河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期三调数学试卷

参考答案及解析 选择填空题答案速查 题号 5 7 8 10 11 12 13 14 答案 B D C D BD ACD ABD 240 [1,+∞) 四、15.解：(1)(n+1)Sn-n3-n2=0, (n+1(Sn-n2）=0. n+1≥2≠0，.Sn=n2. (2分) 当n=1时，a=1.(3分) 当n≥2时，an=Sn-Sn1=n2-(0n-1)2=2n-1. (5分) 经检验，当n=1时，也符合此式， .an=2n-1. (6分) 2b,=lo8:a 3,2--log,(2n-l刂-log2(2n+1, =10g22n+1 (8分) .Tn=b+b2+b3+…+bn=(log21-log23+(log23-log25)+…+[log2(2n-1)-log2(2n+1]=-log2（2n+1) (11分) 31 又Tn<-5,.log2（2n+1)>5,解得n> 2 :neN,.n的最小值为l6. (13分) 16.解：1)由题表得元-20+40+60+80+100=60， =2.09+189+1.66+145+1.31-1.68,（3分) 5 xy-5河 所以6= 464-5×60×1.68 - 22000-5×602 =-0.01, i=l 则a=1.68-（-0.01×60=2.28, (6分) 所以y关于x的经验回归方程为)=-0.01x+2.28. (7分) (2)由(1)得x=20时，y-=0.01: x=40时，y-)=0.01: x=60时，y-=-0.02: x=80时，y-)=-0.03; x=100时，y-=0.03. (10分) 所以4=(0.01+0.01-0.02-0.03+0.03)=0， 0.0001+0.0001+0.0004+0.0009+0.0009≈0.028， (13分) 所以[μ-3o,μ+3o为-0.084,0.084. 因为x=50时，=-0.01×50+2.28=1.78， 所以y-=1.69-1.78=-0.09, 所以该对数据不正常. (15分) 17.解：(1)由题意知，10名艺人中有4名核心艺人，6名熟练艺人，随机抽取5名艺人，其中核心艺人 的人数X服从超几何分布，参数为N=10,M=4,n=5. (1分) 所以P(X=0)= c8-6=1 Ci。25242 pX=1=CC-60-5 Cio 25221 P(X=2 CC2_120_10 Cio 25221 P(X=3)= CC2 605 Ci。 252211 P(X=4)= 6 1 Ci。 (6分) 25242 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 1 10 P 5 1 42 21 21 42 (7分) (2)(方法一)设事件A为“抽到核心艺人”，则事件A为“抽到熟练艺人”， 所P小高号PA刘-合号 (8分) 若抽到核心艺人，则其完成3件作品中优秀作品数Y~B 所以EY1A)=3×5-5 412 (10分) 若抽到熟练艺人，则其完成3件作品中优秀作品数Y~B 所以E(Y1=3x3-9 (12分) 55 21239 所以E()=P(4)EV10+P(团)Ey1A=5x5+亏*52.04， (14分) 所以E(Y)>2,考核有希望通过 (15分) (方法二)设事件A为“抽到核心艺人”，则事件A为“抽到熟练艺人”， 所以P叫小=号P叫到-总- (8分) 105 核心艺人，则其完成3件作品中优秀作品数Y~B 置抽到熟练艺人，则其完成件作品中优秀作品数Y~B3, (9分) 由题意知，Y的所有可能取值为0,1,2,3， 所以y-0-1-+-9 Pr=-c周+c)器 Pv-2-c)e号 258 625 Py-+) (13分) 所以Y的分布列为 0 1 2 3 26 132 258 209 P 625 625 625 625 所以E(Y）=0× 26 .132 258 +2× +3× 209 +1× =2.04, (14分) 625 625 625 625 所以E(Y)>2,考核有希望通过 (15分) OF,OF,OF,+7 OF,=8 OF2 =2a, (1分) Q-则Qr710r=四 又QE⊥x轴，0FP=F+FFP, (9=+4,即3=4e :c2=a2-b2,a2=4b2. (3分) 41 点P(2,在椭圆上，小+存=1 a2=8,b2=2, x2 故椭圆C的标准方程为 +)=1 (4分) (2)(i)证明：由题意知，直线1的斜率存在，设直线的方程为y=kx+m,Ax,y)，B(x,y2)· y=kx+m, 联立 正=1 8+2 消去y并整理，得1+4k2）x2+8kmx+4m2-8=0. 则△=64k2m2-41+4k2）(4m2-8=4(32k2-4m2+8>0, 即m2<2+8k2，x+x2 -8km 4m2-8 1+4状，X西=1+4状 (6分) 如图，过点P作PN⊥x轴，则线段PN平分∠APB, ◆1 M k4+kg=0,即当-1+-1 -2620. (7分) 又：y=k+m,2=k2+m, .2kxx2+m-1-2k)(x1+x2）-4m-1=0, .4k2-4k+1+2km-m=0,即(2k-1)(2k-1+m=0, 1 k=2或2k-1+m=0. (9分) 当2k-1+m=0时，1：y=kx+m=kx-2+1,此时直线I过点P,舍去， 1 k= 2 故直线1的斜率为定值. (10分) (ii)解：由(i)可知x+x2=-2m，xx2=2m2-4,且E(-x,-y),F(x,-y), 直线MF:y-为=2+(x-x) (11分) X2-X1 1 1 令y=0,得x=+。 2+m2+m x5+m(x+=4 y+2 1 2+)+2m m 2+m+2+m (13分) .△MAB与△EAB的面积相等， ,E,M到直线1的距离相等， :,EM与I的交点为EM的中点，且EM的中点坐标为 (15分) :1:y=2x+m, (16分) 13 化简，得 m,解得m=±6 1m2 3 ∴.直线的方程为y= 16 2x+ 1.6 3 或y= (17分) 3 19.1)解：f(x)=lnr+ax+a-1-7, 函数f(的定义域为(0，+o,且f川x=+a-a-x+[ax-(a-] (1分) 当a<0时，由f(x>0得0<x<a1,由∫(x<0得x>a， a a f在0 上单调递增，在 a-1 上单调递减。 (2分) 当0≤a≤1时，f'(x)>0在(0，+o上恒成立， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增 (3分) 当a>1时，由f>0得x>,由f<0得0<x<4-1 a a 上单调递减，在 上单调递增。 (4分) 综上所述，当a<0时，f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为 当0≤a≤1时，f(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间； 当a>1时，f(x)的单调递减区间为 o (5分) (2)(i)解：由(1)知a>1, fes=f2。=h。+a-0+a-7=ala-l-a+2a-8 (6分) h(a)=In(a-1)-Ina+2a-8(a >1), 则(a)=1-1+2=1 +2>0, a-1 aa(a-1) ∴.h(a)在(1，+o)上单调递增 (7分) :h4)=1n3-1n4+8-8=n3<0, 4 4 4e2 h(5)=ln4-ln5+10-8=2+ln-=ln >0, 5 5 ∴.要使h(a<0,则1<a<5. a为最大正整数，∴.a=4.(9分) 时=hm4-,a=f目）=0.f得=0+台9>0.川-0.病 足题意，故a=4.(10分) (i)证明：当a=4时，f(x=nr+4x+3-7, 上单调递减，在，0 上单调递增， (11分) :.0<x<4 X2 3 要证+山>即证6>2 3 3333 4且3 x2> 6>244 2 又：f经切上率莲路 风证>- (12分) 又=升)=0，藏只需证f)>f? 即=-侵小0r 3 上恒成立。 ,1+8-3 3 32 +8、 (14分) =小o+ 则车台+树小上单词建故。 :F()在0，上单调递减。 (16分) r-0.故0.>}-0 即f)>行小从面>f行 3 由f(的单调性得名>2，即x+x>2 (17分) 绝密★启用前 姓名____________班级______________考号________________ 2025—2026学年高二下学期3调 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关于样本相关系数的说法正确的是（ ） A．的取值范围是 B．越大，线性相关程度越强 C．时，变量，为负相关 D．越小，线性相关程度越强 2．已知，两个离散型随机变量之间存在线性正相关关系：，且，，，，则，的取值为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．为研究睡前阅读与睡眠质量是否有关联，某机构采取有放回简单随机抽样的方法抽取80名学生进行调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．依据小概率值的独立性检验，分析睡前阅读是否会有助于睡眠质量． 睡眠质量良好 睡眠质量一般 合计 坚持睡前阅读 30 10 40 不睡前阅读 10 30 40 合计 40 40 80 ，临界值表： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828 则下列说法正确的是（ ） A．依据，有把握认为99．9%的人睡前阅读会有助于睡眠质量 B．依据，有把握认为0．1%的人睡前阅读会有助于睡眠质量 C．依据，有99．9%的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 D．依据，有0．1%的把握认为睡前阅读会有助于睡眠质量 4．河北四大名窑：邢窑、定窑、磁州窑、井陉窑．现从中任选3个名窑，安排到周一、周二、周三三天进行非遗研学直播，要求邢窑不安排在周一，则不同的直播安排方法有（ ） A．12种 B．18种 C．20种 D．24种 5．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．10 6．从0至6这七个数中取出5个数组成一个五位数，要求百位和千位上的数相差1且都比另外三个数位上的数大，则这样无重复数字的五位偶数有（ ） A．42个 B．43个 C．84个 D．86个 7．梯度下降法是一种常用的优化算法，在AI领域经常用于神经网络、深度学习模型参数更新，其迭代公式为（其中称为学习率）．设函数，若初始值，经过一次梯度下降迭代得到，且曲线在点处的切线经过点，则学习率α=（ ） A． B． C． D． 8．已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量，且满足，则下列选项正确的有（ ） A． B． C． D．若，则 10．设函数，则（ ） A．，有3个零点 B．时， C．，使得对任意x，有 D．，当，且时，有 11．某智能路由器有和两种信号传输模式，运行规则如下：在信号稳定时，系统自动选择传输模式的概率为；在信号不稳定时，系统自动选择传输模式的概率为；路由器信号稳定的概率为．则下列结论正确的是（ ） A．路由器信号稳定且选择传输模式的概率为 B．路由器选择传输模式的概率为 C．“路由器信号稳定”与“路由器选择传输模式”是相互独立事件 D．已知路由器选择了传输模式，则它处于信号稳定的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为______________ 13．已知时，，则正实数的取值范围是_____________ 14．投掷一枚骰子次，记次中最大的点数为，若使，则的最小值为_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 16．（15分）对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如下表所示： 20 40 60 80 100 2.09 1.89 1.66 1.45 1.31 （1）求关于的经验回归方程； （2）已知数据残差服从正态分布，其中，．若残差在范围内，则数据正常，反之异常．现该组数据中有一对数据为，判断该对数据是否正常． 参考数据：，，． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17．（15分）蔚县剪纸核心工序包括画样、刻制、染色3道关键工序，艺人的工序水平直接决定作品质量．某蔚县剪纸非遗工作室有若干个剪纸小组，其中某小组有10名艺人，按工序水平分为两类：4名艺人精通全部3道核心工序（记为“核心艺人”），6名艺人精通其中工序（记为“熟练艺人”）．现从该小组随机抽取5名艺人完成一批剪纸作品，按工序水平分类统计． （1）记抽取的5名艺人中，核心艺人的人数为，求的分布列及数学期望； （2）已知1名核心艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，1名熟练艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，现对该小组进行内部考核，从10名艺人中随机选1名，让其独立完成3件剪纸作品，记优秀作品的件数为，若，则考核通过，试从数学期望的角度判断考核是否有希望通过． 18．（17分）已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，，在椭圆上，且轴，，．直线交椭圆于，两点，与关于原点对称，与关于轴对称，直线与轴的交点为． （1）求椭圆的标准方程． （2）若过作轴的垂线，其垂线平分． （ⅰ）求证：直线的斜率为定值． （ⅱ）当与的面积相等时，求直线的方程． 19．（17分）已知函数，． （1）求的单调区间． （2）若有两个零点，． （ⅰ）求最大正整数． （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $