内容正文:
2026年中考模拟训练·数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,全卷共8页,满分120分,考试时间120分钟.
2.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成,答在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1. 下列四个数中,最小的是( )
A. 0 B. 3 C. D.
2. 体育运动图标,以其充分结合体育运动项目的特点,提炼核心元素,不拘泥于细节,重点捕捉创意灵感和大致形态,其简约大方,姿态优美的设计理念被大众所接受.下列运动图标中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图,这是一款简约型小圆桌,其主视图为( )
A. B. C. D.
5. 2026年2月28日,国家统计局发布《2025年国民经济和社会发展统计公报》.其中提到,2025年,我国国内生产总值()为1401879亿元,比上年增长,经济总量首次突破140万亿元大关.数据“140万亿元”用科学记数法表示为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
6. 三晋大地,历史悠久,文化底蕴丰厚,其中“平遥古城,五台山,云冈石窟,应县木塔”并称为山西四大著名文化遗产.为了倡导文化遗产保护,某社区计划从“平遥古城,五台山,云冈石窟,应县木塔”中,随机选择两项文化遗产进行宣讲,则恰好选到“平遥古城”和“应县木塔”的概率是( )
A. B. C. D.
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图,是的内接三角形,是的直径,直线与相切于点.若,则的度数是( )
A. B. C. D.
9. 小敏同学在测定某液体密度的实验中,没有把容器的质量测出来,而是多次增加液体的质量,测出液体的体积(单位:)和每次容器与液体的总质量(单位:),并记录在下表中.
实验序号
液体的体积
容器与液体的总质量/
则与的函数关系式为( )
A. B. C. D.
10. 如图,在中,,,.以点为圆心,的长为半径画弧交的延长线于点,以点为圆心,的长为半径画弧交的延长线于点,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11. 比较大小:______3.(填“”、“”或“”号)
12. 如图,在平面直角坐标系中,已知点,,将线段向上平移2个单位长度,得到线段,其中点A,B的对应点分别为,,再将线段以点为中心,顺时针旋转,得到线段,则点的坐标为______.
13. 如图,平面镜与水平线成角放置,入射光线与水平线成角射到平面镜的点,则反射光线与入射光线的夹角(即)的度数为______.
14. 某公司计划从基层员工中择优提拔一名中层管理,经过第一轮考核后甲、乙两名候选人胜出,现对甲、乙两人进行“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试,测试成绩如下表:
候选人
测试项目
综合知识
工作业绩
人际交流
甲
乙
最终将“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试,按照的权重计算其总成绩,并提拔成绩更高者,则最终被公司提拔的员工是______.
15. 如图,在等边三角形中,,,分别是边,上的中点,连接,是的中点,连接并延长,交于点,则的长为______.
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. 计算、化简
(1)计算:.
(2)化简:.
17. 如图,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数的图象相交于点,与轴相交于点.已知四边形是平行四边形,且反比例函数的图象经过点.
(1)求直线的表达式,并直接写出的值.
(2)直接写出的面积.
18. 为贯彻执行《电动自行车安全技术规范》,某电动自行车经销商计划更新其产品线,现有甲款和乙款电动自行车,已知每辆乙款电动自行车的进价是每辆甲款电动自行车进价的倍,用36000元购进甲款电动自行车的数量比购进乙款电动自行车的数量多4辆.求甲款和乙款每辆电动自行车的进价.
19. 学习了测量的相关知识后,某数学兴趣小组利用周末时间,对某一栋高楼展开了测量实践活动.如图,他们先在距离被测量高楼水平距离40米的点D处测得上一标识点C的仰角为,再在点D处竖直升起一架无人机,在无人机竖直升高到距离点D50米高的点E处时,测得点A的仰角为,求的长.(结果精确到1米,参考数据:)
20. 为了培养学生必备的劳动能力,促进学生全面发展,某校结合实际情况,开设了“种菜”“煮饭”“纸模”“缝纫”四门劳动课程.为了解学生最喜欢哪一门课程,学校随机抽取部分学生进行调查(每人须选择且只能选择一门课程),并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息解决下列问题.
(1)本次随机抽取的学生人数为______;在扇形统计图中,“煮饭”对应的圆心角度数为______;请补全条形统计图.
(2)若该校共有1200名学生,请估计该校喜欢“种菜”劳动实践课程的人数.
(3)假设你是劳动委员,根据本次调查情况,向学校提出两条关于劳动课开设的建议.
21. 阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务.
等形状分割点
在四边形的一边上取一点(端点除外),连接该点与对边端点,若该点两侧的两个三角形相似,且四边形的对角顶点是这两个相似三角形的对应顶点,则称这个四边形为等形状四边形,称这个点为等形状分割点.
例如:
如图1,在四边形中,是边上的一点,连接,.
,,
,(依据______)
点是四边形的等形状分割点.
任务:
(1)材料中“依据”的具体内容______.
(2)如图2,在等形状四边形中,边上的点是等形状分割点,已知,,,,连接,求的长.
(3)如图3,已知四边形是以边上点为等形状分割点的等形状四边形,请作出点.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
22. 综合与实践
如图1,这是一款实木茶几,茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的,经测量桌面最大长度,最大宽度,桌面竖直轮廓如图所示,上方抛物线顶点到的距离为,下方抛物线顶点到的距离为,直线为竖直轮廓的对称轴,且.以所在直线为轴,过点垂直于所在直线为轴,建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)请你直接写出点的坐标,并求出上方抛物线的函数表达式.
(2)如图3,为了美化桌面图案,丰富视觉效果,计划将上方抛物线向下平移,将下方抛物线向上平移若干厘米,两条新抛物线相交于上的点,点.
①求的长;
②直接写出下方抛物线向上平移的距离.
(3)如图4,若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃,使得顶点,,,落在新轮廓上,若,直接写出的长.
23. 综合与探究
如图1,在边长为的正方形纸片中,是边上一动点(不与端点重合),将沿折叠,点落在点处.设.
(1)延长交于点,连接,求的度数.
(2)如图2,,分别是边,的中点,点在线段上.
①的值为.
②求的值.
(3)如图3,连接,,当是等腰三角形时,直接写出的值.
第1页/共1页
学科网(北京)股份有限公司
$
2026年中考模拟训练·数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,全卷共8页,满分120分,考试时间120分钟.
2.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成,答在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1. 下列四个数中,最小的是( )
A. 0 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解:∵ 四个数中,负数为和且,,,
∴;
将四个数从小到大排序得,
∴ 最小的数是.
2. 体育运动图标,以其充分结合体育运动项目的特点,提炼核心元素,不拘泥于细节,重点捕捉创意灵感和大致形态,其简约大方,姿态优美的设计理念被大众所接受.下列运动图标中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别,根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【详解】解:A,C,D选项中的图形不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形,
B选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】,故选项A运算正确;,故选项B运算错误;,故选项C运算错误;,故选项D运算错误.
【详解】解:根据同底数幂乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可得,故选项A运算正确;
根据积的乘方法则,可得,故选项B运算错误;
根据单项式乘多项式法则展开,可得,故选项C运算错误;
根据完全平方公式展开,可得,故选项D运算错误.
4. 如图,这是一款简约型小圆桌,其主视图为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图,根据主视图是从正面看到的图形,进行判断即可.
【详解】解:由图可知,主视图为:
5. 2026年2月28日,国家统计局发布《2025年国民经济和社会发展统计公报》.其中提到,2025年,我国国内生产总值()为1401879亿元,比上年增长,经济总量首次突破140万亿元大关.数据“140万亿元”用科学记数法表示为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】D
【解析】
【详解】解:万亿.
6. 三晋大地,历史悠久,文化底蕴丰厚,其中“平遥古城,五台山,云冈石窟,应县木塔”并称为山西四大著名文化遗产.为了倡导文化遗产保护,某社区计划从“平遥古城,五台山,云冈石窟,应县木塔”中,随机选择两项文化遗产进行宣讲,则恰好选到“平遥古城”和“应县木塔”的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举出所有等可能的选择结果,找出符合题意的结果数,再利用概率公式计算即可.
【详解】解:将“平遥古城,五台山,云冈石窟,应县木塔”分别记为,
∵从四个文化遗产中随机选择两项,所有等可能的结果为,共种,其中恰好选到“平遥古城”和“应县木塔”的结果只有这种,
∴所求概率为.
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解:
由①得,;
由②得,
∴原不等式组的解集为
数轴表示为.
8. 如图,是的内接三角形,是的直径,直线与相切于点.若,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接,根据同弧所对的圆周角相等可得,根据是的直径,得出,根据切线的性质可得,即可得出.
【详解】解:如图,连接,
∵
∴
∵是的直径,
∴,
∴,
∵直线与相切于点,
∴,则,
∴
9. 小敏同学在测定某液体密度的实验中,没有把容器的质量测出来,而是多次增加液体的质量,测出液体的体积(单位:)和每次容器与液体的总质量(单位:),并记录在下表中.
实验序号
液体的体积
容器与液体的总质量/
则与的函数关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察表格数据可知,液体的体积(单位:)和每次容器与液体的总质量(单位:)之间存在一个对应关系,且液体的体积每增加, 对应容器与液体的总质量增加,进而设解析式为,待定系数法求解析式,即可求解.
【详解】解:依题意,设液体的体积和每次容器与液体的总质量之间的一次函数表达式为
将,代入得,
解得:
∴,经检验,其他2组数据也符合该关系式.
10. 如图,在中,,,.以点为圆心,的长为半径画弧交的延长线于点,以点为圆心,的长为半径画弧交的延长线于点,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得,,进而根据阴影部分的面积为,即可求解.
【详解】解:在中,,,.
∴,
∴,
∴,
∴阴影部分的面积为
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11. 比较大小:______3.(填“”、“”或“”号)
【答案】
【解析】
【分析】估算的大小,与3比较即可.
【详解】解:∵4<5<9,
∴2<<3,
则<3,
故答案为:<.
【点睛】本题考查了实数大小比较,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
12. 如图,在平面直角坐标系中,已知点,,将线段向上平移2个单位长度,得到线段,其中点A,B的对应点分别为,,再将线段以点为中心,顺时针旋转,得到线段,则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,画出线段,即可得出结果.
【详解】解:由题意,作图如下:
由图可知:点的坐标为.
13. 如图,平面镜与水平线成角放置,入射光线与水平线成角射到平面镜的点,则反射光线与入射光线的夹角(即)的度数为______.
【答案】##度
【解析】
【分析】根据题意以及三角形的外角的性质求得,结合平角的定义,即可求解.
【详解】解:如图,
依题意,,
∴.
14. 某公司计划从基层员工中择优提拔一名中层管理,经过第一轮考核后甲、乙两名候选人胜出,现对甲、乙两人进行“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试,测试成绩如下表:
候选人
测试项目
综合知识
工作业绩
人际交流
甲
乙
最终将“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试,按照的权重计算其总成绩,并提拔成绩更高者,则最终被公司提拔的员工是______.
【答案】甲
【解析】
【分析】“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试的权分别为,,,根据加权平均数计算公式得甲的总成绩为:,乙的总成绩为:,由于,故甲的成绩更高,因此最终被公司提拔的员工是甲.
【详解】解:,,,
根据加权平均数计算公式,
甲的总成绩为:,
乙的总成绩为:,
,
甲的成绩更高,
故最终被公司提拔的员工是甲.
15. 如图,在等边三角形中,,,分别是边,上的中点,连接,是的中点,连接并延长,交于点,则的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】过点作,交的延长线于点,延长交于点.根据题意得出是等边三角形,为的中位线,,,进而证明是边长为的等边三角形,得出,勾股定理求得,证明得出,代入数据,即可求解.
【详解】如图,过点作,交的延长线于点,延长交于点.
∵三角形是等边三角形,
∴,,
∵,分别是边,上的中点,是的中点,
∴为的中位线,,
∴,,,
∴是等边三角形,
∵,,
∴
∴,
∴
∴
∵
∴
又∵是等边三角形
∴
∵
是边长为的等边三角形,则
∴,
在中,,
∴
在中,.
∴
∴,
,
即,
解得.
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. 计算、化简
(1)计算:.
(2)化简:.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【小问1详解】
解:原式
.
【小问2详解】
解:原式
.
17. 如图,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数的图象相交于点,与轴相交于点.已知四边形是平行四边形,且反比例函数的图象经过点.
(1)求直线的表达式,并直接写出的值.
(2)直接写出的面积.
【答案】(1),的值为
(2)
【解析】
【分析】(1)设直线的表达式为,待定系数法求一次函数解析式,根据平行四边形的性质,对角线互相平分,设,根据中点坐标公式,即可求解;
(2)根据平行四边形的性质,即可求解.
【小问1详解】
解:设直线的表达式为.
,,
解得
直线的表达式为.
∵四边形是平行四边形,
∴的中点重合,
设
∵,
∴,
解得:,
∴的值为.
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形,,
∴.
18. 为贯彻执行《电动自行车安全技术规范》,某电动自行车经销商计划更新其产品线,现有甲款和乙款电动自行车,已知每辆乙款电动自行车的进价是每辆甲款电动自行车进价的倍,用36000元购进甲款电动自行车的数量比购进乙款电动自行车的数量多4辆.求甲款和乙款每辆电动自行车的进价.
【答案】每辆甲款电动自行车的进价是3000元,每辆乙款电动自行车的进价是4500元
【解析】
【分析】设每辆甲款电动自行车的进价是x元,则每辆乙款电动自行车的进价是元.根据题意列出分式方程,解方程,并检验,即可求解.
【详解】解:设每辆甲款电动自行车的进价是x元,则每辆乙款电动自行车的进价是元.
根据题意,得,
解得.
经检验,是原方程的根,且符合题意,
当元时,元.
答:每辆甲款电动自行车的进价是3000元,每辆乙款电动自行车的进价是4500元.
19. 学习了测量的相关知识后,某数学兴趣小组利用周末时间,对某一栋高楼展开了测量实践活动.如图,他们先在距离被测量高楼水平距离40米的点D处测得上一标识点C的仰角为,再在点D处竖直升起一架无人机,在无人机竖直升高到距离点D50米高的点E处时,测得点A的仰角为,求的长.(结果精确到1米,参考数据:)
【答案】米
【解析】
【分析】作于点,分别解和,求出和的长,据此求解即可.
【详解】解:作于点,如图所示,
在中,,米,
米,
易得,四边形为矩形,
∴米,米,
在中,,
米,
∴米.
答:的长为米.
20. 为了培养学生必备的劳动能力,促进学生全面发展,某校结合实际情况,开设了“种菜”“煮饭”“纸模”“缝纫”四门劳动课程.为了解学生最喜欢哪一门课程,学校随机抽取部分学生进行调查(每人须选择且只能选择一门课程),并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息解决下列问题.
(1)本次随机抽取的学生人数为______;在扇形统计图中,“煮饭”对应的圆心角度数为______;请补全条形统计图.
(2)若该校共有1200名学生,请估计该校喜欢“种菜”劳动实践课程的人数.
(3)假设你是劳动委员,根据本次调查情况,向学校提出两条关于劳动课开设的建议.
【答案】(1),,
(2)人数为
(3)①学校应开辟相应的劳动实践场地,提供真实的劳动体验.
②劳动课程应注重理论与实践相结合,避免纯理论教学.
③可聘请具有专业技能的教师授课,提升课程质量.
④建议将劳动课程的学习情况纳入学生综合素质评价体系.
【解析】
【分析】(1)根据“种菜”的人数除以占比,求得抽取的人数,用“煮饭”的占比乘以,求得对应的圆心角度数,进而根据总人数减去其他类别的人数求得“纸模”的人数,进而补全统计图;
(2)用喜欢“种菜”劳动实践课程的占比乘以,即可求解;
(3)根据本次调查情况,提出建议,言之有理,即可求解.
【小问1详解】
解:本次随机抽取的学生人数为,
在扇形统计图中,“煮饭”对应的圆心角度数为.
“纸模”的人数为:,
补全条形统计图略
【小问2详解】
解:(人).
答:估计该校喜欢“种菜”劳动实践课程的学生人数为360.
【小问3详解】
略
21. 阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务.
等形状分割点
在四边形的一边上取一点(端点除外),连接该点与对边端点,若该点两侧的两个三角形相似,且四边形的对角顶点是这两个相似三角形的对应顶点,则称这个四边形为等形状四边形,称这个点为等形状分割点.
例如:
如图1,在四边形中,是边上的一点,连接,.
,,
,(依据______)
点是四边形的等形状分割点.
任务:
(1)材料中“依据”的具体内容______.
(2)如图2,在等形状四边形中,边上的点是等形状分割点,已知,,,,连接,求的长.
(3)如图3,已知四边形是以边上点为等形状分割点的等形状四边形,请作出点.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【答案】(1)两角分别相等的两个三角形相似
(2)
(3)见解析
【解析】
【分析】(1)根据相似三角形的判定定理,两角分别相等的两个三角形相似;
(2)过点作于点.根据题意可得,求得.勾股定理求得,,最后在中,勾股定理求得,即可求解;
(3)根据新定义,结合(1)的结论,作交于点,即可求解.
【小问1详解】
解:两角分别相等的两个三角形相似.
【小问2详解】
如图,过点作于点.
根据题意得,
,即,解得.
,
.
设,则.
由勾股定理可得,
即,解得,即,
,
,
在中,.
【小问3详解】
如图,点即所求.
22. 综合与实践
如图1,这是一款实木茶几,茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的,经测量桌面最大长度,最大宽度,桌面竖直轮廓如图所示,上方抛物线顶点到的距离为,下方抛物线顶点到的距离为,直线为竖直轮廓的对称轴,且.以所在直线为轴,过点垂直于所在直线为轴,建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)请你直接写出点的坐标,并求出上方抛物线的函数表达式.
(2)如图3,为了美化桌面图案,丰富视觉效果,计划将上方抛物线向下平移,将下方抛物线向上平移若干厘米,两条新抛物线相交于上的点,点.
①求的长;
②直接写出下方抛物线向上平移的距离.
(3)如图4,若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃,使得顶点,,,落在新轮廓上,若,直接写出的长.
【答案】(1)
(2)①;②
(3)
【解析】
【分析】(1)设上方抛物线的函数表达式为,代入,待定系数法求解析式,即可求解;
(2)①先求得平移后的抛物线函数表达式为,令,求得的坐标,进而求得的长;②设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为,代入,求得解析式,进而求得平移的距离;
(3)根据,列出一元二次方程,解方程,即可求解.
【小问1详解】
解:顶点的坐标为.
设上方抛物线的函数表达式为.
由题意可知抛物线经过点,
,
解得,
上方抛物线的函数表达式为.
【小问2详解】
解:①将上方抛物线向下平移后,
所得抛物线的函数表达式为,
当时,即,
解得,,
,,
.
②下方抛物线的函数表达式为.
设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为.
将点的坐标代入,得,解得,
新抛物线的函数表达式为,
下方抛物线向上平移的距离为.
【小问3详解】
解:由(2)知上方新抛物线的函数表达式为,
下方新抛物线的函数表达式为,
,
解得,,
.
23. 综合与探究
如图1,在边长为的正方形纸片中,是边上一动点(不与端点重合),将沿折叠,点落在点处.设.
(1)延长交于点,连接,求的度数.
(2)如图2,,分别是边,的中点,点在线段上.
①的值为.
②求的值.
(3)如图3,连接,,当是等腰三角形时,直接写出的值.
【答案】(1)
(2)①;②
(3)或
【解析】
【分析】(1)证明得出,进而根据,即可求解;
(2)①根据折叠有,,进而根据得出;
②延长,,交点为,证明四边形是矩形,解直角三角形,得出,进而求得,证明,求得,进而根据,即可求解.
(3)分两种情况讨论,当时,在边上取点,使得,则,,当时,当时,则点在正方形的对称轴上,连接,,得出是等边三角形,分别画出图形,解直角三角形,即可求解.
【小问1详解】
解: 四边形是正方形,
,.
如图,沿折叠,
,,.
在与中,
,
,
.
【小问2详解】
①,分别是,的中点,
,四边形是矩形.
根据折叠有,.
在中,,,
.
,
,
,
解得.
②如图,延长,,交点为.
,分别是正方形的边,的中点,
.
又,,
四边形是矩形,
,
在中,,
,
在中,,
.
,
,
,
.
【小问3详解】
如图,
当时,则,则是等边三角形,
,.
在边上取点,使得,则,
则,,
有,
解得.
如图,
当时,则点在正方形的对称轴上,连接,,
即是等边三角形,
.
在中,,
.
综上所述,的值为或.
第1页/共1页
学科网(北京)股份有限公司
$