广东佛山市禅城区2025-2026学年第二学期九年级供题训练(二) 数学

**基本信息** 本试卷聚焦九年级三模备考，通过竹升面长度计算、“佛山新城之眼”直径测量等真实情境题，融合代数、几何与统计知识，考查抽象能力、推理意识和应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数基础、几何初步|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|5/15|函数、圆、方程|含多解问题（如第15题-1或7）| |解答题（一）|3/21|平方差公式纠错、反比例函数应用、统计图表|结合生活情境（竹升面），考查运算能力| |解答题（二）|3/27|矩形正方形证明、实际测量、分式方程|几何证明多条件组合（第19题3种方法），无人机测量情境| |解答题（三）|2/27|二次函数、三角形综合、动态几何|海伦公式应用（第22题），动态几何求最值（第23题）|

2025−2026年下学期九年级九年级供题训练(二) 参考答案及评分标准(数学) 一.选择题(每小题3分,共30分) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A D C C B A B D D A 二.填空题(每小题3分,共15分) 题 号 11 12 13 14 15 答 案 1080 10000 4 −1或7 三.解答题(一)(本大题3小题,每小题7分,共21分) 16.解:(1)从第(1)步首次出错;...............................................1分 错因是平方差公式运用错误; ...............................................3分 (2)()() = () .............................................5分 =98 .............................................6分 =1 ..............................................7分 17.解:(1)设y与x之间的函数表达式为:,.....................................1分 ∵该函数图象过点A (4,32), ∴ ∴k=128, .....................................2分 ∴y与S之间的函数表达式为:; .....................................3分 (2)解法一:由题意得∴≤0.8, .....................................4分 ∵, .....................................5分 ∴≥=160, .....................................6分 故这根竹升面的总长度至少有160cm. .....................................7分 解法二:由题意得≤0.8, .....................................4分 由图象可知,当时,y随的增大而减小, .....................................5分 ∴≥=160, .....................................6分 故这根竹升面的总长度至少有160cm. .....................................7分 18.解:(1)总人数=15 15%=100……………………1分 A的人数=100 30%=30………………………………2分 补全的条形统计图如图所示…………………………………3分 360 30%=108 …………………………………………4分 答:“A”的圆心角度数108 ………………………………5分 (2)50065……………………………………………6分 答:八年级意向前往“E”的学生人数为65人……………7分 四.解答题(二)(共3小题,每小题9分,共27分) 19.方法一:选择①作为条件,②③作为结论,命题成立. ……………………1分 连接PB ……………………………………………2分 ∵AD=AB,矩形ABCD ∴矩形ABCD是正方形 ……………………………………………3分 ∴AB=BC,∠ABC=90 ∴∠CAB=∠ACB=45 ……………………………………………4分 又∵PM⊥BC ∴∠PMC=90 ∴ ∴∠ACB=∠CPM ……………………………………………5分 ∴CM=PM ……………………………………………6分 ∵PN⊥BA ∴∠PNB=90 又∵∠PNB=∠ABC=∠PMB=90 ∴四边形PNBM是矩形 ∴PB=MN ……………………………………………7分 又∵AD=AB,∠DAC=∠BAC,AP=AP ∴ APD≌ APB ……………………………………………8分 ∴DP=PB ∴DP=MN ……………………………………………9分 方法二:选择②作为条件,①③作为结论,命题成立. ……………………1分 连接PB ……………………………………………2分 ∵PM⊥BC,PN⊥BA ∴∠PMC=∠PNB =90 又∵PM=CM ∴∠CPM=∠ACB=45 ……………………………………………3分 ∵矩形ABCD ∴∠ABC=90 ,AD=BC ∴ ……………………………………………4分 ∴∠ACB=∠CAB ……………………………………………5分 ∴AB=BC=AD ……………………………………………6分 又∵AD=AB,∠DAC=∠BAC,AP=AP ∴ APD≌ APB ……………………………………………7分 ∴DP=PB 又∵∠PNB=∠ABC=∠PMB=90 ∴四边形PNBM是矩形 ∴PB=MN ……………………………………………8分 ∴DP=MN ……………………………………………9分 方法三:选择③作为条件,①②作为结论,命题成立. ……………………1分 连接PB ……………………………………………2分 ∵PM⊥BC,PN⊥BA ∴∠PMC=∠PNB =90 又∵矩形ABCD ∴∠ABC=90 ∴四边形PNBM是矩形 ∴PB=MN ……………………………………………3分 又∵对于AC上任意点P(除A、C外),都有DP=MN ∴DP=PB ∴AC垂直平分BD ……………………………………………4分 即BD⊥AC 又∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是正方形 ……………………………………………5分 ∴AB=AD=BC,且∠ABC=90 ……………………………………………6分 ∴ 又∵矩形PNBM ∴∠PMC=90 ∴ 即 ……………………………………………8分 ∴PM=MC ……………………………………………9分 21.(1)解:如图,过点A,B分别作CF的垂线,垂足分别为G,H,过点D作AB的垂线, 则四边形AGHB均为矩形,∠HBD=19 ,∠FAG=30 ,...................................................1分 ∴AB=GH,BH=AG=30m,DF=73.5 .........................................2分 在Rt BDH中, ∴HD=30 0.34=10.2 ...................................................3分 在Rt FAG中,tan∠FAG=, 即= ∴GF=30 ≈17.3 ...................................................4分 ∴GH=DF−HD−FG =73.5−17.3−10.2 =46 答:佛山新城之眼的直径约为46m。........................................5分 (2) 解法一: 测量工具:无人机 测量过程: 步骤1:如图,在空旷平地找一点C, 步骤2:无人机从点C处竖直向上飞行到点D,使得此时测得点B的仰角 为0 ,即BD处于同一水平面上; 步骤3:再竖直向上飞行b米到达点F,此时测得点A的俯角为0 , 即AF处于同一水平面上; 则AB=FD=b米, 所以AB的距离就是b米 (作图1分,步骤2分,计算1分) 解法二: 测量工具:无人机 测量过程: 步骤1:如图,在在摩天轮的正前方的空旷平地一点C, 步骤2:无人机从点C处竖直向上飞行到点D,使得此时测得点B的仰角为, 即BD处于同一水平面上; 步骤3:再竖直向上飞行b米到达点F,此时测得点A的俯角为,即AF处于同一水平面上; 易证四边形DBAF为平行四边形,所以AB=FD=b米,所以AB的距离就是b米 解法三: 测量工具:无人机,测倾器 测量过程: 步骤1:如图,在摩天轮的正前方的空旷平地一个能够看到最高点A的地方,设为点C,架上测倾器 步骤2:利用侧倾器,从D处测得点B的仰角为,测得点A的仰角为 步骤3:利用无人机测得点C与直径AB的水平距离为n米, 延长AB交MN于H,过点D作DE⊥AH于点E 则四边形DCHE是矩形 ∴CH=DE=n米 则∠BDE=,∠ADE=, , AB= (作图1分,步骤2分,计算1分) 其他合理方法,参考给分 20.解:(1)该社团可能180人,…………………………………1分 方法一: 设该社团成员有x人, 依题意得: , ∴该社团可能180人。………………………………………………4分 方法二: ∵180小于200,只能按零售价买, 180加上40超过200,按批发价买 ∴该社团可能180人…………………………………………4分 (2) 设该社团成员有y人. ………………………………………6分 解得:…………………………………………………………7分 经检验,是原方程的解,且符合题意………………………8分 答:该社团成员有200人.……………………………………………9分 (说明:这里如果引用第(1)问设的未知数列方程解答也不扣分) 五.解答题(三)(共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分) 22.解:(1)6、12、....................................................3分 (一个答案一分) (2)①....................................................4分 ②过点作, 设 则: ∴,解得:....................................................5分 (3) 不能实现 理由如下:....................................................10 分 设三角形景观展示架的三条边分别为 由题意得,不妨设c为4 由海伦公式得 其中 ,c=6 .................................................11 分 ∵a+b+c=10,c=4 ∴ a+b =6 ∴b =6− a ∵公司计划搭建6m2的展区 ∴=6 整理得:5a2−30a+51=0.................................................... 12 分 ∴方程没有实数根 ∴该公司的计划不能实现.................................................... 13分 23.(1) 解:∵, ∴, 又∵ ∴ ∴ …………………………………………………1分 ∴…………………………………………………2分 ∴,即 解得: …………………………………………………3分 (2)答:AE是∠BAC的角平分线 …………………………………4分 如图1,过点E作交AC延长线于点H ∵ ∴四边形CDEH是矩形 …………………………………5分 ∴ ∴ 在Rt BDE中,由勾股定理得: ∴ 在Rt ACB中,由勾股定理得: ∴ 且 ∴ …………………………………7分 ∴ 即AE平分∠BAC; …………………………………8分 (3)AG存在最大值 …………………………………9分 方法一: ∵, ∴ ∴ ∵,, ∴ ∴ 解得: …………………………………10分 ∴ …………………………………11分 ∵ ∴ 又∵ ∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠EBC=90 , ∴∠BAC=∠EBC, 如图,延长AC至点N,作∠EBC=∠CNF, ∵∠FCN=∠BDE=90 , ∴ FCN∽ EDB, ∴,即 解得: ∴ …………………………………12分 在Rt CFN中,由勾股定理得: ∵点P在AC上运动 ∴设AP=x(0<x<6),CP=AC﹣AP=6﹣x 则 ∵∠PNF=∠EBC=∠BAC,∠AGP=∠NPF ∴ GAP∽ PNF ∴ ∴ ∴……………………………13分 当时, ……………………………14分 方法二: 如方法一先求 过点P作PH⊥AB ∵∠GPQ=∠BAC ∠AGP+∠BAC=∠GPC=∠GPQ+∠CPF ∴∠AGP=∠CPF ∵, ∴ AHP∽ ACB ……………………………9分 ∴ 又∵∠AGP=∠CPF, ∴ GHP∽ PCF ……………………………10分 ∴ 且,, 设 ……………………………11分 由 得, ∴ 由 得 则 ………………………………………12分 ∴ ………………13分 当时,,AG可取最大值 则 ……………………………14分 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $