四川省棠湖中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试卷

**基本信息** 立足高一下学期核心内容，以向量、复数、统计概率等为载体，通过经济收入饼图分析、欧拉公式文化情境、疾病检测统计模型等真实问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量夹角、复数方程、统计图表|第5题结合新农村建设饼图，考查数据分析能力| |多选题|3/18|向量运算、复数性质、立体几何|第11题正方体中点线面关系，体现空间观念| |填空题|3/15|向量平行、圆锥侧面积、解三角形|第14题锐角三角形动态问题，渗透逻辑推理| |解答题|5/77|向量几何、复数应用、统计概率、立体几何、创新定义|第18题疾病检测模型构建数学建模，19题外拿破仑三角形创新情境发展创新意识|

2025-2026学年度四川省棠湖中学高2025级高一下6月月考 数学学科试题 命题人：陈春红 审题人：张默 考试时间：120分钟 试卷满分：150 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若与的夹角为，则(    ) A. B. C. D. 2.下列叙述中正确的个数是：(    )若 ； ；  若，则 A. B. C. D. 3.已知复数是一元二次方程的一个根，则(    ) A. B. C. D. 4.设，则(    ) A. B. C. D. 5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是(    ) A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 6.已知一组样本数据共有个数，其平均数为，方差为将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为，则新的样本数据的方差最小值为(    ) A. B. C. D. 7.对于三维向量a=（m，n，q），b=（s，t，r），定义aXb=（nr-qt，qs-mr，mt-ns），a=（3，1，2），b=（1，2，6），则（aXb）·b=（ ） A.0 B.1 C.2 D.以上选项均不正确 8. 先阅读材料：条件概率：在事件B发生的前提下，事件A发生的概率： P（A|B）= 某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错0分） 9.已知向量，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 10.，是复数，下列说法正确的是(    ) A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 11.在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列正确的是(    ) A. 平面 B. 平面 C. 多面体是棱台 D. 平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，若，则           ． 13.已知圆锥的顶点为，母线、所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为          ． 14.在锐角中，，它的面积为，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 在中，已知，，，分别是，上的点，且，，与相交于点，． 求实数的值 求的余弦值． 16.本小题分 年月日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学岁入读巴塞尔大学，岁大学毕业，岁获得硕士学位是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”年，他提出公式：复数：是虚数单位已知复数，，． 当时，求的值； 当时，若且，求的值． 17.本小题5分 如图，在三棱台中，，， 分别为，的中点． 求证：平面 若三棱锥的体积为，求三棱台的体积． 18.本小题分 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为假设数据在组内均匀分布以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． 当漏诊率时，求临界值和误诊率 设函数当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 19.本小题分 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径． 若，求的值 在的条件下，求边长的最大值 若的面积为，且，求面积的取值范围． 高一下6月月考数学答案 选择题答案： 1-4 BBCC 5-8 ADAC 9.AB 10.AC 11.AC 非选择题部分答案： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量平行关系的坐标表示，属于基础题． 根据向量平行关系的坐标表示可得关于的方程，再求出即可． 【解答】 解：因为，，， 所以，解得． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥的侧面积的求解，属于基础题． 首先根据已知条件求出侧棱和底面半径的关系，由面积公式求出半径，即可求解． 【解答】 解：设圆锥的底面圆的半径为， 因为与圆锥底面所成角为，所以 由，得， 所以 ，即， 所以圆锥的侧面积为 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的概念及其运算，向量在平面几何中的应用，三角形面积公式，属于较难题． 根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得． 【解答】 解：因的面积为，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时，同理可得． 如图所示，因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是． 故答案为：． 15.【答案】解：如图： 因为，所以， 因此． 因为，所以． 因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 因此， 而与不共线，所以，解得，即实数的值为． 因为，，，所以，，， 因为，， 所以 ， ， ， 因此．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：因为虚数不能比较大小，所以为实数， 又因为，所以 解得． 当时，，， 所以， 所以由，得，故， 又，得到．   【解析】本题主要考查复数的概念与分类，复数的乘法运算，属于中档题． 根据条件，得到为实数，再利用复数的定义得到关于的方程组，解之即可得解； 根据条件得到，再利用复数相等，即可求出结果． 17.【答案】解：由题意，  ，  分别为  ，  的中点，  ， 又  平面  ，  平面  ，  平面  ，  ，  为  的中点，  ，  ，  ，  四边形  为平行四边形，  ， 又  平面  ，  平面  ，  平面  ， 又  ，  平面  平面        平面  ，   平面  ． 由题意及得， 设  的面积为  ， 则由几何知识知  的面积为  ，  的面积为  ， 设三棱台  的高为  ，则  ，   ．   【解析】本题需要掌握线面平行的判定，计算棱台与棱锥的体积，属于中等题． 通过证明平面  平面  ，即可证明  平面  ； 通过求出棱台上下底面面积和三棱锥  的体积表达式，即可求出三棱台  的体积． 18.【答案】解：因为 依据“患病者”的频率分布直方图得， 依据“未患病者”的频率分布直方图得． 当时， 当时，． 故． 所以在区间的最小值为：．   【解析】本题考查频率分布直方图，分段函数解决概率统计的问题，属于中档题． 依据题意理解漏诊率即“患病者”的频率分布直方图中小于的各小矩形部分面积，观察到，故，即可求同理误诊率即“未患病者”的频率分布直方图中大于的各小矩形部分面积，即可求． 要求，观察到在区间，和区间小矩形高度不同，故分段考虑分别列式得时，，时，再利用函数的单调性得到在区间的最小值． 19.【答案】解： 由  得  ， 因为  为锐角三角形，所以  ， 由题知  ， 故  ； 设 ，且  ，同理  ， 由  得  ， 又  ，则  ， 则，当且仅当时等号成立， 即，即， 所以， 所以边长的最大值为； 由  ，则  ，且  ，同理  ， 因为  ，即  ， 又  ， 所以  ， 则  ，则  ， 由  ，，得， 得，得  ，所以  ， 所以， 所以 ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $