第2课时　常用逻辑用语 课件 2027年高三数学一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦“常用逻辑用语”专题，依据高考评价体系梳理了充分条件、必要条件、充要条件的判定与应用，全称量词与存在量词命题的否定及真假判断三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确“充分必要条件判定”占50%、“量词命题否定”占30%的高频考点分布，归纳出定义法、集合法等常考题型解法。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”的备考路径，如以2025天津卷“x=0是sin2x=0的条件”为例，运用集合法突破充分不必要条件判定，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。特设“易错警示”专栏，针对参数范围问题中端点值取舍等易错点，帮助学生掌握答题技巧，教师可依托系统题型训练实现精准复习，助力高考冲刺。

课 前 自 助 餐 01 授 人 以 渔 02 内 容 导 航 Content Navigation 1 第2课时　常用逻辑用语 [复习要求]　1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 01 课 前 自 助 餐 【回归教材】 命题 用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题． 判断真假 第页 　充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件 p是q的____________条件 p⇒q且q 　p p是q的____________条件 p 　q且q⇒p p是q的______条件 p⇔q p是q的________________条件 p 　q且q　 p 注意：(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (2)当q不是p的必要条件时，p不是q的充分条件． 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 第页 　全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示． ∀ ∃ 第页 　全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 第页 　从集合的角度理解充分条件、必要条件与充要条件 若p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若A⊇B，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若AB，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 第页 【夯实双基】 1．(课本习题改编)(1)|a|>0是a>0的____________条件． (2)α>β是sin α>sin β的____________________条件． (3)x>0是x(x＋1)>0的____________条件． 必要不充分 既不充分也不必要 充分不必要 第页 2．(人教A版必修一P35T6改编)下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－3x＋5>0 B．∃x∈R，x2－3x＋5<0 C．至少存在两个素数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 √ 解析　∀x∈R，x2－3x＋5>0不是存在量词命题，A错误；对于x2－3x＋5＝0，其判别式Δ<0，∴x2－3x＋5>0恒成立，B错误；因为只有素数2的平方为偶数，所以不存在两个素数的平方是偶数，C错误；内角为30°，60°，90°的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确． 第页 3．(2025·天津)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 第页 4．设命题p：∃n∈N，n2>2n＋5，则p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>2n＋5　　 B．∃n∈N，n2＝2n＋5 C．∃n∈N，n2≤2n＋5 D．∀n∈N，n2≤2n＋5 √ 解析　p：∃n∈N，n2>2n＋5的否定是∀n∈N，n2≤2n＋5.故选D. 第页 5．已知条件p：x>a，条件q：x≥2. (1)若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________； (2)若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． a≥2 a<2 解析　设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}． (1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2. (2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以a<2. 返 回 02 授 人 以 渔 题型一　 充分、必要条件的判定 　　 (1)判断下列各题中p是q的什么条件． ①p：a>b，q：a>b－1；②p：a>b，q：lg a>lg b； ③p：a>b，q：2a>2b；④p：a>b，q：a2>b2. 【答案】　①充分不必要条件　②必要不充分条件　③充要条件　④既不充分也不必要条件 第页 第页 (2)判断下列各题中p是q的什么条件． ①在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； ②p：x>1，q：x2>1； ③p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； 【答案】　①p是q的充要条件　②p是q的充分不必要条件　③p是q的必要不充分条件　④p是q的既不充分也不必要条件 第页 【解析】　①由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此p是q的充要条件． ②方法一(定义法)：由x>1可以推出x2>1；由x2>1得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此p是q的充分不必要条件． 方法二(集合法)：p：A＝(1，＋∞)，q：B＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)， ∵AB，∴p是q的充分不必要条件． ③由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此p是q的必要不充分条件． 第页 第页 　　判断充分、必要条件的步骤 (1)弄清条件p和结论q分别是什么． (2)尝试判断p⇒q，q⇒p是否成立． (3)可简记为：充分条件是小推大，必要条件是大推小． (4)充要条件可以融入数学的各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，问题便可迎刃而解． 第页 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 第页 (2)已知复数z1和z2，则“z1>z2”是“z1－z2>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 【解析】　∵z1>z2，∴复数z1和z2是实数，∴z1－z2>0成立；当z1－z2>0时，例如(2－3i)－(－5－3i)＝7>0，z1，z2无法比较大小，所以“z1>z2”是“z1－z2>0”的充分不必要条件．故选A. 第页 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 第页 第页 √ 第页 √ √ √ 第页 　　　　　(1)①选择题中探求充分不必要条件问题，是由选项推出题干，但是题干不能推出选项．②选择题中探求必要不充分条件问题，是由题干推出选项，但是选项不能推出题干． (2)此类题也可以考虑用集合法解决． 第页 思考题2　(1)若x，y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可以是(　　) √ 第页 √ √ 第页 题型二　 充分、必要条件的应用 　　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，则m的取值范围是________；若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是___________． [0，3] [9，＋∞) 【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 第页 第页 　　　　　根据充分、必要条件求参数取值范围的两个注意点 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．若直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决． (2)要注意区间端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 第页 　思考题3　(1)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 第页 (2)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则b的取值范围是___________． 第页 题型三　 全称量词与存在量词 　　(1)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． ①有的正方形不是矩形； ②有理数是实数； ③∀x∈R，x2＋2>0； ④∀x∈N，x4≥1； ⑤∃x∈Z，x3<1； ⑥∃x∈Q，x2＝3. 【答案】　见解析 第页 【解析】　①存在量词命题；假命题． ②全称量词命题；真命题． ③全称量词命题；由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ④全称量词命题；由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题． ⑤存在量词命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1，所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题． 第页 (2)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． ①p1：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； ②p2：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； ③p3：∃x∈{x|x∈Z}，log2x>0. 【答案】　见解析 【解析】　①綈p1：所有的整数都不能被2或5整除，是假命题． ②綈p2：∃x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，是真命题． ③綈p3：∀x∈{x|x∈Z}，log2x≤0或x≤0，是假命题． 第页 　　　　　1.命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(举出一个反例)． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可；但要判定存在量词命题是假命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)不成立． (3)不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判定时，可先判断其否定的真假． 第页 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的命题要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否定结论，即对原命题的结论进行否定． 第页 　　思考题4　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 √ 第页 【解析】　方法一：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题．故选B. 方法二(特殊值法)：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，綈p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题．故选B. 第页 题型四　 含量词命题的应用 　　已知p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0；q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0.若p为假命题，q为真命题，则a的取值范围为(　　) A．[－3，4] B．(－3，4] C．(－∞，－3) D．[4，＋∞) √ 第页 【解析】　由题意知，p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0为假命题，则綈p：∃x∈[－1，2]，x2－2x＋a≥0为真命题，当x∈[－1，2]时，y＝x2－2x＋a的图象的对称轴方程为x＝1，此时其最大值为(－1)2＋2＋a＝3＋a，则3＋a≥0，解得a≥－3. 又q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0为真命题，即Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. 综上，a的取值范围为[－3，4]． 第页 　　　　　与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围． 第页 　 思考题5　【多选题】下列说法正确的有(　　) A．“∃x∈R，使得x2－x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，都有x2－x＋1>0” B．命题“∀x∈R，|x|≥x”是真命题 C．若命题“∃x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是(4，＋∞) D．若命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为真命题，则实数m的取值范围是[1，＋∞) √ √ √ 第页 【解析】　“∃x∈R，使得x2－x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，都有x2－x＋1>0”，故A正确； 由|x|≥x恒成立，则命题“∀x∈R，|x|≥x”是真命题，故B正确； 命题“∃x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，则∀x∈R，x2＋4x＋m＝0无实根， 则Δ＝16－4m<0，得m>4，则实数m的取值范围是(4,+∞)，故C正确； 命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为真命题，且函数y＝x2－2x＋m的图象开口向上，则x2－2x＋m＝0无实根，则Δ＝4－4m<0，解得m>1，则实数m的取值范围是(1，＋∞)，故D错误．故选ABC. 第页 1．充分、必要、充要条件的判定方法： (1)定义法． (2)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件． 2．含一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论． 返 回 解析　由x＝0得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0得x＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，所以必要性不成立．故“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A. 【解析】　①p⇒q，qp，∴p是q的充分不必要条件． ②q⇒p，pq，∴p是q的必要不充分条件． ③p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件． ④pq，qp，∴p是q的既不充分也不必要条件． ④p：a<b，q：eq \f(a,b)<1. ④由于a<b，当b<0时，eq \f(a,b)>1；当b>0时，eq \f(a,b)<1，故若a<b，不一定有eq \f(a,b)<1.当b>0，eq \f(a,b)<1时，可以推出a<b；当b<0，eq \f(a,b)<1时，可以推出a>b.因此p是q的既不充分也不必要条件． 思考题1　(1)“eq \r(ab)>b”是“eq \r(a)>eq \r(b)”的(　　) 【解析】　若eq \r(ab)>b，取a＝－1，b＝－1，此时eq \r(a)>eq \r(b)没有意义，充分性不成立，若eq \r(a)>eq \r(b)，则eq \r(a)·eq \r(b)≥eq \r(b)·eq \r(b)，∴eq \r(ab)≥b，必要性不成立．故选D. (3)(2023·北京)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的(　　) 【解析】　方法一：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝eq \f(－y,y)＋eq \f(y,－y)＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的充要条件． 方法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝eq \f(x2＋y2,xy)＝eq \f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq \f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq \f(－2xy,xy)＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－2，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝eq \f(x2＋y2,xy)＝eq \f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq \f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq \f(（x＋y）2,xy)－2＝－2，所以eq \f(（x＋y）2,xy)＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C. (1)不等式x－eq \f(1,x)>0成立的一个充分不必要条件是(　　) A．－1<x<0或x>1　 B．x<－1或0<x<1 C．x>－1 D．x>1 【解析】　由x－eq \f(1,x)>0可知eq \f(x2－1,x)>0，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1>0，,x>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1<0，,x<0，)) 解不等式组可知x－eq \f(1,x)>0的解集为{x|x>1或－1<x<0}，故结合选项可知不等式x－eq \f(1,x)>0成立的一个充分不必要条件是x>1.故选D. (2)【多选题】不等式x－eq \f(1,x)>0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<0或x>1 B．－1≤x<0或x>1 C．x>－1 D．－1<x<0或x>eq \f(1,2) 【解析】　由本例(1)知，不等式x－eq \f(1,x)>0的解集为{x|－1<x<0或x>1}，故A是充要条件，故A错误；此解集是B、C、D中取值范围对应的集合的子集，故B、C、D正确． A．|x|>|y| B．x2>y2 C．eq \f(x,y)>1 D．2x－y>2 【解析】　由|x|>|y|，x2>y2均推不出x>y，排除A、B；由eq \f(x,y)>1可得eq \f(x－y,y)>0，解得x>y>0或x<y<0，所以eq \f(x,y)>1是x>y的既不充分也不必要条件，排除C；2x－y>2⇒x>y，反之不成立，D正确． (2)【多选题】已知幂函数f(x)＝xeq \s\up16(\f(1,2))，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0<eq \f(1,a)<eq \f(1,b) B．a2>b2 C．ln a>ln b D．2a>2b 【解析】　f(a)>f(b)⇔aeq \s\up16(\f(1,2))>beq \s\up16(\f(1,2))⇔a>b≥0，故选AC. 又集合B非空，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3， 故m的取值范围是[0，3]． ∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴AB， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞)． 【解析】　p对应的集合A＝{x|ln(2x－1)≤0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)<x≤1))，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}．由q是p的必要不充分条件，知AB.所以a≤eq \f(1,2)且a＋1≥1，因此0≤a≤eq \f(1,2). eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 【解析】　因为x∈B是x∈A的充分不必要条件， 所以集合B是集合A的真子集， 当B＝∅时，b＝0.　当B≠∅时，b≠0， 若b<0，则B＝{x|bx>1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,b)))，不满足题意； 若b>0，则B＝{x|bx>1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,b)))，所以eq \f(1,b)>2，解得0<b<eq \f(1,2). 综上，实数b的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b|0≤b<\f(1,2))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b|0≤b<\f(1,2))) ⑥存在量词命题；由于使x2＝3成立的数只有±eq \r(3)，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题． $