精品解析：2026年河南平顶山市郏县城关镇第二初级中学等校中考学科第二次调研考试数学试卷

2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值的倒数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值；倒数的定义：乘积为1的两个数叫做互为倒数，再根据求绝对值方法和求倒数方法进行解答即可． 【详解】解：∵，且的倒数是3， ∴的绝对值的倒数是3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查绝对值，倒数的概念及性质，熟练掌握绝对值与倒数的求法是解决问题的关键． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：4500000000=4.5×109， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：几何体的俯视图是 4. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相则；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变． 根据同底数幂的乘法和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示：相交于点O， ∵是烛焰的高，是实像的高， ∴， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ∴，解得：． 故选：B． 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值进行判断． 【详解】解： ， 所以方程没有实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 为培养学生爱国主义情怀，某校决定从“新县大别山革命老区”“焦裕禄纪念园”“红旗渠风景区”三处红色基地中随机选取两处组织学生开展研学活动，则恰好选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪念园”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将“新县大别山革命老区”“焦裕禄纪念园”“红旗渠风景区”三处红色基地分别记为、、， 列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪念园”的情况有种， ∴恰好选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪念园”的概率为， 故选：B． 8. 若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　） A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. y1，y2的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据、与对称轴的大小关系及二次函数的基本性质，判断、的大小关系． 【详解】解：∵，其中，，， ∴此函数的对称轴为：， ∵， ∴两点都在对称轴左侧，， ∴对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴． 故选：A． 【点睛】题目主要考查根据二次函数的基本性质判断函数值的大小关系，理解题意，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 9. 如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质和点、的坐标得到，，再根据折叠的对应角相等和平行线的性质推出，然后根据等角对等边和勾股定理求出，进而求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，即C、D纵坐标相同， ∵点，点， ∴，， 由折叠的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 10. 如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点A，B分别在相互垂直的射线上滑动，连接．给出下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则；②C，O两点距离的最大值为4；③若平分，则；④在滑动过程中，始终等于60°．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由，，，求出，．由轴对称的性质得，可判断①正确；取的中点为，连接、，由三角形三边关系可知当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，可判断②不正确；当，则四边形是矩形，满足与相互平分，但不成立，可判断③不正确； 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴若、两点关于对称，如图， ∴为的垂直平分线， ∴，故①正确； ②如图，取的中点为，连接、． ∵， ∴． 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故②不正确； ③如图，当， ∴四边形是矩形， ∴与相互平分，但不成立，故③不正确； ④延长至点F，如图1， ∵， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∴，故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若不等式组无解，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于m的不等式，即可求出答案． 【详解】解：由不等式，得， ∵原不等式组无解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由不等式的解集求字母取值范围，能根据不等式组的解集得出关于m的不等式是解答此题的关键．求不等式组解集的规律：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了． 13. 某中学将体育运动纳入课后延时服务中，开设了篮球、排球、足球三种球类运动课程．甲、乙两名同学从这三种球类运动课程中各随机选择一种参加，则他们选到同一种球类运动课程的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定甲、乙两名同学选择课程的所有等可能结果总数，再找出两人选到同一种课程的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：记篮球、排球、足球分别为A，B，C，画树状图如下： 可知共9种情况，其中两人选到同一种球类课程的情况有3种， 选到同一种球类运动课程的概率． 14. 如图，在半径为6的扇形中，，平分，交于点，点为半径上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知的长度为定值，只要确定的最小值即可，作点关于直线的对称点，连接交于点，的最小值即为，进而求得阴影部分周长的最小值． 【详解】如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，则由轴对称的性质可知 ． 当点与点重合时阴影部分的周长最小，为的长与的长的和． 平分，， ， ． 连接，由轴对称的性质可得，， ， 是等边三角形， ， 阴影部分周长的最小值为． 15. 如图，为等边三角形，，为边上一动点，过点作交于点，作交于点，连接．当为直角三角形时，线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设，则，可得，由得到是等边三角形，推出，分类讨论和时和的关系，列方程解答即可． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 分两种情况讨论．①当时，如图1所示： ∴， ∴，即， 解得； ②当时，如图2所示： ， ∴，即， 解得； 综上所述，线段的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）优先化简绝对值，零指数幂，负指数幂，再运算即可； （2）优先通分合并括号内分式，再运用因式分解进行化简即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 17. 为弘扬中华优秀传统文化，某校举行了“中华传统文化知识”竞赛，七、八年级各有100名学生参赛，对成绩（百分制）进行整理，部分信息如下： a．八年级成绩频数分布直方图： 年级 平均数 中位数 众数 七 78 81 79 八 80 m 82 b．将八年级在这一组的成绩按照从小到大的顺序排列后，最后10个数据为． c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表： 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的____________； （2）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； （3）小东同学只看了八年级成绩频数分布直方图后，就说：“八年级成绩的平均数一定小于82分．”请你写出小东作出此判断的理由． 【答案】（1）78.5 （2）八 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数等知识． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据加权平均数的计算方法求出八年级成绩的平均数的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴中位数在这一组， ∵， ∴第50和第51个数分别是78和79， ∴中位数是：． 故答案为：78.5； 【小问2详解】 解：∵七年级的中位数是81，八年级的中位数是78.5，甲、乙两名同学的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前， ∴甲是八年级的学生． 故答案为：八； 【小问3详解】 解：由八年级成绩频数分布直方图可知，八年级成绩的平均数的最大值为 （分） 故八年级成绩的平均数一定小于82分． 18. 如图，两块三角板放置在平面直角坐标系中，含角的直角三角板的直角边的长恰与等腰直角三角板的斜边的长相等，且．反比例函数的图象恰好经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）若把含角的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好落在轴上，点落在点处，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的比值关系求出点的坐标，再把点代入运算求解即可； （2）根据列式运算即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，， ∴， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 由题意，知， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 开封铁塔是我国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”的美称．某数学小组为了测量铁塔塔尖到湖面的高度，结合光的反射定律，利用皮尺和量角器，设计了测量方案：如图，在铁塔对岸处，测得塔尖的仰角，低头看湖面，发现塔尖的倒影恰好被处的一片树叶挡住．已知点，，，在同一平面内，观测点离湖面的高度，点到湖岸的距离．请运用所学知识，根据以上数据推算出铁塔的塔尖到湖面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设，则，证明，再由求出，通过运算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ∴，． 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 在Rt中，， ∴； 答：铁塔的塔尖到湖面的高度约为． 20. 全球赖氏的精神家园、中原“根亲文化”的示范性工—古赖国文化园坐落在河南省三大历史名镇之一的息县包信镇，近些年世界各地赖氏宗亲都会到河南息县参加赖氏祭祖活动．为使活动更有意义，举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；购买8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元． （1）求甲、乙两种品牌文化衫的单价； （2）根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件数超过乙品牌文化衫件数的2倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）甲种品牌文化衫的单价为40元，乙种品牌文化衫的单价为35元；（2）购买甲品牌文化衫1334件，乙品牌文化衫666件时，最省钱，见解析 【解析】 【分析】（1）设甲种品牌文化衫的单价为x元，乙种品牌文化衫的单价为y元，由题意：购买4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；购买8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲品牌文化衫m件，则购买乙品牌文化衫（2000﹣m）件，由题意：决定购买两种品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件数超过乙品牌文化衫件数的2倍．列出一元一次不等式，解不等式，进而求解． 【详解】解：（1）设甲种品牌文化衫的单价为x元，乙种品牌文化衫的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种品牌文化衫的单价为40元，乙种品牌文化衫的单价为35元； （2）设购买甲品牌文化衫m件，则购买乙品牌文化衫（2000﹣m）件， 由题意得：m＞2（2000﹣m）， 解得：m＞， ∵甲品牌文化衫的单价大于乙品牌文化衫的单价， ∴购买甲品牌文化衫的件数越少，越省钱， ∴当m＝1334时，最省钱， 此时2000﹣m＝666， 答：购买甲品牌文化衫1334件，乙品牌文化衫666件时，最省钱． 【点睛】此题考查二元一次方程的应用和不等式的应用，难度一般，找准关系式是关键． 21. 如图示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点. （1）求证：与相切： （2）若，，求长； （3）若，长记为，长记为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）首先连接，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出，进而得出，即可得证； （2）首先连接，得出，进而得出，再根据勾股定理得出DE； （3）首先连接，过点作，得出，再得，进而得出，然后构建二次函数，即可得出其最大值. 【详解】（1）证明：连接 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵是的半径 ∴与相切 （2）解：连接 ∵AB为直径 ∴∠ADB=90° ∵ ∴ ∴ ∴ ∴中 （3）连接，过点作于 ∵，DE⊥AE，AD=AD ∴ ∴，DE=DG ∴ ∴ ∴ 即： ∴ ∴ 根据二次函数知识可知：当时， 【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质与二次函数的综合应用，熟练掌握，即可解题. 22. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【小问1详解】 解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； 【小问3详解】 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 23. 数学实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作探究】 对折矩形纸片，使和重合，得到折痕，展平纸片，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，如图①．小强在进行上述操作之前，先在上取一点，沿折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，展平纸片，连接，再进行上述操作，连接，如图②，在不添加其他线段（也不得标注字母或符号）的情况下，写出一个的角：____________，一个的角：____________，一个的角：____________； （2）【探究拓展】 延长图①中的交于点，如图③，小强发现无论怎么改变矩形的形状，线段之间都存在某种数量关系，请写出这种数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若，连接，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）（或或）；（或或）； （2），证明见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，结合解直角三角形，求出，进而得到，，平角的定义，得到，证明四边形为正方形，得到，进而求出； （2）根据折叠的性质，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，在中，利用三角函数求出，再根据，即可得出结论； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：．证明如下： 如图，连接． 由折叠可知，垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 在中，， ． ， ． 【小问3详解】 解：的长为或． 分两种情况讨论． ①当时，如图，由（2）知， 由折叠可知， ∵， ∴， ，即， ； ； ②当时，如图，此时点与点重合， ， 在中，， ， ； 综上可知，当为直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值的倒数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 5. 小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 7. 为培养学生爱国主义情怀，某校决定从“新县大别山革命老区”“焦裕禄纪念园”“红旗渠风景区”三处红色基地中随机选取两处组织学生开展研学活动，则恰好选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪念园”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　） A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. y1，y2的大小不确定 9. 如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点A，B分别在相互垂直的射线上滑动，连接．给出下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则；②C，O两点距离的最大值为4；③若平分，则；④在滑动过程中，始终等于60°．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 若不等式组无解，那么的取值范围是______． 13. 某中学将体育运动纳入课后延时服务中，开设了篮球、排球、足球三种球类运动课程．甲、乙两名同学从这三种球类运动课程中各随机选择一种参加，则他们选到同一种球类运动课程的概率是__________． 14. 如图，在半径为6的扇形中，，平分，交于点，点为半径上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为__________（结果保留）． 15. 如图，为等边三角形，，为边上一动点，过点作交于点，作交于点，连接．当为直角三角形时，线段的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）． （2）． 17. 为弘扬中华优秀传统文化，某校举行了“中华传统文化知识”竞赛，七、八年级各有100名学生参赛，对成绩（百分制）进行整理，部分信息如下： a．八年级成绩频数分布直方图： 年级 平均数 中位数 众数 七 78 81 79 八 80 m 82 b．将八年级在这一组的成绩按照从小到大的顺序排列后，最后10个数据为． c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表： 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的____________； （2）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； （3）小东同学只看了八年级成绩频数分布直方图后，就说：“八年级成绩的平均数一定小于82分．”请你写出小东作出此判断的理由． 18. 如图，两块三角板放置在平面直角坐标系中，含角的直角三角板的直角边的长恰与等腰直角三角板的斜边的长相等，且．反比例函数的图象恰好经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）若把含角的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好落在轴上，点落在点处，求图中阴影部分的面积． 19. 开封铁塔是我国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”的美称．某数学小组为了测量铁塔塔尖到湖面的高度，结合光的反射定律，利用皮尺和量角器，设计了测量方案：如图，在铁塔对岸处，测得塔尖的仰角，低头看湖面，发现塔尖的倒影恰好被处的一片树叶挡住．已知点，，，在同一平面内，观测点离湖面的高度，点到湖岸的距离．请运用所学知识，根据以上数据推算出铁塔的塔尖到湖面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 20. 全球赖氏的精神家园、中原“根亲文化”的示范性工—古赖国文化园坐落在河南省三大历史名镇之一的息县包信镇，近些年世界各地赖氏宗亲都会到河南息县参加赖氏祭祖活动．为使活动更有意义，举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；购买8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元． （1）求甲、乙两种品牌文化衫的单价； （2）根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件数超过乙品牌文化衫件数的2倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 21. 如图示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点. （1）求证：与相切： （2）若，，求长； （3）若，长记为，长记为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值. 22. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 23. 数学实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作探究】 对折矩形纸片，使和重合，得到折痕，展平纸片，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，如图①．小强在进行上述操作之前，先在上取一点，沿折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，展平纸片，连接，再进行上述操作，连接，如图②，在不添加其他线段（也不得标注字母或符号）的情况下，写出一个的角：____________，一个的角：____________，一个的角：____________； （2）【探究拓展】 延长图①中的交于点，如图③，小强发现无论怎么改变矩形的形状，线段之间都存在某种数量关系，请写出这种数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若，连接，当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $