精品解析：山西忻州市第一中学校2025-2026学年高一下学期卓班数学拉练

山西忻州市第一中学校2025-2026学年高一下学期卓班数学拉练 一、单选题 1. 已知复数，其中，i是虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法和复数相等的定义，求出的值即可. 【详解】由，得，∴，∴． 故选：D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的定义域为，然后把区间端点代入，根据函数零点存在定理进行判断． 【详解】的定义域为， ，，，， 因为，由函数零点存在定理得：零点所在的区间为． 故选：B． 3. 若函数（）满足，，且的最小值为，则正数的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵函数 满足，，且的最小值为, 故函数的最小正周期为4⋅， 因为，所以. 4. 在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：用正弦定理判断； 对于B：先由余弦定理，再用正弦定理可以求出角A、B，进行判断； 对于C：由正弦定理，根据大边对大角，这样的角B有2个，进行判断；. 对于D：由正弦定理计算，由大边对大角，这样的角A有1个，进行判断. 【详解】对于A：∵，∴A=140°， 由正弦定理得：， ∴ ∴唯一确定；故A正确. 对于B：∵， 由余弦定理，可得： 由正弦定理：，有： 可以求出角A、B，∴唯一确定；故B正确. 对于C：∵ 由正弦定理：，有：， ∴， ∵∴∴,这样的角B有2个，所以不唯一，故C错误. 对于D：∵ 由正弦定理：，有：， ∴， ∵∴∴,这样的角A有唯一一个， ∴角C唯一，所以唯一，故D正确. 故选：C 【点睛】判断三角形解的个数的方法： （1）画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数： ①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 （2）公式法：运用正弦定理进行判断：①a＝bsinA，则有一个解；②b＞a＞bsinA，则两个解；③a≥ b，则无解。 5. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数（为实数）为偶函数可知，则；分析可知在上是单调增函数；根据偶函数的性质可判断出，，的大小关系. 【详解】（为实数）为偶函数，在上是单调增函数， ，，，且 故选：C 6. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数以及一次函数的单调性可得，结合衔接处的函数值关系可得，构造函数，根据的单调性即可求解. 【详解】由题意必有可得， 又，整理为． 令，有，由函数为增函数，可得函数为增函数，又由， 可得不等式中a的取值范围为， 由上知，实数a的取值范围为． 故选：D 7. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数z的实部和虚部的符号即可. 【详解】由题意 ，显然 ，所以在复平面中对应的点在第一象限； 故选：A. 8. 如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系， 由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由，得出M坐标，结合平面向量的数量积运算即可. 二、多选题 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用复数乘法运算得，结合各项的描述和复数的性质、几何意义判断各项的正误. 【详解】A选项，由， 若是纯虚数，则，可得，A错； B选项，若，即，可得，B对； C选项，若，则，，故，C对； D选项，若，则，故，对应点坐标为， 在复平面内对应点在第三象限，D对. 故选：BCD 10. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可． 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确． 故选：BCD． 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三、填空题 12. 设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为______. 【答案】且 【解析】 【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可. 【详解】向量，，由得，，所以. 由已知得，，所以，即，且不共线. 则，所以. 又不共线，则.所以x的取值范围为且. 故答案为：且. 13. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 【答案】 【解析】 【分析】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案. 【详解】在中，，，则， 其中 ， 由正弦定理，得， 在中，，，则， 又，则， 又， 在中，由余弦定理，得 ， 所以. 故答案为： 14. 在中，，，，当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，根据数量积的定义可得，设，由，所以最小时，最大，则最大，则利用两角差的正切公式、锐角三角函的定义及基本不等式求出的最大值，即可求出此时的； 【详解】解：作交于点， 因为， 所以，所以， 设，由于，所以最小时，最大，则最大， 而 因为，所以， 所以当且仅当，即时取等号， 此时， 故答案为： 四、解答题 15. 设. （1）证明：； （2）在复数范围内，利用公式解方程. 【答案】（1）见解析 （2）方程的根为1或或. 【解析】 【分析】（1）直接计算的值即可证明； （2）因式分解为，则可求出其复数根. 【小问1详解】 ， 故. 【小问2详解】 ，即，即 则或， 当，， 当，或 故方程的根为1或或. 16. 在中，点在边上异于，且在之间. （1）若的平分线交于点，求的最小值； （2）若，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，面积相等法和基本不等式即可求解； （2）根据正弦定理，面积公式，积化和差和正弦函数性质即可求解. 【小问1详解】 由为的角平分线，得. 又，即. 所以. 即， 当且仅当时等号成立； 【小问2详解】 由，得.设， 在中，，得. 在中，，得. 由， 又，得. 所以最小值为. 17. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件用正弦定理角化边，再结合余弦定理求得答案； （2）根据题意，可判断是锐角三角形，由正弦定理可得，，利用三角恒等变换求出的范围，进而得解. 【小问1详解】 由， 可得，，即， 由余弦定理得：， 因为，所以. 【小问2详解】 由，则，，， 所以均为锐角， 在锐角中，，， 由正弦定理得：， 故，， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则，， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 18. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. （1）记的相伴函数为，当时，若，求的值； （2）已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； （3）已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）由“相伴函数”定义和题设求得，利用同角的三角函数关系式求得，再利用拆角变换与差角公式计算即可； （2）将函数化成，由题意推得，化简可得，由代入化简得，利用双勾函数的单调性即得； （3）由题意先求出，作于点，利用三角形的外心性质与向量数量积的几何意义化简得，代入所求式，利用正弦定理将其化成，借助于三角函数的性质即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，可得， 因，则，故， 于是； 【小问2详解】 依题意，，其中，， 因函数在时取得最大值，则，解得， 即，则，， 由 ， 因，函数在上单调递减， 故当时，取得最小值，此时取得最小值为； 【小问3详解】 依题，则，因，则. 如图作于点，因点为的外心，则， 如图， ， 则， 由正弦定理，，则，则， 因，则当时，取得最大值为. 19. 城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园，其中位于半圆的直径上，位于半圆的圆弧上，记. （1）求矩形面积关于的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值. （2）部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆的圆弧上取两点，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域也全部进行绿化建设，其中分别在直线上，与平行，在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？ 【答案】（1），，400m2 （2）（2）中新方案的绿化面积最大值比（1）中原方案的绿化面积最大值更大. 【解析】 【分析】（1）作与平行，交于，四边形为矩形，可得，可求最大值与此时的值； （2）作平行于，交于于，连接，设，延长交于，可求得，进而可得，可求最大值，比较可得（2）中新方案的绿化面积最大值比（1）中原方案的绿化面积最大值更大. 【小问1详解】 作与平行，交于， 与平行，四边形为矩形， ， 平分平分， ； ， ， 当时，矩形面积最大，最大面积为. 【小问2详解】 作平行于，交于于，连接，设，延长交于， 平行于，交于于， ， 平分平分 又，由圆的性质，有， ， 又，得到平行于，显然四边形为矩形， 故，而， ， ， 故矩形面积为 ， 当时，矩形面积的最大值为， 故新方案的绿化园面积最大值为 ， 所以（2）中新方案的绿化面积最大值比（1）中原方案的绿化面积最大值更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西忻州市第一中学校2025-2026学年高一下学期卓班数学拉练 一、单选题 1. 已知复数，其中，i是虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数（）满足，，且的最小值为，则正数的值为 A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 10. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 三、填空题 12. 设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为______. 13. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 14. 在中，，，，当取得最小值时，________． 四、解答题 15. 设. （1）证明：； （2）在复数范围内，利用公式解方程. 16. 在中，点在边上异于，且在之间. （1）若的平分线交于点，求的最小值； （2）若，求面积的最小值. 17. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围. 18. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. （1）记的相伴函数为，当时，若，求的值； （2）已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； （3）已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 19. 城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园，其中位于半圆的直径上，位于半圆的圆弧上，记. （1）求矩形面积关于的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值. （2）部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆的圆弧上取两点，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域也全部进行绿化建设，其中分别在直线上，与平行，在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $