精品解析：2026年河北省承德市宽城满族自治县宽城镇黄崖子中学等校中考数学模拟卷一

九年级数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确的选项前面的字母代号填在题目后面的括号内） 1. 手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入14元 B. 收入3元 C. 支出3元 D. 支出17元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减应用，根据题意正确列式是解题的关键． 先根据题意列出算式，再根据有理数的加减法进行计算，最后根据结果的正负即可解答． 【详解】解：依题意得，即支出3元． 故选C． 2. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于，根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法对A进行判断；根据同类二次根式对B进行判断；根据完全平方公式对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】解：A：，选项运算正确； B：与不能合并，选项运算错误； C：，选项运算错误； D：，选项运算错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径是解题的关键． 4. 2025郑州马拉松奖牌采用“姓氏徽章完赛奖牌”的组合形式，奖牌融入“杜岭方鼎”“莲鹤方壶”等中原文物意象，并刻有可转动的“百家之源”姓氏铭盘，强调文化与奔跑的联结．若赛事组委会共制作了20000枚磁吸姓氏徽章，将数据20000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：． 故选：B． 5. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意， 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 6. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 7. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ） A. 0.82 B. 0.88 C. 0.89 D. 0.90 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此求解即可． 【详解】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90， 故选：D． 8. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 先化简分式，然后将整体代入即可计算． 【详解】解：， 当，即时， 原式， 故选：B． 9. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A， B， D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 10. 图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻满足反比例函数关系，其图象如图2所示．当电阻R为时，该台灯的电流I是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设电流与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流与电阻之间的函数关系为， 当时，． 11. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 6.5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换及勾股定理，先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， 在中， ∴ 解得， 故选：A． 12. 如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（ ） A. 9 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据矩形到现在得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得出，，， ， ，， ， ， ， ， ， 点D的纵坐标为15． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算，关键是正确进行开平方． 首先计算开平方，然后再计算有理数的加减即可． 【详解】解：， 故答案为： 14. 一个三角形的三边长分别为2、9、x，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、9、x， ∴根据三角形的三边关系，有：， 因此，x的取值范围是， 故答案为：． 15. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据图形设小长方形的长为，则宽为，然后根据为一个小长方形的长加上三个小长方形的宽列出方程，求出x后，再用大长方形的面积减去五个小长方形的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为， 由题意得：， 解得：， 则， ∴阴影部分图形的总面积， 故答案为：． 16. 如图所示，电线杆的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为时，其影长为__________．（取1.732，结果保留3个有效数字） 【答案】米 【解析】 【详解】解：在中，，，， ∴（米）， 即影长约为米． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上表示如下： 18. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）3 （2） （3）8 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【小问1详解】 过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． 【小问2详解】 ， 在和中 ， 同理可得， ． 20. “感受滨海城市的魅力，首选烟台”，为宣传烟台海洋文化，激发爱烟台的情感，某校组织八年级学生开展“亲近海洋生态，畅享烟台靓丽海景”为主题的研学之旅，策划了五个研学景点，分别为：蓬莱阁，：烟台山，：养马岛，：渔人码头，：月亮湾．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上图文信息回答下列问题： （1）此次调查共抽取了多少名学生？ （2）请将此条形统计图补充完整； （3）在此扇形统计图中，景点所对应的扇形圆心角的大小为 ； （4）学生小凡和小红各自从以上五个研学景点中任选一个参加研学活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩恰好选择不同景点的概率． 【答案】（1）此次调查共抽取了名学生； （2）景点的人数为（人），补全条形统计图如图所示： ； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合运用、扇形统计图圆心角的计算以及利用列表法或树状图法求概率，重点和难点在于从条形统计图和扇形统计图中获取有效信息，同时需要熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）观察条形统计图可知，选择景点的学生有人；观察扇形统计图可知，选择景点的学生占总人数的； （2）已知总人数为人，条形图中、、、的人数分别为、、、，景点的人数可以通过总人数减去其他四个景点的人数得到； （3）景点的人数为人，总人数为人，圆心角的度数等于乘以该部分所占的比例； （4）共有个景点：、、、、，小凡和小红各自任选一个，这是一个两步实验，可以使用列表法或画树状图法列出所有等可能的结果． 【小问1详解】 解：（名）， 答：此次调查共抽取了名学生． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：在此扇形统计图中，景点所对应的扇形圆心角的大小为， 故答案为：． 【小问4详解】 解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中他俩恰好选择不同景点的结果有种， 他俩恰好选择不同景点的概率为． 21. 如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； 【小问3详解】 解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． （1）【特例探究】当时，求与的值． （2）【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． （3）【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 【答案】（1）， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，两直线交点坐标的求法是解题的关键． （1）分别求出，，，即可求解； （2）分别求出，，，即可求解； （3）分别求出，，，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴直线表达式为 当时，， ， 当时，， ， ， ∵点为直线和直线的交点， ， 得， ， ； 【小问2详解】 解：∵直线表达式为， 可得：， ， ， 解方程组得：， 即， ， ； 【小问3详解】 解：依题意有交点．则 ①当时，交点为，与无关 ②当或时， ③当时，． 23. 如图，在中，，，，点沿折线向终点运动（点不与点重合），把线段绕点逆时针旋转得线段，连结． （1）求证：是等边三角形； （2）当点落在边上时，求线段的长； （3）当时，直接写出与重叠部分的面积； （4）当点在边上运动时，在不添加辅助线的情况下，当图中线段围成的三角形中，存在两个相似三角形的相似比为时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）或； （4）． 【解析】 【分析】（）由旋转可得，根据等边三角形的判定定理即可求证； （）根据题意，画出图形，由可得，，即可得，解直角三角形求出即可求解； （）求出，设的边长为，则，由可得，即得，分点在上运动和点在上运动两种情况解答即可求解； （）当点落在（）中的点位置时，可得，相似比为，利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：由旋转可得，，， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 设的边长为，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 当点在上运动时，由（）可得，点恰好落在边上， 此时与重叠部分的面积即为的面积，面积为； 当点在上运动时，如图，点此时落在（）的位置处， ∵， ∴，， ∴此时； 综上，与重叠部分的面积为或； 【小问4详解】 解：如图，当点落在（）中的点位置时，由（）可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， ∵， ∴． 24. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其顶点为．设是抛物线与轴交点的横坐标，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求代数式的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、代数式的求值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入中，即可求得； （2）根据二次函数的图象和性质可知与轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴来表示顶点的横坐标，即可求的的面积； （3）根据表示的含义列等式，将两边平方推导高次幂的化简关系． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得， 解得． 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知抛物线的表达式为， 将代入中，得， 点， ， 顶点B的横坐标为， ， ． 【小问3详解】 是抛物线与轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确的选项前面的字母代号填在题目后面的括号内） 1. 手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入14元 B. 收入3元 C. 支出3元 D. 支出17元 2. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025郑州马拉松奖牌采用“姓氏徽章完赛奖牌”的组合形式，奖牌融入“杜岭方鼎”“莲鹤方壶”等中原文物意象，并刻有可转动的“百家之源”姓氏铭盘，强调文化与奔跑的联结．若赛事组委会共制作了20000枚磁吸姓氏徽章，将数据20000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 7. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ） A. 0.82 B. 0.88 C. 0.89 D. 0.90 8. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻满足反比例函数关系，其图象如图2所示．当电阻R为时，该台灯的电流I是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 6.5 D. 10 12. 如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（ ） A. 9 B. 12 C. 14 D. 15 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 14. 一个三角形的三边长分别为2、9、x，则的取值范围是____________． 15. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为______． 16. 如图所示，电线杆的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为时，其影长为__________．（取1.732，结果保留3个有效数字） 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 计算： （1）； （2）； （3）． 19. 如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 20. “感受滨海城市的魅力，首选烟台”，为宣传烟台海洋文化，激发爱烟台的情感，某校组织八年级学生开展“亲近海洋生态，畅享烟台靓丽海景”为主题的研学之旅，策划了五个研学景点，分别为：蓬莱阁，：烟台山，：养马岛，：渔人码头，：月亮湾．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上图文信息回答下列问题： （1）此次调查共抽取了多少名学生？ （2）请将此条形统计图补充完整； （3）在此扇形统计图中，景点所对应的扇形圆心角的大小为 ； （4）学生小凡和小红各自从以上五个研学景点中任选一个参加研学活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩恰好选择不同景点的概率． 21. 如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； （3）若，，求的半径． 22. 从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． （1）【特例探究】当时，求与的值． （2）【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． （3）【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 23. 如图，在中，，，，点沿折线向终点运动（点不与点重合），把线段绕点逆时针旋转得线段，连结． （1）求证：是等边三角形； （2）当点落在边上时，求线段的长； （3）当时，直接写出与重叠部分的面积； （4）当点在边上运动时，在不添加辅助线的情况下，当图中线段围成的三角形中，存在两个相似三角形的相似比为时，直接写出线段的长． 24. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其顶点为．设是抛物线与轴交点的横坐标，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $