第十章 概率 章末复习卷 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本单元卷聚焦概率核心知识，通过基础题型与情境化综合题结合，适配高中概率单元复习，全面覆盖互斥对立事件、独立事件等知识点，有效培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|互斥对立事件（题1）、样本空间（题2）|基础概念与简单计算结合| |多选|3/18|独立事件判断（题9）、概率公平性分析（题10）|多选项设计考查逻辑辨析| |填空|3/15|独立事件概率（题12）、有放回抽样（题13）|强化计算与模型应用| |解答|5/77|实际情境概率（题17图书馆借阅）、策略优化（题18药物试验）|综合考查数据分析与问题解决，融入田忌赛马等文化情境|

第十章 概率复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9 2．一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 3．小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（   ） A．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.96 4．一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．将数字2等可能的放入图中的10个小方格中的一个，则数字2放在两个“田”字形重叠方格的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 8．田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率；则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 10．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 11．某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（   ） A．甲同学积分为3分的概率为 B．甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为 C．甲同学积分的数学期望为4 D．四名同学积分总和的方差为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知随机事件，相互独立，且，则__________． 13．一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 14．某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有A、B两个不透明的盒子，其中A盒中放有2，5，7三张卡牌，B盒中放有4，10，14三张卡牌．现进行三轮抽取，每一轮从A、B两个盒子中各随机抽取1张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中，若抽出的两张卡牌互质，则小明获得20元现金奖励，否则该轮无奖励．三轮抽取结束后，小明获得的返现奖励为40元的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求： (1)“取出两球的标号之和为3”的概率； (2)“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率． 16．申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 17．某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 18．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 19．为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立．规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． (1)①求抽取次后，总积分为分的概率； ②求的值； (2)设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法； (3)证明：当时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【详解】因为，事件与对立，所以， 又，与互斥，所以. 2．一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 【答案】C 【详解】每枚骰子都有6种可能，所以全部的基本事件数为种． 3．小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（   ） A．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.96 【答案】D 【分析】结合对立事件及独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】这两粒种子至少有1粒发芽的概率为． 4．一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 5．将数字2等可能的放入图中的10个小方格中的一个，则数字2放在两个“田”字形重叠方格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察分析由两个田字格重叠的方格的个数，然后除以总的方格个数即为所求概率. 【详解】如图所示，只有图中的两个两个黑色方格分别是左下角的田字格和中间的田字格的重叠方格，右上角的田字格与中间田字格的重叠方格. ∵共有10个小方格，数字2放在两个“田”字形重叠方格的有2种情况， ∴数字2放在两个“田”字形重叠方格的概率是, 故选：B. 6．已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用对数函数的定义和二次函数的知识求得函数f(x)定义域为R的充分必要条件，进而用列举法求得数组(a,b)的总组数和满足定义域为R的条件的组数，求得所求概率. 【详解】由题意知 又因为， 所以数形成的数组有，共36种情况， 其中， ， 共17种情况满足， 所以所求概率 故选：C. 7．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算. 【详解】记零件或系统能正常工作的概率为， 该系统正常工作的概率为: , 故选：C. 8．田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 【答案】B 【分析】为获得胜利，甲、乙会优先选择对阵所有对手平均胜率更高的马匹参赛. 【详解】对于命题①，若，赢的概率高于和， 所以甲优先选择对阵所有对手胜率更高的马匹参赛， 尽可能多出战，但最多出战两次，所以让出战两次， 又因为赢的概率高于，所以马出战一次，故①正确； 对于命题②，若，， 胜率表为： 甲方较优的参赛马应为一次、两次；乙方为了降低甲胜率，应取两次、一次. 这时不管怎么排顺序，甲三轮单场胜率只会出现两类情况： 一种是.则甲至少赢两轮的概率为 另一种是. 则甲至少赢两轮的概率为 这两个值都不是，如果把双方的出战顺序也按随机来计算，概率会是，也不是. 故命题②错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【详解】对于选项A，可知事件“第一次为反面朝上，且第二次为正面朝上”， 可知， 所以，所以相互独立，选项A正确； 对于选项B，可知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 第一次没有摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 可知第一次的结果对第二次摸球有影响，所以事件不相互独立，选项B错误； 对于选项C，可知事件“出现点数为2”， 可知， 所以，所以相互独立，选项C正确； 对于选项D，可知事件互斥，即，所以事件不相互独立，选项D错误； 10．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【答案】ABCD 【分析】结合古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，“是4的整数倍的数”有2个，“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个. 对于A：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，A正确. 对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2，故甲获胜的希望较大，B正确. 对于C：“是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6，故乙获胜的希望较大，C正确. 对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，D正确. 11．某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（   ） A．甲同学积分为3分的概率为 B．甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为 C．甲同学积分的数学期望为4 D．四名同学积分总和的方差为 【答案】BCD 【分析】分析出甲积3分的情况，再求出概率即可.分析出甲胜2局且乙胜2局的情况，再分析概率即可.根据期望的公式以及线性性求解选项C.根据方差公式求解选项D. 【详解】四人单循环赛，每名选手共进行3局比赛，总共有局比赛，每局胜得3分、平得1分、负得0分，每局胜/平/负概率均为​，各局独立. 选项A.甲积3分有两种情况：1胜2负或3局全平.则概率为， A错误. 选项B.甲胜2局且乙胜2局，分三种情况. 甲胜乙：甲需要在丙丁中再胜1场，乙需要胜丙丁两场，概率为. 乙胜甲：乙需要在丙丁中再胜1场，甲需要胜丙丁两场，概率为. 甲乙平局，概率为 总概率​，B正确. 选项C.甲每局得分的期望为：，甲共3局， 由期望的线性性：，C正确. 选项D.设每局总得分​，总积分，各局独立， 故：平局概率，总得分2；分胜负概率，总得分3. ,.. 因此，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知随机事件，相互独立，且，则__________． 【答案】0.64 【详解】由题意得. 13．一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 【答案】 【分析】求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种， 而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种， 故这列数中恰有4个不相同的数的概率为． 14．某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有A、B两个不透明的盒子，其中A盒中放有2，5，7三张卡牌，B盒中放有4，10，14三张卡牌．现进行三轮抽取，每一轮从A、B两个盒子中各随机抽取1张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中，若抽出的两张卡牌互质，则小明获得20元现金奖励，否则该轮无奖励．三轮抽取结束后，小明获得的返现奖励为40元的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用古典概型的概率计算方法求概率. 【详解】因为每次抽取抽到的数字都是等可能的，所以这是一个古典概型问题. 所有的基本事件有：，，， ，，，共6个. 能够获得返现奖励为40元的基本事件有：，，，共3个. 所以获得返现奖励为40元的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求： (1)“取出两球的标号之和为3”的概率； (2)“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）取对立事件为取出两球的标号均等于1，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率求法运算求解. 【详解】（1）记“取出两球的标号之和为3”为事件A， 可知和为3为或，即甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1， 所以. （2）记“取出两球的标号至少有一个大于1”为事件B， 则为“取出两球的标号均等于1”，可得， 所以. 16．申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)由，得事件与事件相互独立 【分析】（1）将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，结合百分位数的计算方法，即可求解； （2）根据题设中的统计数据分别求得和，根据相互独立事件的判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，可得： 其中低于70分的有：，共有10个，即， 因为，所以第25百分位数为第6个和第7个数据的平均数， 所以第25分位数为. （2）解：事件与事件相互独立. 理由：在统计数据中，成绩不小于80分的有：，共有8个， 学生数学成绩为偶数的有：，共有12个， 由事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数， 可得其概率分别为， 又由事件表示成绩不小于80分且为偶数，有，共有4个， 所以其概率为， 因为，所以， 所以事件与事件相互独立. 17．某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)在职人员借阅的文学类图书量更大 (2) (3) 【分析】（1）先根据“总借阅量=调查人数×年人均借阅量×对应类别占比”的公式，分别列出在职人员文学类、中学生教辅类的借阅量计算式，再代入数据比较大小； （2）先根据大学生各类借阅占比和为，求出的值，得到大学生借阅科技类的概率；同理根据中学生各类借阅占比和为，求出的值，得到中学生借阅科技类的概率；然后将“3册书中至少有2册为科技类图书”分解为“2册科技类1册非科技类”和“3册都是科技类”两个子事件，利用独立事件概率公式和互斥事件概率加法公式计算总概率； （3）根据偏好度的定义，计算各类读者的“偏好度”，可得答案. 【详解】（1）在职人员借阅文学类图书总量： （册）， 中学生借阅教辅类图书总量： （册）， 因为，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大； （2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为，中学生借阅科技类的概率为， 三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况： ① 2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ② 仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③ 3人均借科技：， 总概率：. （3）在职人员的5个占比分别为：，即， ， ，故； 大学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 由题设得，因此，， 即都小于均值，因此，， ， ， 因此：； 中学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 同理，由得，， 因此，， ， ， 因此：. 综上： 18．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【详解】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 19．为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立．规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． (1)①求抽取次后，总积分为分的概率； ②求的值； (2)设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法； (3)证明：当时，． 【答案】(1)①；② (2)，125 (3)证明见解析 【分析】（1）①由题意得总积分为分，应满足恰好抽到次号代币，次号代币，利用概率的乘法公式即可求解；②分类讨论次抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币的情况即可求解； （2）根据题意得出抽到号的次数与的关系即可求解； （3）将第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况讨论，得到即可判断. 【详解】（1）①由题意，抽到号的概率为，抽到号的概率为；抽取次后，总积分为分，应满足恰好抽到次号代币，次号代币． 总积分为分的概率为：， ②根据题意，次抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，有种情况 三次均未抽到号：， 三次中有一次抽到号：， 三次中有两次抽到号，只能第一次和第三次抽到号：， 则． （2）设抽到号次，则 ，得； 因为个号不连续，故至少有次抽到其他号码， 所以有 ，即，又， 联立解得． 故的最大值为，此时：共 种抽取方法． （3）第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况： 第一种情况：第次抽号，概率为，前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为； 第二种情况：第次抽号，其概率为，第次抽号，概率为， 前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为； 故， 则， 所以当时，， 当时，由（1）知，， 故，当时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $