2.6 一次函数与二次函数【7大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

2.6 一次函数与二次函数 7大考点汇总 考点01 一次函数的图像和性质 考点02 二次函数的值域或最值 考点03 待定系数法求解析式 考点04 判断二次函数的单调性和求解单调区间 考点05 与二次函数相关的复合函数问题 考点06 已知二次函数单调区间求参数值或范围 考点07 根据二次函数的最值或值域求参数 题型专练 考点01 一次函数的图像和性质 1．下列函数中,在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据基本初等函数的性质判断可得. 【详解】一次函数为上的减函数，指数函数为上的减函数， 二次函数在区间上是减函数，在区间上单调递增； 幂函数为定义域上的增函数， 故选：D. 2．在同一坐标系中，直线：和：的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线和都是一次函数，通过讨论随着的增大而增大或随着的增大而减小，直线与轴的交点在轴的上方还是下方讨论排除选项得解. 【详解】①当时，即时，和都是一次函数，都是随着的增大而增大，选项中不存在； ②当时，即时，和都是一次函数，都是随着的增大而减小，与轴的交点的纵坐标为，，与轴的交点在轴的上方，选项中不存在； ③当时，即时，和都是一次函数，是随着的增大而增大，是随着的增大而减小，与轴的交点的纵坐标为，，与轴的交点在轴的上方，过原点，选项B符合题意； 综上可知，选项B正确. 故选：B. 3．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以得不等式组：，解得. 故答案为：. 4．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出函数在区间上的值域，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】当时，函数，则， 因此函数在上的值域为，函数在上递增， 因此函数在上的值域为，即， 由，，使得， 得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 6．函数，的最大值是______． 【答案】1 【分析】由二次函数的单调性即可求解. 【详解】由，可知对称轴为，开口向下， 故在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1. 考点02 二次函数的值域或最值 7．在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 【答案】 4 3 【分析】根据基本不等式求的最小值，再结合二次函数性质求结论. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此，即也在处取得最小值， 所以，解得，即， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由于，故. 9．函数的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】令，通过求导确定的范围，再结合二次函数性质即可求解. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 令，，则， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为0. 故的最小值为0. 10．已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分析对函数的影响，再对分类讨论，根据二次函数的单调性找到最值和的关系，进行求解. 【详解】设，，则， 对于固定的，在的值域是，值域的区间长度为， 此时函数在的最大值为的含义是：数轴上，点到区间上所有点的最大距离为. 若，则，若或，则，所以. 对任意恒成立等价于，即：， ， ①当时，即：时，在上单调递增，所以 ，令，解得，符合题意； ②当，即：时，，而，， 若，则：，，因为，所以 ，则 ，不满足条件； 若，则，，令，解得：或，不满足条件； ③当，即：时，在上单调递减，所以，令，解得：，符合条件. 综上所述，的取值范围为. 11．若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知 解得 （2）由题可得函数 12．已知二次函数过点，点，点 (1)求的解析式； (2)若，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用待定系数法，设二次函数一般式 ，代入已知三点坐标，得到三元一次方程组，解出系数即得解析式； （2）令，将的范围转化为的范围，原不等式化为对恒成立，故需小于在该区间上的最小值，由单调性得该最小值，随即得到实数的取值范围. 【详解】（1）设二次函数解析式，因为二次函数过点，点，点， 因而，，解得，所以. （2）要使得，对任意恒成立，即，任意 不妨令，因为，因此， 即，，，由（1）得， 对称轴方程为，因此在单调递增，则， 所以，即. 考点03 待定系数法求解析式 13．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 14．已知函数图象的对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象的对称轴为，且列方程即可求得，，即可得到的解析式； （2）列出一元二次不等式，解出即可. 【详解】（1）因为图象的对称轴为， 所以，解得， 由，解得，所以； （2）因为，所以，即， 所以，解得，所以原不等式的解集是． 15．设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 16．已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，得，求解.再由的最小值为建立关于的方程并求解即可； （2）根据题意得对一切实数都成立，再利用判别式求解. 【详解】（1）因为， 所以，解得. 又因为的最小值为 所以，代入得，解得， 故. （2）当时，对一切实数都成立 即对一切实数都成立， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 17．已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次方程，求出的取值； （2）结合二次函数图象，求出的取值范围； （3）结合二次函数图象，求出的取值范围． 【详解】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或．    （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为．    18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式并直接写出的单调区间； (2)当时，求的最小值的解析式. 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式； （2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值． 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，解得，即时，； 当时，，， 故， 单调递增区间为，单调递减区间为. （2）作出函数的大致图象如图所示： ① 当时，函数在上单调递增，则； ② 当，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③ 当时，，函数在上单调递减， 则； ④ 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； ⑤ 当时，即当时，函数在上单调递增，在单调递减， 又， 所以，此时， ⑥ 当时，即时，在单调递增， 所以， 综上所述，. 考点04 判断二次函数的单调性和求解单调区间 19．已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图象的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 20．函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 【详解】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 21．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知在上单调递增，求的取值范围； (3)若，求在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集； （2）结合二次函数的图象与性质，即可求解； （3）根据二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 不等式，即，解得或， 即不等式的解集为. （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足， 所以的取值范围为. （3）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在递减，在上递增， 所以最小值为，又因为区间端点比距离对称轴更远，故函数在处取最大值， 在上的值域为. 22．已知函数，在下列哪个区间一定是递增的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质分析的区间单调性及零点所在的区间，进而判断各区间的单调性，即可得. 【详解】对于，其中，函数图象开口向上， 所以在R上存在两个不同的零点，且，对称轴为， 若，则，故、上，上， 而，，则， 所以在、上单调递减，在、上单调递增， 综上，一定递增的区间有. 故选：B 23．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 24．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)函数的最大值是_______. 【答案】 【分析】首先换元令，将函数表示为关于的二次函数，然后求最值. 【详解】解：令 ，则， 即且， 又因为，所以， ，， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 考点05 与二次函数相关的复合函数问题 25．函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【详解】令，可得， 可得函数的最大值为9. 26．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 27．已知函数（）的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或，又因为，所以． （2），令， 因为，所以， 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以， 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以， 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上，． 考点06 已知二次函数单调区间求参数值或范围 28．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 29．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 30．设，若函数在上单调递减，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分、讨论，结合二次函数的图象、单调性可得答案. 【详解】令， 当,即时， 是开口向上对称轴为的抛物线，且， 所以， 若函数在上单调递减， 则只需，又， 可得； 当,即或时， 令，解得，， 且， 可得的图象大致如下， 若函数在上单调递减， 只需，或， 由得，再由， 解得； 由得，解得， 即方程组无解. 综上所述，. 故选：D. 31．已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】由题意可得，或，得或， 故实数的取值范围为 故答案为： 32．函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________. 【答案】或 【分析】根据二次函数的性质及区间单调性写出参数范围即可. 【详解】由，函数图象开口向上且对称轴为， 又函数在区间上单调，则或. 故答案为：或 33．（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 34．已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 【答案】或或或 【分析】根据给定条件，按二次函数图象的对称轴与区间的关系分类求解. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，解得或， 所以a的值为或或或. 考点07 根据二次函数的最值或值域求参数 35．已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 36．已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 37．已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 38．已知函数，． (1)当函数不单调，求的取值范围； (2)当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的性质列不等式求解即可. （2）根据二次函数的对称轴及定区间，对分情况讨论，分别求出对应情况下最小值即可. 【详解】（1）由函数， 可得该函数图象开口向上，对称轴为， 要使函数在不单调，可得，解得， 所以实数a的取值范围. （2）由（1）知，该函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在单调递增，所以； 当，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； 当，即时，在单调递减，所以， 综上，表达式为：. 39．已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 40．函数的最小值为______. 【答案】0 【分析】利用函数导数与函数单调性求最值，结合换元法与二次函数性质求解即可. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 即函数的最小值为0. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6 一次函数与二次函数 7大考点汇总 考点01 一次函数的图像和性质 考点02 二次函数的值域或最值 考点03 待定系数法求解析式 考点04 判断二次函数的单调性和求解单调区间 考点05 与二次函数相关的复合函数问题 考点06 已知二次函数单调区间求参数值或范围 考点07 根据二次函数的最值或值域求参数 题型专练 考点01 一次函数的图像和性质 1．下列函数中,在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中，直线：和：的位置可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是____________. 4．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数，的最大值是______． 考点02 二次函数的值域或最值 7．在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9．函数的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 10．已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 11．若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 12．已知二次函数过点，点，点 (1)求的解析式； (2)若，对任意恒成立，求实数的取值范围． 考点03 待定系数法求解析式 13．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 14．已知函数图象的对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 15．设是二次函数，且，则_____. 16．已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 17．已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式并直接写出的单调区间； (2)当时，求的最小值的解析式. 考点04 判断二次函数的单调性和求解单调区间 19．已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 20．函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 21．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知在上单调递增，求的取值范围； (3)若，求在上的值域． 22．已知函数，在下列哪个区间一定是递增的（   ） A． B． C． D． 23．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一下·四川成都盐道街中学·期中)函数的最大值是_______. 考点05 与二次函数相关的复合函数问题 25．函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 26．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 27．已知函数（）的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 考点06 已知二次函数单调区间求参数值或范围 28．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．设，若函数在上单调递减，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 31．已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 32．函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________. 33．（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 34．已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 考点07 根据二次函数的最值或值域求参数 35．已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 36．已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 37．已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 38．已知函数，． (1)当函数不单调，求的取值范围； (2)当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 39．已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 40．函数的最小值为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $