精品解析：江苏连云港市东海城北高级中学2025-2026学年高二第二学期第二次质量检测数学试卷

2025-2026学年第二学期第二次质量检测 高二数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ∴. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将复数进行化简，得出对应的点的坐标，即可求出复数所位于的象限. 【详解】∵， ∴， ∴在复平面内对应的点为， ∴在复平面内对应的点位于第二象限, 故选：B. 3. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示． 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 50 60 70 80 100 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由表格中的数据求得样本数据的样本中心，代入回归方程，求得，得到经验回归方程为，结合残差的计算方法，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得，， 因为经验回归直线必过点，即点， 可得，解得，所以经验回归方程为， 所以样本点处的残差为． 故选：C． 4. 设m是实数，已知，，若，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量平行的坐标运算求解答案． 【详解】由，设，即． 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 6. 记试验的样本空间，事件，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再求，利用条件概率公式即可求解. 【详解】由题意有，，， 所有， 故选：A. 7. 如图，一质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动4次，则该质点位于原点右侧的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况，第一种情况：一直向右移动，第二种情况：向左移动一步，向右移动三步，分别求其概率即可. 【详解】第一种情况：一直向右移动，； 第二种情况：向左移动一步，向右移动三步：， 所以该质点位于原点右侧的概率为. 故选：A. 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解. 二、多选题 9. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若，，则直线与直线可能平行，可能异面，故A错误. 对于B，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.若，，则，故B正确. 对于C，若，，则直线与平面，可能垂直可能平行也可能相交但不垂直. 故C错误. 对于D，若，，如图过直线作平面与平面相交于直线，可得，因为，所以，又因为， 可得.故D正确. 10. 下列各式正确的是（   ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D. 的展开式中的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由组合数的性质判断A，B；由隔板法判断C；由二项式定理判断D. 【详解】对于A，因为， 所以或， 解得或,故A正确； 对于B，由组合数的性质可知： ， 所以， 所以 ，故B正确； 对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可， 所以共有种不同放法，故C错误； 对于D，因为的展开通项为：， 而的展开式中的系数由两部分组成： 第一部分是与的展开式中的系数的积，即； 第二部分是的系数-1与的展开式中的系数的积，即， 所以的展开式中的系数为，故D正确. 11. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（ ） A. ． B. C. 若，则向量共面 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合空间向量线性运算利用表示，结合空间向量基本定理求，判断A，表示，结合模的性质及数量积运算律求其模长，判断B，表示，结合向量共面定理判断C，由，可得，化简可求，判断D. 【详解】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中的常数项为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第5项与第3项的二项式系数之比求得，再根据展开式通项求解即可． 【详解】因为第5项与第3项的二项式系数之比为， 所以， 整理得，或（舍）， 则的展开式通项为， 令， 则展开式中的常数项为． 13. 如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种． 【答案】72 【解析】 【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点开始涂色计算可得结果. 【详解】根据题意按照的顺序分5步进行涂色， 第一步，点的涂色有种， 第二步，点的颜色与不同，其涂色有种， 第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种， 第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择； 第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择； 根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种. 故答案为：72 14. 如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，以及组合与组合数的概念和计算方法，列出所有可能的情况，计算结果即可. 【详解】由题意可知，从出发到处，需要向上4次，向右4次，所以不同的情况有种， 从出发到处，需要向上3次，向右1次，从出发到处，需要向上1次，向右3次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 从出发到处，需要向上1次，向右2次，从出发到处，需要向上3次，向右2次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 则从出发不经过到达处，共有不同情况种. 故答案为：24. 四、解答题 15. 已知． （1）若，求n的值； （2）若，求数列的前n项和． （3）若随机变量X满足，求数学期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出二项式的展开式的通项，令的指数为，求得的关系代入求得，列式求出值； （2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出； （3）由题意得随机变量服从二项分布，利用二项分布的期望公式直接求解即可. 【小问1详解】 二项式的展开式的通项为， 由题意得的系数为, 则,解得. 【小问2详解】 当时，，则， ∴， 所以数列的前项和 . 【小问3详解】 由上知,, 即, 所以随机变量服从，则. 16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． （1）求证: 平面平面； （2）当为中点时， 求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，又由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 底面是正方形，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面． 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围． 【答案】（1）函数有极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论函数在区间上的单调性，结合导数与原函数单调性之间的关系分析求解. 【小问1详解】 若，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为，且， 若函数在区间上为单调函数，则有： 当函数在区间上为单调递增函数，则，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 可知在区间上为单调递增函数， 当时，取到最小值1，可得； 当函数在区间上为单调递减函数，则，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 可知在区间上为单调递增函数， 当时，取到最大值6，可得； 综上所述：或， 所以a的取值范围为. 18. 设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有1个白球和m（，）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为. （1）求的值； （2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得的值. （2）先求得“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率、求得“从甲袋中取出2个红球”且“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 记事件：从甲袋中取出2个红球， 事件：从甲袋中取出2个白球， 事件：从甲袋中取出1个红球和1个白球， 事件：从乙袋中取出2个红球， 事件：从乙袋中取出1个红球和1个白球. 因为， 所以，所以（负舍），故的值为2. 【小问2详解】 ， ，. 所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）由平面平面先证平面，得，从而根据线面垂直的判定定理得平面即可得证； （2）①建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离确定点的坐标，再利用线面角的向量法求解；②取的中点，其为直角三角形外心，则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，即可确定半径，得解. 【小问1详解】 取的中点，连接，在直角梯形中，， 则四边形为正方形，所以， 在等腰直角三角形 中，， 为等腰直角三角形，而，故， 则有，所以， 因为平面平面平面平面，平面 ， 所以平面，又平面，所以， 又因为，直线有公共点，平面 所以平面又平面得； 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 点P到平面的距离为， 解得，此时，， ①设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值； ②取的中点，其为直角三角形外心，且， 则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 即平面，设， 由， 得， 解得， 故外接球的半径为， 其表面积为， 故三棱锥外接球表面积为. 【点睛】关键点睛：求解外接球的相关问题，关键是根据题意结合几何题的特征，确定外接球的球心位置，进而求出半径，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次质量检测 高二数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示． 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 50 60 70 80 100 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 设m是实数，已知，，若，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 6. 记试验的样本空间，事件，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动4次，则该质点位于原点右侧的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 二、多选题 9. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列各式正确的是（   ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D. 的展开式中的系数为 11. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（ ） A. ． B. C. 若，则向量共面 D. 若，则 三、填空题 12. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中的常数项为________． 13. 如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种． 14. 如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答） 四、解答题 15. 已知． （1）若，求n的值； （2）若，求数列的前n项和． （3）若随机变量X满足，求数学期望． 16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． （1）求证: 平面平面； （2）当为中点时， 求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围． 18. 设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有1个白球和m（，）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为. （1）求的值； （2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $