精品解析：江苏南京市金陵中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性检测数学试卷

2025~2026学年度第二学期高二年级阶段性检测 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 集合，，若是的充分条件，则为（ ） A. 0 B. C. 0或或1 D. 0或 2. 展开式中含项的系数为（ ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 180 3. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 7. 函数的值域为的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山．小明与父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是（ ） A. 3人选择的地点均不同的方法总数为60 B. 恰有2人选一个地方的方法总数为15 C. 恰有1人选泰山的方法总数为48 D. 至少1人选泰山的方法总数60 10. 已知事件与发生的概率分别为，，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的导函数为，且，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，且，则______． 13. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________． 14. 平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 17. 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. （1）求此题需要仲裁的概率； （2）求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； （3）求此题得分的分布列及数学期望. 18. 已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．设的前项和为． （1）求； （2）若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值； （3）设集合中任选一个元素，求满足的概率． 19. 已知函数． （1）曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高二年级阶段性检测 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 集合，，若是的充分条件，则为（ ） A. 0 B. C. 0或或1 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，再分类讨论求解即可． 【详解】是的充分条件， ， 则①，解得; ②，解得或（舍去）； 综上，或． 故选：D． 2. 展开式中含项的系数为（ ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 180 【答案】B 【解析】 【详解】， 则展开式中含项为， 故展开式中含项的系数为． 3. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可以判断分段函数是上的单调递减函数，结合一次函数单调性可以求解，再结合处的函数值的关系建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且在上为单调函数， 所以为上的单调递减函数. 当时，一次函数单调递减， 当时，对数函数单调递减， 当时，， 又因为在上为单调递减函数， 所以，解得：. 4. 是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D 5. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，然后对目标式变形为，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，显然，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 故选：C 6. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 7. 函数的值域为的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分时值域及当时结合判别式计算求参，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，满足值域为R，成立； 当时，应有，则，综上， 对于A，是的充分不必要条件，满足； 对于B，是的充要条件，不满足； 对于C，是的必要不充分条件，不满足； 对于D，是的既不充分也不必要条件，不满足. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助换底公式与对数运算法则，结合基本不等式分别判断与及与的大小关系即可得. 【详解】由，则， 由，故， 则； 由，故， 即，则， 综上可得：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山．小明与父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是（ ） A. 3人选择的地点均不同的方法总数为60 B. 恰有2人选一个地方的方法总数为15 C. 恰有1人选泰山的方法总数为48 D. 至少1人选泰山的方法总数60 【答案】AC 【解析】 【详解】 选项A：3人选择的地点均不同，即从5座山中选3座分配给3人排列，方法总数为，所以A正确； 选项B：恰有2人选同一个地方，相当于将3人分成2组，有种分法，这2组从5座山中选2座山排列，共有种方法， 所以恰有2人选一个地方的方法总数为种方法，所以B错误； 选项C：恰有1人选泰山，先从3人中选出1人选泰山有种选法，剩余2人每人可从除泰山外的4座山中任选，总方法数为，所以C正确； 选项D：3人每人选一个地方的总方法数为，无人选泰山的方法数为，故至少1人选泰山的方法总数为，所以D错误. 10. 已知事件与发生的概率分别为，，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助事件的相互独立性、概率加法公式、条件概率公式与对立事件概率公式逐项计算并判断即可得. 【详解】对A：若、相互独立，则， 题干未说明、是否相互独立，故A不一定正确； 对B：， 则，故B正确； 对C：由知，又， 故，即，故C正确； 对D：， 即满足，故D正确. 11. 已知的导函数为，且，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得(为常数)，构造，可得，结合导数依次判断选项即可. 【详解】由，可得， 即(为常数)， 设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以， 所以， 则，所以，故A正确； 对于B，， 即，故B错误； 对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； 对于D，令， 所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即， 所以成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，，即可求概率. 【详解】因为， 所以， 所以， 两式相加得，所以. 故答案为：. 13. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【详解】， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即：，得， 设， 当时，函数单调递增， 所以，所以有， 因此实数的取值范围为. 14. 平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 【答案】507 【解析】 【分析】曲线上的点 满足 ，根据圆与外切，可得等式，两式联立可得，求得数列的通项，从而可得数列的通项，利用裂项相消法可得，最后由数列单调性分析和恒成立条件即可求出最小正整数 . 【详解】根据题意，曲线 上的点 满足 ； 因为圆 与轴相切，圆心纵坐标为，故半径 ； 圆与的圆心距， 半径之和为 ， 因为圆与外切， 所以，化简得：， 将 代入上式可得： 又因为，所以，即， 所以数列为等差数列，首项： ，公差 ； 通项： 所以 所以， ，随 增大递增，极限为 ， 即 对所有 成立； 恒成立条件： 恒成立，需 ，即； 故最小正整数 结论：满足条件的最小正整数为 507. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性恒等式，联立方程组可求解； （2）利用换元法，化为二次不等式恒成立，再结合单调性即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，. 因为，所以， 联立解得：，． 【小问2详解】 因为，所以对于恒成立． 设，则， 设， 因为，当且仅当时等号成立，所以． 又因为该函数在区间上单调递增，则． 所以，即，故实数的取值范围是． 16. 已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）联立直线与椭圆的方程，根据斜率之积得出，再利用化简即可. 【小问1详解】 由题意得，， 得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立，得， 设，则， 即， ， 则 ， 得， 则的面积 . 17. 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. （1）求此题需要仲裁的概率； （2）求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； （3）求此题得分的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以 【解析】 【分析】（1）所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11，由此求解即可； （2）先计算一评二评给分相同的概率，再计算一评二评给分不同的概率，即可求解； （3）由随机变量可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 根据规则，只有当一评，二评的分数差绝对值大于1时，才需要仲裁， 所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11， 两种情况的概率之和为：. 【小问2详解】 设事件为“一评，二评给分不同”，事件为“最终得满分13分”， 一评二评给分相同的概率为, 因此，， . 【小问3详解】 由题意可得的可能取值为：，，，，， 则， ， ， ， 所以的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以. 18. 已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．设的前项和为． （1）求； （2）若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值； （3）设集合中任选一个元素，求满足的概率． 【答案】（1） （2）24 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列的求和公式确定所在的组，再计算即可得出结果； （2）利用错位相减法求得，确定的大致范围，结合“被3整除”的条件筛选计算求出对应的最小值； （3）依题意有，化简可得，分类依次计算即可得出结果. 【小问1详解】 将数列进行分组，第组有个，则前组有个数， 由于，所以前11组有66个数， 恰好就是第11组的最后一个数，即； 【小问2详解】 设前组数之和为， 则， ， 两式相减得： ， 所以； 前6组数之和，共有21个数，第7组为7个， 所以使得的最小正整数为23； 假设存在使得能被3整除，则， 因为321能被3整除，所以也能被3整除，而64不能被3整除， 所以能被3整除，所以最小为24； 【小问3详解】 设前组与第组的前个数之和为，其中， 依题意，有， 即，等价于，即， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 所以满足条件的的取值个数为， 所以满足的概率为. 19. 已知函数． （1）曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解， （3）根据（2）的结论得，即可累加求解. 【小问1详解】 ， 则，则 【小问2详解】 当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，， 令，则，因为， 令，则， 即， 累加得：， 即成立 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $