精品解析：2026年广西壮族自治区来宾市武宣县二模数学试题

2026年广西壮族自治区来宾市武宣县二模数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 假设，那么等于（ ） A. B. 1 C. D. 4. 若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2.5 9. 如图，与相切于点A，是的直径．点C在上，连接恰好经过点O．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 10. 小张和小李做摸球游戏，他们把5个标有数字1、2、3、4、5的小球（除数字外其余都相同），装入一个不透明的袋子里，摇匀后小李从中随机依次摸出了个3小球（每次都不放回），依次记为一个三位数的百位、十位、个位．若得到的三位数是奇数，小张胜；否则，小李胜．那么这个游戏（ ） A. 公平 B. 不公平，对小李有利 C. 不公平，对小张有利 D. 无法判断公平性 11. 将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 已知：，，则的值为________． 14. 规定，例如：．已知：，则_________． 15. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________． 16. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 孟津葡萄是河南省的特产，其果肉味甜汁多，富含多种维生素．某水果超市购进甲、乙两种孟津葡萄．已知购买甲种葡萄箱与购买乙种葡萄箱的费用为元，且每箱甲种葡萄的进价比每箱乙种葡萄的进价贵元． （1）求每箱甲种葡萄的进价与每箱乙种葡萄的进价． （2）该水果超市计划购进甲、乙两种葡萄共箱，总费用不超过元．每箱甲种葡萄的售价为元，每箱乙种葡萄的售价为元，不考虑损耗且全部售完，问该超市最多获利多少元？ 19. 如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． （1）若,，求的度数． （2）连接，若的周长为，，求四边形的周长． 20. 如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求证：． 21. 如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． （1）设观景台高度，用含的代数式分别表示，； （2）求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 22. 随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． （1）当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值； （3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西壮族自治区来宾市武宣县二模数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别运用幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项法则计算各选项，判断正误即可 【详解】解：对于选项A，， A计算错误； 对于选项B，， B计算正确； 对于选项C，，  C计算错误； 对于选项D，，  D计算错误 3. 假设，那么等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 原式 ， ， 代入得：原式． 4. 若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由二元一次方程的定义可知，且，解出m和n的值，进而可求出． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴且， ∴，， ∴． 5. 七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，进行解答，即可． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示， ∴点的坐标为． 6. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此． 7. 一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中，， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值25， 即当时，矩形桌面面积最大． 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出的长，由此即可求出的长． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 9. 如图，与相切于点A，是的直径．点C在上，连接恰好经过点O．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质可得，由对顶角相等可得，解直角三角形得出，作于点，再解直角三角形并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于点， 则，， ∴， ∴． 10. 小张和小李做摸球游戏，他们把5个标有数字1、2、3、4、5的小球（除数字外其余都相同），装入一个不透明的袋子里，摇匀后小李从中随机依次摸出了个3小球（每次都不放回），依次记为一个三位数的百位、十位、个位．若得到的三位数是奇数，小张胜；否则，小李胜．那么这个游戏（ ） A. 公平 B. 不公平，对小李有利 C. 不公平，对小张有利 D. 无法判断公平性 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查排列组合，利用概率判断游戏公平性，根据一个三位数是奇数还是偶数由最后一位数字决定，最后一位数字为奇数，则这个三位数为奇数，最后一个数为偶数，则这个数为偶数，根据5个数字中有3个奇数，2个偶数，结合排列组合，得到共有60种等可能的结果，求出这个三位数为奇数的概率以及这个三位数为偶数的概率，比较即可，即可得出结果． 【详解】解：随机依次摸出了3个小球（每次都不放回），共有种等可能的结果， 当得到的三位数是奇数时，则：个位可以从3个奇数里任取1个，再从其余4个球中选取前两位数，故有 种等可能的结果， 故（得到三位数是奇数）； 故（得到三位数是偶数）； ， 故游戏不公平，对小张有利； 故选C． 11. 将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取直线上任意两点，得到绕原点旋转后的对应点，进而求出直线，根据平移的性质求出直线，进而求不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴直线经过，， ∵，绕原点旋转后的对应点分别为，， ∴直线经过，， 设直线， 则， 解得：， 即， 将直线向下平移5个单位长度得到直线， 则不等式的解集即为不等式的解集， 解得． 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为， 当D为的中点时，点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 已知：，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则与幂的乘方运算法则，将所求式子变形为含有、的形式，再代入数值计算． 【详解】解：根据幂的运算法则： ， 已知，， 代入上式：． 14. 规定，例如：．已知：，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意列出方程，再根据完全平方公式化简，得出的值，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 15. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据题意求出正方形的面积，利用勾股定理求出与，同理找出后面等腰直角三角形的斜边与的关系，最后直接代入求值． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 由题意知：三角形是等腰直角三角形，且， ∴，即，， 同理可得，， 根据规律可知：， ∴． 16. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小，转化成“将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为6的直线上运动，再作对称求解即可． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， 如图，过点作，交、于点、，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减即可得出结果； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得出结果； （3）利用平方差公式计算即可得出结果； （4）先计算积的乘方、同底数幂相乘，再合并同类项即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 孟津葡萄是河南省的特产，其果肉味甜汁多，富含多种维生素．某水果超市购进甲、乙两种孟津葡萄．已知购买甲种葡萄箱与购买乙种葡萄箱的费用为元，且每箱甲种葡萄的进价比每箱乙种葡萄的进价贵元． （1）求每箱甲种葡萄的进价与每箱乙种葡萄的进价． （2）该水果超市计划购进甲、乙两种葡萄共箱，总费用不超过元．每箱甲种葡萄的售价为元，每箱乙种葡萄的售价为元，不考虑损耗且全部售完，问该超市最多获利多少元？ 【答案】（1）甲进价元/箱，乙进价元/箱． （2）最多获利元． 【解析】 【分析】（1）设乙进价为未知数，利用甲、乙进价差价表示甲进价，再根据箱甲箱乙总价元列一元一次方程求解进价． （2）先设购进甲的箱数，用总数表示乙的箱数，依据总进价元列不等式求出甲的取值上限；再算出单箱利润，列出总利润关系式，结合甲的最大取值求最大利润． 【小问1详解】 解：设每箱乙种葡萄进价元，则每箱甲种葡萄进价元． ， 解得 ∴， 答：甲进价76元/箱，乙进价60元/箱． 【小问2详解】 解：设购进甲种葡萄箱，则购进乙种葡萄箱．总利润为W元， 解得， 甲单箱利润：元， 乙单箱利润：元， ∴总利润， 中，随增大而增大，， ∴当时，， 答：最多获利1520元． 19. 如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． （1）若,，求的度数． （2）连接，若的周长为，，求四边形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关基础性质． （1）根据平移的性质“对应角相等”可得，，再根据三角形外角的性质，求解即可； （2）根据平移的性质“对应线段相等”可得，，将四边形的周长转化为，再根据题意，求解即可． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得，， ∵,， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由平移的性质可得，， ∴四边形的周长． ∵的周长为16，， ∴， ∴四边形的周长． 20. 如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求证：． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． （1）设观景台高度，用含的代数式分别表示，； （2）求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，即可知是等腰直角三角形，因此，再利用正切函数的定义，即可求的大小； （2）根据题目可知，将（1）中、的大小代入，即可解答出的值． 【小问1详解】 解：在中，，， 所以是等腰直角三角形，因此， 在中，，， 根据正切函数的定义，即， ， 综上：；； 【小问2详解】 解：由题意可知，将，代入得： 通分得到：， 化简得：， 解得， 答：观景台的高度约为． 22. 随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． （1）当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为元，则单件利润为元，分段求解关于的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设日销售数量关于销售单价的函数关系式为 代入点， 则 解得 ∴日销售数量关于销售单价的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元，则单件利润为元， ①当时， ∴ ∵ ∴随着的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当时， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时， 而 ∴农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值； （3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于定值k，列出等式求出a的值，再代入点坐标求出k的值即可． （2）设出点C坐标，通过作垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明两组三角形相似，借助相似三角形对应边成比例求出相关线段比值，再结合直角三角形三边关系，依据正弦定义求出三角函数值． （3）构造等腰直角三角形，证明与互相垂直，利用勾股定理求出两条线段长度；建立对应线段关系求出直线关系式，结合反比例函数旋转后乘积不变的性质列出等式，联立求解得到对应线段长；最后利用三角形面积差求出所求三角形面积． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）的图象经过点和点， ∴． ∴． ∴点． 把点代入（）得， ∴． 【小问2详解】 ∵点C为反比例函数的图象上第二象限的点， ∴设．过C作轴于M，过A作轴于N． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴（正值舍去）． ∴， ∵ 设，，则 ． ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ． 过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ． ， ． 由勾股定理得 ， ． ，以、为两个互相垂直方向，设平面内一点沿着方向对应的线段长为，沿着方向对应的线段长为， 则点可看作，点可看作． 设直线对应的关系式为， 把，代入得 ， 解得， 直线对应的关系式为． ∵反比例函数的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转后，图象上点满足的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的方向上对应的线段长度乘积仍为6． 可得关系式． 联立， 将代入中， 得， 整理得， 解得，． 当时，，当时，． ， ∴沿方向的线段长度就是点到直线的垂直距离，即点、到直线的距离分别为和， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $