第十九章二次根式章末小结与复习课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件围绕二次根式的概念、性质、运算及应用展开，从定义导入，通过有意义的条件、性质（双重非负性、化简）到运算（加减乘除混合），结合数轴、三角形等情境构建知识支架，衔接前后内容。 其亮点是题型分类细致（判断、取值范围、几何化简等），融入实际应用（电流计算、斐波那契数列）。以数学眼光抽象问题，数学思维训练推理运算（如混合运算用平方差公式），数学语言表达规律，助力学生提升运算与应用能力，教师可高效开展分层教学。

章末复习 第十九章 二次根式 内容概览 知识回顾 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如____（a≥0）的式子叫作二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号； ②被开方数是非负数，即a≥0. 注意：二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 【题型 1】判断式子是否是二次根式 1.在下列各式中，一定是二次根式的是( ) A. 2 B. C. D. C 2.下列各式是二次根式的有( ) (1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) -2. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A 2. 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件： 二次根式中的被开方数是非负数。即 4中a≥0。 注意： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须 是非负数； (2)如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零， 【题型 1】根据二次根式有意义的条件求取值范围 3 .若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是( ) A . x≤2 B. x<2 C. x≥2 D. x>2 4.已知实数a满足∣2026−a∣+=a,则 a−的值为( ) A . 2026 B.2027 C. D. C B 【题型2】二次根式有意义的条件——分式中 5 .若 有意义，则x的取值范围为_____. x>3 6.若代数式 有意义，则x的取值范围是_______ . x<3 【题型3】二次根式有意义的条件—含多个二次根式 7.若 和 ,(x≠0,y≠0),两个二次根式有意义，则( ) A. x>0, y>0 B. x<0, y<0 C. x>0, y<0 D. x<0, y>0 8.若 y=+3−2,则代数式的值为( ) A.4 B. C.-4 D. − C A 3.二次根式的性质 （双重非负性） 拓展 （a为全体实数） 【题型1】二次根式的双重非负性 9.已知 +=0,那么( a+=( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 B 10.如果 与 互为相反数，那么 +y的算术平方根是 _________. 11.若 ∣a+1∣+−4b+4+=0,则 a++的算术平方根( ) A.4 B.16 C.±4 D.-4 A 3.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. （1）被开方数不含_____________； （2）被开方数中不含能_____________的因数或因式. 分母 开得尽平方 【题型2】二次根式的化简 12.化简: =______. 13.已知1≤a≤2,化简 +∣a−2∣=____. -3 1 【题型3】根据二次根式的性质求取值范围 14.若 =2,则( ) A. x≥2 B. x>2 C. x≤2 D. x<2 A 15.若 =5−a,则a的取值范围是( ) A. a>5 B. a<5 C. a≥5 D. a≤5 D 【题型4】二次根式为整数 16.已知n是正整数， 是整数，则n的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17.已知 是整数，则自然数m的最小值是( ) A.12 B.9 C.1 D.4 D D 【题型5】二次根式的化简——二次根式与数轴 18.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简、 −∣b−a∣的结果为( ) A.-b B. b C.-2a+b D.2a-b 19.已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简 −∣a+b∣++∣b+c∣=( ) A. a+b-c B.2b+2c-a C.2c-a D.2b-a B B 【题型6】二次根式的化简——二次根式与三角形的三边关系 20.若2、5、n为三角形的三边长，则化简 +的结果为( ) A.5 B.2n-11 C.11-2n D.-5 21.已知a，b，c为三角形的三边，则 ++=________. A a+b+c 4.二次根式的乘、除法法则 乘法法则： 除法法则： 逆用也适用. 5.二次根式的加减 类似合并同类项 可以先将二次根式化成_______________，再将_________ ___________的二次根式进行合并. 最简二次根式 被开方数 相同 “一化简二判断三合并” 【题型1】二次根式的乘除运算 22.×÷______ 23.计算: ÷−× -2 24. 计算 ÷⋅(−)=________. 25 . 计算: 12÷×=_________. -9 8a 【题型2】积的算术平方根与商的算术平方根成立的条件 26 . 等式 =成立的x的取值范围是____________. 27. 若 =⋅,则x的取值范围是_______. -1x x 28.计算: +−(−)=___________. 29.计算:a−2a+3=__________. 【题型3】二次根式的加减运算 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别： 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 6.二次根式的混合运算 与有理数的混合运算类似：先乘（开）方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）. 注意平方差公式与完全平方公式的运用！ -. 【题型1】二次根式的混合运算 解：原式=(3+4(3-48 复习巩固 选自教材第20页 复习题19 1. 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由二次根式的意义可知 3 + x ≥ 0，所以 x ≥ －3， 所以当 x ≥ －3时， 在实数范围内有意义； （2）由二次根式的意义及分母不为零可知 2x－1 > 0， 所以 x > ，所以当 x > 时， 在实数范围内有意义； 巩固练习 （3）由二次根式的意义及分母不为零可知 2－3x > 0， 所以 x < ，所以当 x < 时， 在实数范围内有意义； （4）由二次根式的意义及分母不为零可知 x－1 ≠ 0， 所以 x ≠ 1，所以当 x ≠ 1 时， 在实数范围内有意义. 2. 化简： （1） （2） （3） 解:（1）原式 = （2）原式 = （3）原式 （4） （5） （6） （4）原式 （5）原式 （6）原式 3. 计算： （1） （2） ； 解:（1）原式 = （2）原式 = = = = （3） ； （4） （3）原式 = ； （4）原式 = ； （5） ； （6） （5）原式 = = ； = （6）原式 = + = 5－ . 4. 正方形的边长为 a，它的面积与一个长为 96、宽为 12 的 长方形的面积相等. 求 a. 解：由题意可知 a2 = 96×12. 等量关系：正方形面积 = 长方形面积. 所以 5. 已知 x = ，求代数式 x2 + 5x – 6 的值. 解: 因为 x = ，且 x2 + 5x－6 = (x－1)(x + 6)， 所以原式 = (x－1)(x + 6) = 10 = . 综合运用 选自教材第20-21页 复习题19 6. 已知 ，求代数式 的值. 解: 因为 x = ，代入代数式，得 = = = = . 7. 一列按如下顺序排列的数： 1，1，2，3，5，8，13，21，…， 从第 3 个数开始，后一个数是其前两个数的和，这列数称为斐波那契数列. 斐波那契数列的第 n 个数可以表示为 请你用这个式子验算斐波那契数列的第 1 个数和第 2 个数是否都是 1. = 解: 当 n = 1 时， 当 n = 2 时， = = = 1 . 8. 电流通过导线时会产生热量，电流 I（单位：A）、导线电阻 R（单位：Ω）、通电时间 t（单位：s）与产生的热量 Q（单位：J） 满足 Q = I²Rt. 已知导线的电阻为 5 Ω，1 s 时间导线产生 30 J 的 热量，求电流 I 的值（结果保留小数点后两位）. 解：由 Q = I2Rt 得 ， = 当 R = 5 Ω，t = 1 s，Q = 30 J 时， = 即电流 I 的值约为 2.45 A. 9. 已知 n 是正整数， 是整数，求 n 的最小值. 分析：将 化为 ，由此易得 n 的最小值为 21. n 是正整数，所以 n 的最小值为 21. 解：因为 ， 且 是整数， 拓广探索 选自教材第21页 复习题19 10.（1）把一个圆的面积四等分.你能想出几种分割方法？ （2）如图，以点 O 为圆心的三个同心圆把以 OA 为半径的 大圆 O 的面积四等分. 若 OA = r，求这三个圆的半径 OB，OC，OD 的长. 分析：（1）可以将圆分成面积等大的扇形，也可以将圆分成面积等大的小圆与圆环. （2）分别计算出以 OD，OC，OB 为半径的圆的面积，再根据圆的面积 公式求出对应的半径. 解:（1）用互相垂直的两条直径分割圆，即可把一个圆的面积四等分. （2）由题意可知： · OD2 = πr2，① πr2，② = πr2 .③ 由①得 OD = r， 把 OD = r 代入②中，得 OC = r， 把 OC = r 代入③中，得 OB = r， 所以 OB = r ， OC = r， OD = r . 11. 判断下列各式是否成立： 如果成立，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明. 解：上述式子均成立.用字母表示规律为： 证明 $