9.2.4 总体离散程度的估计课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦总体离散程度的估计，核心内容包括极差、方差、标准差的定义与计算，通过射击运动员选拔情境导入，结合已学的集中趋势知识，引导学生发现数据波动需求，构建从集中趋势到离散程度的完整知识支架。 其亮点在于以真实问题驱动概念生成，通过问题链探究极差到方差的逻辑过程发展数学思维，用方差标准差精确描述数据波动体现数学语言。实例如射击成绩分析、机床加工质量比较，强调集中趋势与离散程度的“二元互补”，助力学生发展数据分析素养，为教师提供系统严谨的教学流程和实用案例。

9.2.4 总体离散程度的估计 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 目标导航 1.通过真实问题情境（如射击运动员选拔），主动提出刻画数据“波动幅度”的需求，经历极差、方差与标准差等离散程度参数的生成过程，理解其统计含义. 2. 掌握总体方差、总体标准差、样本方差、样本标准差的定义和计算公式，能正确计算给定数据的方差和标准差. 3. 能从数据波动性的角度对实际问题作出分析判断，会用样本的方差和标准差估计总体的离散程度，体会“用样本估计总体”的统计思想，发展数据分析素养. 4.了解分层随机抽样下样本方差的计算方法，感受统计方法的系统性与严谨性. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 核心问题：通过样本的离散程度（极差、方差、标准差）去推断总体的离散程度，这是“用样本估计总体”统计思想在“波动性”维度上的具体展开. 统计学的本质是从数据中发现规律。 集中趋势（平均数、中位数、众数）回答了“数据中心在哪里”， 离散程度（极差、方差、标准差）回答了“数据有多分散”. ——两者共同构成一组数据的完整描述。方差与标准差的根本思想是“离差平方的平均”，通过消去正负向抵消、规避绝对值运算复杂性的方式，构建了兼具数学简洁性和统计意义的波动性度量工具； 标准差（方差开方后）将量度拉回与原数据相同的量纲，使其具有实际可解释性。 离散程度与集中趋势并列为描述数据分布的两大基本维度。两者结合，才能形成对数据分布的完整刻画。这种“二元互补”的思维方式超越了单个统计量的技术层面，进入统计素养的核心——学会从多个维度审视同一组数据，而不被单一统计量所遮蔽。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 这节课学习数据的另一大重要特征:离散程度 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策. ? 离散程度简单理解就是数据聚在一块还是分散开! 聚在一块 分散开 【环节一】情境导入——教练该如何选择？ 中心 福建 温度 15 14 16 14 17 15 15.5 16 14 17 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 武汉 12 24 27 10 12 28 10 13 20 24 情景1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4 乙：9, 5, 7, 8, 7, 6, 8, 6, 7, 7 【环节一】情境导入——教练该如何选择？ 问题1：如果只能派一人去参赛，你作为教练会选择谁？理由是什么？ 问题2：除了平均数、中位数、众数，我们还需要了解数据的什么特征？ 问题3：如何用数学语言描述这种“波动幅度”？ 计算可得：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数均为7。从集中趋势来看，两人没有差别。 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” 情景1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4 乙：9, 5, 7, 8, 7, 6, 8, 6, 7, 7 追问1：你能说出甲、乙两人成绩的波动范围吗？ 甲极差 = 10−4 = 6， 乙极差 = 9−5 = 4 一组数据的最大值与最小值的差称为极差，它可以大致刻画数据的波动幅度。 追问2：极差能完全说明问题吗？给出数据“1, 2, 2, 5, 100”， 它的极差是99，但多数数据集中在1∼5之间 ——极差是否“夸大”了真实波动？ 极差简单直观，但只用了最大值和最小值两个数据，信息量太少，易受极端值影响 追问2:观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？ 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲成绩比较分散乙成绩相对集中 环数 频率 0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 O （甲） 环数 频率 0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 O （乙） 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” 思考:你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 波动幅度比较大 大部分的射击成绩离平均成绩较远； 比较稳定 大部分的射击成绩离平均成绩比较近 若射击成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 若射击成绩波动幅度很大，那么大多数射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 折线图 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” 问题4 为什么用“平均距离”刻画离散程度，用总距离可以吗？ 总距离和样本量多少有关，无法跨样本比较 例如，从一个总体中抽取两组样本，但两组的样本量不同，一个为100，另一个为1000，如果用总距离，两者之间会相差很大，但“平均距离”相差不大！总距离完全无法区分“全挤在一起”和“散得很开”两种情况。 平均距离消除了样本量的影响，刻画了“典型数据点”的波动幅度，是更科学、可比较的离散程度度量，所以用“平均距离”刻画离散程度比较合理。 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” 问题5：如何定义“平均距离”？ 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” 证明：原式 . 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” 标 准 差 问题6 （1）标准差的取值范围是什么？ （2）标准差为0的一组数据有什么特点？ 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” [0, +∞) 所有数据都相等 在刻画数据的离散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 单位一致 标准差和方差一样，刻画了数据的____ __程度． 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定． 但在解决实际问题中，一般多采用 离散 大 小 标准差 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的. 就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差. 在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性. 【环节二】探究新知——从“极差”到“方差” 13 方差 追问2:如何评价甲、乙两名运动员射击成绩？ 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 【环节五】学以致用——典型例题与巩固练习 引例 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？  如果 作为一次选拔性考核，我们做出的选择或决策为： 如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置. 如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手； 如果两人都排在后面，希望比赛时超常发挥的，建议选成绩标准差大的甲. 【环节五】学以致用——典型例题与巩固练习 15 例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为(单位：cm)： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1) 分别计算两组数据的平均数及方差； (2) 根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． 【环节五】学以致用——典型例题与巩固练习 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 【环节五】总结反思——建构离散程度认知体系 17 回顾本节课所学内容，你学到了什么？ 【环节五】总结反思——建构离散程度认知体系 1. 三类离散程度统计量：极差、方差、标准差的公式与意义。 2. 统计核心思想：样本估计总体、量化刻画数据特征。 3. 数据分析方法：均值看水平，标准差看稳定，二者结合综合评价。 离散程度与集中趋势的“二元互补”是统计描述的核心思维方式。 仅用集中趋势描述数据是不够的，仅用离散程度描述数据同样是片面的。只有将两者结合，才能形成对数据分布的完整刻画——例如，两组学生成绩的平均分相同但方差不同，意味着教学效果在“平均水平”层面无差异但在“均衡性”层面差异显著。这种“二元互补”的思维方式超越了单个统计量的技术层面，进入统计素养的核心——学会从多个维度审视同一组数据，而不被单一统计量所遮蔽。 1.教材215页——练习1，3，4(作业本)； 情境引入： 课后作业 2.教材第 216页习题9.2第7、8 题(作业本)； 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 20 (2)由(1)知eq \o(x,\s\up16(－))甲＝eq \o(x,\s\up16(－))乙，比较它们的方差，因为seq \o\al(2,甲)＞seq \o\al(2,乙)，故乙机床加工零件的质量更稳定． 解：(1)eq \o(x,\s\up16(－))甲＝eq \f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(cm)； eq \o(x,\s\up16(－))乙＝eq \f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(cm)． seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(99-100)2＋(100-100)2＋(98-100)2＋(100-100)2＋(100-100)2＋(103-100)2]＝eq \f(7,3)； seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(99-100)2＋(100-100)2＋(102-100)2＋(99-100)2＋(100-100)2＋(100-100)2]＝1. $