精品解析：2026年河北衡水市枣强县大营镇石村中学等校中考模拟数学试题（二模）

九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最小？（ ） 星期 一 二 三 四 最高气温/℃ 10 12 11 9 最低气温/℃ 2 1 0 A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法，有理数比较大小，掌握了相关知识是解决问题的关键．温差是最高气温减去最低气温的差值．计算各天的温差并比较大小，最小值对应的星期即为答案． 【详解】解：星期一温差， 星期二温差 ， 星期三温差 ， 星期四温差 ． 比较得：，故星期一的温差最小． 故选：A． 2. 如图，中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接DE、DF．根据图中标示的角度，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AD， ，，设与交于点，设与交于点，利用轴对称的性质得出，于是可得,在与中，利用直角三角形两锐角互余可得与的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图连接AD， ，，设与交于点，设与交于点， 点分别以 为对称轴，画出对称点 ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，关键是熟练掌握轴对称的性质． 3. 地球到太阳的距离约为15 0 000 000千米，这个数用科学记数法表示为（  ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数； 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法，注意的值的确定方法，当原数大于时，等于原数的整数数位减，按此方法即可正确求解． 4. 如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面看到的平面图形作答即可． 【详解】解：依题意，从的正面看到的平面图形是， 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一个非负数都有两个平方根 B. 任意两个正方形一定是全等图形 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义、全等图形的判定、三角形内角和定理、无理数的性质，需要依次分析每个选项的正误，从而确定正确选项． 【详解】解：A、根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而0属于非负数，但它的平方根是0，不符合题意； B、∵正方形的边长不一定相同，则任意两个正方形不一定是全等图形，不符合题意； C、根据三角形的内角和为，则三角形的内角中最多有一个钝角，符合题意； D、由题意，取两个无理数为，，则它们的和是4，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 6. 有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正确做出辅助线、构造直角三角形是解题的关键数． 如图：连接，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 【详解】解：连接，如图， ∵， ， ∵米，米， ∴米， ∵米，米， ， ∴为直角三角形， ∴这块草坪的面积． 故选：B． 7. 当，时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，积的乘方的逆用，熟练应用积的乘方的逆用是解题的关键． 根据积的乘方的逆用把原式变形为，再代入求值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式， 故选：D． 8. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到解集为 ，由整数解恰有3个，可知整数解为0、1、2，进而推导出的取值范围． 【详解】解：解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为； ∵整数解恰有3个，且， ∴ 整数解为0、1、2， ∴，解得：； 故选B． 9. 已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 乙对，甲错 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 10. 中国古代数学专著《九章算术》第一章“方田”中记载了如下问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思为：现有一块扇形的田，弧长是30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积是（ ） A. 200平方步 B. 120平方步 C. 平方步 D. 平方步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 扇形所在圆的直径是16步， 所以半径为8步， 又因为扇形的弧长为30步， 所以(平方步)． 故选：B． 11. 如图．正方形的顶点，分别在轴，轴上，正方形的边长为，抛物线的图象经过、两点，下列说法中，正确的个数有（ ）个 ①；②；③；④方程的解为，；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像与性质，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴、轴的交点，二次函数的最值等，掌握二次函数图像与性质是解题关键．根据抛物线开口方向可得，根据对称轴为，得到，可判断②；，根据抛物线与轴交于正半轴，可得，据此可判断①；根据时，，代入可判断③；根据抛物线经过，，可判断④；根据二次函数在时，取最大值，可判断⑤． 【详解】解：由图像可知，抛物线开口向下， ， 正方形的边长为， ， 对称轴为， ，即，故②正确； 抛物线与轴交于点， ， ，故①错误； 由图像可得，当时，， ， ， 解得，故③正确； ，， 当时，或， 方程的解为，，故④正确； 当时，函数取最大值，为， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的有个． 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据旋转可得：，，可得的坐标． 【详解】解：如图所示： 由旋转得：，， ∵四边形是正方形，且是的中点， ∴， ∴，即．   故选：B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算=_______． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式＝＝0． 故答案为0． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确去掉绝对值是解题关键． 14. 某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是______． 【答案】 4 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再将数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得到中位数． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4，且共有7个数据， ∴这组数据的总和为， 则， 将这组数据按从小到大的顺序排列为：， 共个数据，最中间的数为第个数，即． 15. 如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 16. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为． （1）如图②，在圆内接正十二边形中，______（度）； （2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为______． 【答案】 ①. 30 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据正多边形与圆的关系可进行求解； （2）过A作于M，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， ∴； 故答案为30； （2）过A作于M，如图所示： 在正十二边形中，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， ∴， ∴的近似值为3， 故答案为3． 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）当 ，求m的值． （2）当时，求a的值． 【答案】（1）3 （2）a的值为0或 【解析】 【分析】（1）根据得出，再代入求解即可； （2）先根据零指数幂求出，再代入得出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ∴， ∴或， ∴或， ∴a的值为0或． 18. 我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： （1）已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； （2）已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 【答案】（1）与F是“合分式”，理由见解析，3 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【小问1详解】 解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3； 【小问2详解】 解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， 19. 如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． （1）求证：． （2）若的面积是，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由，，得，所以，同理得，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60；统计图见解析 （2）300人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；先求出编织的人数，再补全条形图即可； （2）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案； （3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，本次随机调查的学生人数为： （人）； 故答案为：60； 选择编织的人数为：（人）， 补全条形图如下： 【小问2详解】 解：该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为： （人）； 【小问3详解】 解：根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则 列表如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果， ∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识，扇形统计图和条形统计图的信息管理，用样本估计总体，根据扇形统计图求总数．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 【答案】（1）见解析 （2）一次函数， （3）下午 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【小问1详解】 解：描点并连线如图所示： 【小问2详解】 解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数，设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当时，得， 解得， 上午经过12小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 22. 如图1，在菱形中，对角线交于点O，，于点E，于点F，点P、Q分别为边上的动点，且，连接分别交AC于点G、H，． （1）求证：； （2）连接，判断的形状，并说明理由； （3）设以P、B、Q、D为顶点的多边形的周长为l，请直接写出l的取值范围； （4）与的面积分别记为和，若H是的中点，（n为正整数），请求出n的值． 【答案】（1）见解析 （2）为等边三角形，理由见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质结合角平分线的性质定理得到，再由证明即可； （2）先得到为等边三角形，然后证明，再由，得到，则，故，即可根据证明等边三角形； （3）先证明，则，那么，根据直角三角形的性质得到，再由勾股定理得到，而，再结合不等式的性质求解即可； （3），，则，故，可求，则，设，则，那么，过H作于点M，求出，则，由等面积可得， 列方程求解，即可求解的值． 【小问1详解】 证明：在菱形中，平分， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：为等边三角形； 理由：在菱形中，，平分， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 【小问3详解】 解：由（2）知为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在△PDB和△QDC中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点P为边上的动点， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问4详解】 解：如图， ，， ∵， ∴， ∴， ∵H为中点，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 过H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， 由等面积可得， ∴， 整理得， 解得或，故舍去； 此时， ∴， ， ∴， ∴． 23. 已知抛物线过点两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作，垂足为M，求证：四边形为正方形； （3）点P为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）证明：∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出，得到四边形为菱形，再根据，即可得证； （3）求出的解析式，设，，作轴，交于点M，进而得到点的坐标，根据三角形的面积公式，列出二次函数，求最值即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线过点两点， ∴， ∵， ∴， 把代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴设直线的解析式为， 把，代入，得， ∴直线的解析式为：， ∵点P在抛物线上，且位于直线下方， ∴设，其中，， 如图所示，作轴，交于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入，得， ∴此时点P的坐标为． 24. 如图1和图2，在矩形中，，，点E为边中点，把绕点E顺时针旋转（）得到，连接，过E点作交矩形边于F点，连接，，设点F运动的路径长为x． （1）求证：； （2）直接写出线段的最小值，并求当时，的度数； （3）当点落在边上时，求x的值； （4）当时，直接写出点到的距离（用含x的式子表示）． 【答案】（1）证明见解答 （2）的最小值为4， （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据旋转和等腰三角形的性质利用证明，即可解题； （2）分点在上、点在边上、点在上三种情况分别计算最小值，然后利用（1）中的全等三角形的性质解题即可； （3）分点在上、点在边上两种情况画图，利用相似三角形的判定和性质和勾股定理解题即可； （4）过点作交和于点，推导，然后根据得到结果． 【小问1详解】 证明：由旋转可得， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点F在上时，的最小值为长， 即， 当点F在边上时，即当时最小， 即， 当点F在上时，即当F点在点C时最小， 即， ∴最小值为4； 当时， ， 根据（1）得到， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点F在上时，连接， 由（1）得，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可得， ∴， ∴ ， ∴点F运动的路径长； 如图，当点F在上时，过点E作于点G， 则四边形是矩形， ∴，， 由（1）可得，，， ∴， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点落在边上时，x的值为或7； 【小问4详解】 解：如图，当时，过点作交和于点M，N， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 由（3）可得， ∴， 即， ∴， ∴，整理得， ∴； 当 时，如图，过点作交和于点M，N， 则，， 设，则， 由（3）可得， ∴， 即， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴点到的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最小？（ ） 星期 一 二 三 四 最高气温/℃ 10 12 11 9 最低气温/℃ 2 1 0 A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 2. 如图，中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接DE、DF．根据图中标示的角度，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 地球到太阳的距离约为15 0 000 000千米，这个数用科学记数法表示为（  ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一个非负数都有两个平方根 B. 任意两个正方形一定是全等图形 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 6. 有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（ ） A. B. C. D. 7. 当，时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 乙对，甲错 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 10. 中国古代数学专著《九章算术》第一章“方田”中记载了如下问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思为：现有一块扇形的田，弧长是30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积是（ ） A. 200平方步 B. 120平方步 C. 平方步 D. 平方步 11. 如图．正方形的顶点，分别在轴，轴上，正方形的边长为，抛物线的图象经过、两点，下列说法中，正确的个数有（ ）个 ①；②；③；④方程的解为，；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算=_______． 14. 某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是______． 15. 如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 16. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为． （1）如图②，在圆内接正十二边形中，______（度）； （2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）当 ，求m的值． （2）当时，求a的值． 18. 我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： （1）已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； （2）已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 19. 如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． （1）求证：． （2）若的面积是，求的面积． 20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 22. 如图1，在菱形中，对角线交于点O，，于点E，于点F，点P、Q分别为边上的动点，且，连接分别交AC于点G、H，． （1）求证：； （2）连接，判断的形状，并说明理由； （3）设以P、B、Q、D为顶点的多边形的周长为l，请直接写出l的取值范围； （4）与的面积分别记为和，若H是的中点，（n为正整数），请求出n的值． 23. 已知抛物线过点两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作，垂足为M，求证：四边形为正方形； （3）点P为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标． 24. 如图1和图2，在矩形中，，，点E为边中点，把绕点E顺时针旋转（）得到，连接，过E点作交矩形边于F点，连接，，设点F运动的路径长为x． （1）求证：； （2）直接写出线段的最小值，并求当时，的度数； （3）当点落在边上时，求x的值； （4）当时，直接写出点到的距离（用含x的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $