9.2.4 总体离散程度的估计（2）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦分层随机抽样的均值与方差计算，通过复习简单随机抽样、均值方差公式制造认知冲突，搭建从已知到未知的学习支架，衔接集中趋势与离散程度的统计维度。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数学眼光发现分层抽样必要性，通过推导总方差=层内波动+层间波动培养逻辑思维，用班级成绩、零食支出等实例强化数据观念。采用口诀总结知识，助力学生提升数据分析素养，为教师提供清晰教学流程与实用案例。

9.2.4 总体离散程度的估计（2） 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 目标导航 1.掌握总体与样本的方差、平均差公式,了解方差和标准差的性质。 2. 掌握分层随机抽样均值、方差的计算方法，能区分简单随机抽样与分层随机抽样统计量的差异 3.理解分层随机抽样中层内波动、层间波动的双重结构，会用分层样本的均值与方差估计总体的集中趋势与离散程度。 4. 能从数据波动性的角度对实际问题作出分析判断，会用样本的方差和标准差估计总体的离散程度，体会“用样本估计总体”的统计思想，发展数据分析素养. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 核心问题：分层随机抽样的均值与方差，其本质是加权平均数（按比例贡献）思想在统计推断中的具体应用和拓展。 当不能获得全部样本的原始数据，只知道各层的样本均值和方差、以及各层样本量时，仍然可以计算出总样本的数字特征——这里的核心思想是 “按权重合并” ：每一层的信息并不是等同的，其权重取决于该层样本量占总体样本量的比例。在已知各层数据特征的前提下推算出总样本特征，体现了统计中“从部分数据推知整体信息”的核心逻辑。 加权平均数公式将各层均值按权重合并得到总均值；而方差公式则进一步将总方差分解为“层内方差”与“层间方差”两部分，揭示了总方差的来源：它既包含各层内部的波动，也包含各层均值之间的差异。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 结构本质：简单随机抽样数据为均质整体，而分层随机抽样数据具层内差异小层间差异大的结构特征，总体由若干均值不同、波动不同的子层构成，不能直接套用简单随机抽样公式。 均值本质：分层抽样总体样本均值是各层均值以样本量为权重的加权平均值，体现“按比例贡献、整体均衡”的统计原则。 方差本质：分层抽样样本方差是双重波动的合成，即分层总方差=层内加权平均波动+层间加权均值波动。层内方差刻画各层内部数据的离散程度，层间偏差刻画各层整体水平的差异，完整解释分层数据的离散来源。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 问题1：前面学习了哪些抽样的方法？如何选择恰当的方法进行抽样？ 简单随机抽样与分层随机抽样； 当总体有明显的层次差异时用分层随机抽样. 问题2：如何计算样本数据的均值？ 如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次xk出现fk次(f1+f2++fk=n)， 那么这n个数的加权平均数是 【环节一】复习旧知----制造冲突 按比例贡献、整体均衡 例1：某教研部门对本地区A，B，C三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，研究人员用分层随机抽样的方法从三所学校中共抽取20个班级进行调查，得到这三所学校所抽取班级的数量、平均数如下： 学校 A B C 数量/个 5 10 5 平均数 85 90 95 求抽取到的20个班级的平均数. 解： 【环节二】探究分层抽样的平均数的计算 按比例贡献、整体均衡 分层加权平均数 1.计算方差常用公式 （1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]； （2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n]. 标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度． 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定． 【环节一】复习旧知----制造冲突 集中趋势与离散程度是描述数据分布的两大基本维度。 集中趋势回答了“数据中心在哪里”， 离散程度则回答了“数据有多散”。 1.计算方差常用公式 （1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]； （2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n]. 标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度． 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定． 【环节一】复习旧知----制造冲突 集中趋势与离散程度是描述数据分布的两大基本维度。 集中趋势回答了“数据中心在哪里”， 离散程度则回答了“数据有多散”。 【追问1】具有线性关系的一组数据，他们的平均数、方差有什么关系？ 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是 ，方差是 s2 ， 那么下列各组数据的平均数、方差和标准差分别是什么？ 【环节二】探究平均数、方差的性质 例2 已知一组数据为: x1，x2，…，xn，平均数记为，方差记为sx2 ,标准差为s，计算下列各组数据的平均数，方差和标准差。 【环节二】探究平均数、方差的性质 例2 已知一组数据为: x1，x2，…，xn，平均数记为，方差记为sx2 ,标准差为s，计算下列各组数据的平均数，方差和标准差。 【环节二】探究平均数、方差的性质 例2 已知一组数据为: x1，x2，…，xn，平均数记为x，方差记为sx2 ,标准差为s，计算下列各组数据的平均数，方差和标准差。 【环节二】探究平均数、方差的性质 平均数、方差性质 【环节二】探究平均数、方差的性质 【环节三】深化理解——分层抽样方差的公式推导 【环节三】深化理解——分层抽样方差的公式推导 【环节三】深化理解——分层抽样方差的公式推导 把第一层样本记为: x1，x2，…，xm，平均数记为x，方差记为sx2 ; 把第二层样本记为: y1，y2，…，yn，平均数记为y，方差记为sy2 ; 把总样本数据的平均数记为z，方差记为s2 . 则 【环节三】深化理解——分层抽样方差的公式推导 各层均值按权重合并得到总均值 总方差= 层内加权平均波动 + 层间加权离均值平方波动 总离差平方和 = 各层内离差平方和 + 各层的组间离差平方和 计算分层随机抽样的方差s2的步骤 （1）确定，，，； （2）确定； （3）应用公式s2＝[＋(－)2]＋[＋(－)2] 计算s2. 【环节三】深化理解——分层抽样方差的公式推导 【环节三】深化理解——分层抽样方差的公式推导 分层抽样总样本方差的计算 如果分三层的分层抽样的总样本的均值和方差怎么计算？ 【例3】一组样本数据分为甲、乙两组,用分层随机抽样的方法从甲组中抽取6个数,其平均数为10,方差为50;从乙组中抽取4个数,其平均数为15,方差为55,则估计这个样本的平均数为　　　　　,方差为　　　　　.  【环节四】应用巩固——典例精讲 练一练：某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下： 学生数 平均支出 方差 男生 9 40 6 女生 6 35 4 求这15名学生每周购买零食的平均费用和方差. 解： 【环节五】分层训练——当堂巩固 【例4】甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名同学的平均成绩和方差分别是多少？ 解 设甲班50名同学的成绩分别为a1,a2,⋯,a50，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别是 设乙班40名同学的成绩分别为b1,b2,⋯,b40，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别是 【环节五】分层训练——当堂巩固 【环节五】总结反思——建构离散程度认知体系 1、分层抽样下总样本均值的公式是怎样的？为什么用权重 wk而非简单平均？权重的含义是什么？ 2、分层抽样总样本方差的公式有何结构特征？总方差 = 层内方差 + 层间方差，这个分解有何统计意义？ 3 、回顾本节课的学习，你最大的收获是什么？ 分层均值看加权，分层方差两层藏，层内波动稳基底，层间差异定整体 23 回顾本节课所学内容，你学到了什么？ 【环节六】总结升华，体系建构 均值本质：分层抽样总体样本均值是各层均值以样本量为权重的加权平均值，体现“按比例贡献、整体均衡”的统计原则。 方差本质：分层抽样样本方差是双重波动的合成，即分层总方差=层内平均波动+层间均值波动。层内方差刻画各层内部数据的离散程度，层间偏差刻画各层整体水平的差异，完整解释分层数据的离散来源。 核心思想：延续统计核心逻辑——用平均偏离刻画波动、用样本统计量估计总体参数，通过加权修正适配分层数据结构，解决异质总体的数据分析问题，体现分类、加权、量化建模的数学思想。 分层随机抽样的平均数： 一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,和， 则这个样本的平均数为， 为了简化表示，引进求和符号，记作 分层随机抽样的方差和标准差 分层随机抽样的方差计算： 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为：. 【环节六】总结升华，体系建构 1.教材215页——练习2、5(作业本)； 情境引入： 课后作业 2.教材第 218页习题9.2第11 题(作业本)； 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 27 $