范=AC+C币 则E(x,2-）Ai=(x2-).c应=(x-4 -AC+(AD-AC) -艺)所以花.花=-4x-x+号=； =+(1-)d 5x=5(-1)°-5，当x=2时，A正.C2取得最 小值-5；当.x=0或4时，A它·CE取得最大值0. =+1-C=日a店+号aC. 故A龙.C龙的取值范围为[-5,0]. 则=1-号解得1=8 故选A. 7.B【解析】如图，作DG⊥A,C,G为垂足，则 故选C. 5.D【解析】当a与B相交时，因为a∩B=b,a∥a, DG⊥平面A,C,CA,连接CG,过E作EF⊥CG, 所以a,b异面，A错误； 交CC,于点F,易知DG⊥EF,且DG∩CG=G, 当a⊥β，aB时，因为a⊥a,所以a∥B,所以a与 所以EF⊥平面CDG,又CDC平面CDG,则 B没有公共点，B错误； EF⊥CD, 若a与B无公共点，则aB,如图，显然满足a⊥b, 易知A,C1=AC=4,A,G=1,又∠CGC1= 但a与B不垂直，C错误； ∠GCE,且∠CGC,+∠GCC,=90°，∠GCE+ ∠FEC=9o°，所以∠GCC,=∠FEC,则tan∠GCC,= FC8总器所以PC=2 连接B,C,过F作FH⊥B,C,交BC于H,因为 因为存在平面Y,使得a⊥y,b⊥y,所以a仍，因为 AB⊥BC,所以A,B,⊥B,C1,则A,B,⊥平面 aCB,所以a中a,又a∩B=b,则bC&,所以aa, BCCB,所以A,B,⊥FH,又A,B,∩B,C=B D正确. 所以FH⊥平面B,CD,则FH⊥CD, 故选D. 连接EH,则平而EFH就是平面a. ·数学（人教八卷）答案（第1页，共6页）· 30°方向上. 故选C. 9.ABD【解析】因为75%×8=6，所以数据2,3,4， D 4,5,m,7,10的上四分位数为第6个数据与第7个 数据的平均数，所以十7=6，解得m=5,A正确： 2 该组数据的众数为4和5，B正确； 数据23,445,57,10的平均数为日×(2+3十 由tan∠B,CC,=tan∠FHC,得B,C=FC CCCH' 4+4+5+5+7+10)=5, 则222 易知剔除该组数据中的5后，剩下数据的平均数不 3c7,所以CH=3 2， 变，C错误； 数据2,3,4,4,5,5,7,10，剔除该组数据中的m后， 所以H-+(- 2 根据方差公式可知，剩下数据的方差变大，D正确. 故选ABD, 故选B. 10.BCD【解析】设x1=a十bi(a,b∈R),则之2= 8.C【解析】根据题意作出如图所示的示意图，在 △ACD中，CD=30,∠ACD=90°-15°=75°， 号=中6i-b-ai所以，=b十ai则，与4 i ∠ADC=45°，则∠CAD=60°，由正弦定理得 不一定相等，A错误； sin∠CADsin∠ADc,所以Ac=30sin45°_ CD AC sin60° 因为|x1=√a2+b,|x2|=√62+(-a)7= 10√6. √a+b,所以|z1|=|x2|,B正确： a-bi (a-bi)(b-ai) 2 b+ai b2+a2 b-ab-(62+a2)i=-i,C正确； b2+a3 之1+之2=a十b+(b-a)i,所以|之1十x2|= √a+b)+(b-a)=√2X√a2+b=2|z1l, D正确. 故选BCD. 在△ABC中，∠ACB=45°，由余弦定理得AB2= I1.ACD【解析】过D作DELAB于E,由之I+ AC2+BC2-2AC·BCcos45°， 即6vVE)=1w5)户+BC-2X105×号8C. 4)·DE=15V ,解得DE=3Y3 2 整理得BC2一20√3BC+225=0, 所以AD= +-》 =3,A正确； 解得BC=5√3或BC=15√3， 由上可知，该圆台的高为所以该圆台的休积为 因为AC<BC,所以BC=15√3 在△BCD中，∠BCD=30°，则BD= v-xx2×灯（}+x2+e]-B √302+153)2-2×30×153×9=15. 错误； 2 设O,O分别为圆台的上、下底面的圆心，将圆台 因为BC2+BD2=CD2,所以∠CBD=90°，则 PD OD 1 PD=⊥ ∠CDB=60°，所以在D处测得B在它的南偏西 补成圆锥P0,则PpA=A0-4,即PD+3-4, ·数学（人教A卷）答案（第2页，共6页）· 所以PD=1, 14.√7【解析】由|a-2b|=|a+b|,得(a-2b)2= 圆锥PO的展开图如图， (a+b),整理得a·b=b 2 因为a-b在a上的投影向量为7a, 所以。-安0竖理得。6= 2, 因此|a|=|b|, a·b1 过点F作FH⊥PD于点H,易知AH=2,FH 所以cos<a,b>=a1b-2' 则a,b的夹角为号. 受则所求的最短距离为AF=√（仔）+ 设OA=a,OB=λb,如图所示， √13，C正确； 圆台补成的圆锥的轴截面是一个边长为4的正三 角形，且该正三角形的内切圆的半径为号× 2,因为2y3<DE=3 V4-2=2 32 4,所以该圆 0 台内能放人的最大球的半径为2，设正方体被 则|a-λb|=|BA|,显然当且仅当OB⊥AB,即 点B与点C重合时，BA|取得最小值V3,所以 长的最大值为1，则3-(2×2，所以1 1asin音=3，则|a=b=2,放2a+b 专D正确， √ga+b-√Ta+a6+6=i. 故选ACD. 12.0【解析】(a+2i)(1-i)=(a+2)+(2-a)i= 15.解：(1)设之=a+bi(a,b∈R), a+2=3, 解得a=1, 因为x+1-2i=(a+1)+(b-2)i为实数， 3-bi,则 2-a=-b, 6=-1, 所以b一2=0，解得b=2. (2分) 所以a十b=0. 因为之一3+2i=(a-3)+(b+2)i为纯虚数，所 13.4【解析】过B作B'D'⊥x'轴，垂足为D',过B' 以a-3=0,解得a=3, (4分) 作B'E∥y轴，交x轴于点E', 故之=3+2i. (6分) (2)由(1)可知，之=3一2i (7分) 1=(3+2)·[m+(m-10门+号 =m+2+ (5m-3)i-2i=(m+2)+(5m-5)i, (9分) 01 EAD→x m+2>0, 由题意可知， (11分) l5m-5<0, 易知△B'D'E'为等腰直角三角形，由S△AC= 解得-2<m<1, 2BC,BD'=E,得BD'=E,所以B'E 故实数m的取值范围为（一2,1）， (13分) 1 √(W2)2+(W2)2=2, 16.解：(1).x男=30(5×65+10×75+10×85+5× 故△ABC的边BC上的高为2B'E'=4. : 95)=80. (2分) ·数学（人教A卷）答案（第3页，共6页）· 所以该校男生成绩的平均分的估计值为80； 即BO⊥平面A,DO, (3分) 所以∠BA,O为直线A1B与平面A,DO所成的 x女=30(6×65+9×75+9X85+6×95)=80. 角， (7分) 在Rt△A1BO中，易求A,B=√2+2=2√2， (5分) 所以该校女生成绩平均分的估计值为80.(6分) B0=2BC,=反，所以sin∠BA,0=分，(8分) (2)男生成绩的波动参数为 男=30×[5×165-80|+10×|75-801+10× 1 则∠BA,0=若， 185-801+5×195-8011=5 故直线A,B与平面A,D0所成角的大小为若 (10分) (9分) 女生成绩的波动参数为 (3)设三棱锥A-A,DO的外接球的球心为M,半 6女=30×[6×65-801+9×75-801+9× 径为R, |85-80|+6×|95-80|]=9, (14分) 因为△A,AD的外接圆的圆心为E,所以ME⊥ 因为男<女，所以男生成绩的波动性比女生成绩 平面A1AD, (10分) 的波动性小. (15分) 由(1)可知，ABOE,AB⊥平面A1AD 17.解：(1)证明：连接AD,与A,D交于点E,连 所以OE⊥平面A,AD,因此球心M在线段OE 接BC1, 上， (11分) D 易求AE=√2，OE=2,由R2=(W2)2+(2-R)2, (13分) 解得R=多 (14分) 故三棱锥A-A,DO的外接球的表面积为SM= 4πR2=9π. (15分) 18.解：(1)证明：由(a+c)2-b2=4 accos2C,得a2+ 因为O为侧面BCC,B,的中心，所以O为BC c2-b2 =2ac (2cos2C-1)=2accos 2C,( 的中点， (1分) 由余弦定理，得a2+c2-b2=2 accos B, 连接OE,因为AB∥CD,CD∥C1D1,且AB= 所以2 accos B=2 accos2C, (2分) CD,CD=CD:, 因为ac≠0，所以cosB=cos2C, (3分) 所以ABC,D,且AB=C,D, 又B,C∈(0，π)， 则四边形ABC,D,为平行四边形， (2分) 所以B=2C或B+2C=2π， (4分) 因为E为AD,的中点，易知AB∥OE, (3分) 因为B+C=π-A<π，所以B+2C<2π， 又AB￠平面A,DO,OEC平面A,DO, 所以B=2C. (5分) 故AB∥平面A,DO. (4分) (2)由B=2C,得sinB=sin2C=2 sin Ccos C, (2)连接B,C,则B,C∩BC,=O,则BO⊥B,C, (6分) (5分) 易知四边形A,B,CD为平行四边形， 由正弦定理与余弦定理，得b=2×0+62一c 2ab 在正方体ABCD-A1B,C,D,中，A,B,⊥平 (7分) 面BCCB, 又BOC平面BCC,B,,所以A,B,⊥BO,(6分) 叉a=3,c=2,所以6=4X5+ 2×36' 因为A,B,∩B,C=B1,故BO⊥平面A,B,CD, 整理得b2一10=0， ·数学（人教A卷）答案（第4页，共6页）· 解得b=√10， (8分) 又PB=√6，则PF2+BF2=PB2, 则cosB=a2+2-b=3+2-(/)2=1 所以PF⊥BF, (3分) 2ac 2×3×2 4 因为AE∩BF=F,AE,BFC平面ABCE, 所以sinB=1-cosB=西 (9分) 所以PF⊥平面ABCE, (4分) 4， 又PFC平面PAE,故平面PAE⊥平而ABCE. 故△ABC的面积为S△Ac -2acsin Bx3x 2 (5分) 2xE=35 PM 1 4 (10分) 4 (2)(1)PC=2 (6分) 理由如下： 0<A<受， 连接AC,与BF,GE分别交于点Q,N,连接PQ, (3）由题意可知， 0<B<受，即 MN. 0<c<2 0<-3C<， 0<2C<，解得<C<, (12分) 0<C< 因为F,G分别为AE,BC的中点，所以四边形 由正弦定理得”。 2 BGEF为平行四边形，所以BFGE, sin万sinB=sinC,则 sin 3C= 又BFC平而PBF,GE中平面PBF, 2 (13分) 所以GE∥平面PBF. (7分) sin 2Csin C' 因为G为BC的中点，所以GN为△BCQ的中位 所以a=2sin3C 2sin C sin 2Cc= sin 2C' (14分) 线，所以CN=NQ期0方， (8分) 则 a+ C= 2(sin 3C+sin C) sin 2C 又兴-名房以PQN, 2[sin(2C+C)+sin(2C-C)]=4cos CE(2, sin 2C 又PQC平面PBF,MN￠平面PBF, 23), (16分) 所以MN∥平面PBF. 又GE∩MN=N,GE,MNC平面MEG, 所以△ABC的周长的取值范围为(2+2√2,2+ 所以平面PBF∥平面MEG, 25). (17分) 19.解：(1)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD,AB= 综上可知，兴- (10分) BC=AD=2,CD=4,E为CD的中点， (i)由(2)(1)可知，点M的位置唯一确定，即 所以AB∥CE,且AB=CE=BC, M为PC的中点. 则四边形ABCE为菱形，所以AE=BC,(1分) 由(1)可知，PF⊥AE.BF⊥AE,且PF∩BF= 则AD=AE=DE=2,所以△ADE为等边三角 F,PF,BFC平面PBF,所以AE⊥平面PBF, 形，因此△PAE为等边三角形， (11分) 因为F为AE的中点，所以PF⊥AE. (2分) 又AE∥BC,所以BC⊥平面PBF, 易得PF=√3，BF=√3， 又PBC平面PBF,则BC⊥PB, ·数学（人教A卷）答案（第5页，共6页）· 所以PC=VPB+BC=V而，则MB=PC= V10 2, (14分) 10 设点M到平面PBE的距离为d, 2 (12分) 在△PEC中，PE=CE=2,PC=√I0,则ME= 则Vm=Vwam=Vm=VaE=专× CE-CM6 2 专-CXEGX号PF=×号×2x5x复-含 2-2 又BE2=MB2+ME2,所以BM⊥EM. (15分) 过M作MH⊥BE于点H, 所以写×号PBAd=分， 由等面积法可知，MH=ME·MB2大0 2 5 (16分) BE 2 解得d= PB·h v6x 5 √15 3 (13分) 设二面角P-BE-M的大小为a, 在△PBE中，PE=BE=2,PB=√6，则边PB上 d。4 则sina=Mi=5· 的商为h=√BE-受T=、2-(）)'= 故二面角P-BE-M的正弦值为等 (17分)