专题02实数 期末复习讲义（23大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期

专题02实数 期末复习讲义 期末复习◆目标 1.熟记算术平方根、平方根、立方根的概念、符号、性质，掌握开方与乘方互逆运算，区分三者核心差异； 2.精准辨析有理数与无理数，掌握实数分类，理解实数与数轴一一对应的核心关系； 3.熟练运用实数的相反数、绝对值、倒数性质，掌握实数大小比较、简单化简及混合运算； 核心题型◆归纳 题型1.平方根概念辨析 题型2.求一个数的平方根 题型3.求代数式的平方根 题型4.已知一个数的平方根求这个数 题型5.利用平方根解方程 题型6.求一个数的算术平方根 题型7.利用算术平方根的非负性解题 题型8.估计算术平方根的取值范围 题型9.算术平方根的实际应用 题型10.立方根概念理解辨析 题型11.求一个数的立方根 题型12.已知一个数的立方根求这个数 题型13.立方根的实际应用 题型14.算术平方根和立方根的综合应用 题型15.无理数辨别分类 题型16.无理数的大小估算与整数部分计算 题型17.实数的分类 题型18.实数与数轴 题型19.实数的大小比较 题型20.实数的混合运算 题型21.新定义下的实数运算 题型22.实数运算的实际应用 题型23.与实数运算相关的规律题 重点知识◆梳理 【知识点一、平方根与算术平方根】 1.平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即=a,那么这个数x就叫做a的平方根。记作±. ★重点提醒：负数无平方根；正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0。 2.算术平方根定义：非负数a的正的平方根，记作(). 关键：双重非负性（被开方数a≥0，算术平方根本身≥0）；0的算术平方根是0。 3.算术平方根和平方跟的区别与联系 · · 平方根 · 算术平方根 · 个数 · 一个正数有2个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根. · 一个正数只有1个算术平方根。 · 符号表示 · ±(a≥0) · (a≥0) · 取值范围 · 正数、0、负数（仅非负数有平方根） · 非负数（0或正数） · 联系 · 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个。 【知识点二、开平方与平方根】 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数。 2.开平方和平方根的区别与联系 （1） 开平方时，被开方数a必须是非负数。 （2） 平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程。 （3） 平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 【知识点三、立方根的概念与性质】 1.概念：若 = a，则x=（三次根号，根指数3不可省略）。 2.性质：① 任意实数有且只有一个立方根，符号与被开方数一致； ②=-（任意实数a均成立）。③(==a(任意实数a均成立) 【知识点四、开立方与立方根】 1.开立方是求立方根的运算，是立方的逆运算。 核心：根指数3不可省；正数开立方得正，负数得负，0得0； 小数、分数可转化为整数立方简化计算。 2.利用立方根解方程 核心：将方程化为 = k（k为常数），两边同时开立方得x=. 例如：解方程 - 8 = 0，移项得 = 8，解得x ==2 【知识点五、无理数】 1.概念：无限不循环小数，不能化成分数（a、b为整数，b≠0）。 2.常见类型：含π的数、开方开不尽的数、特殊构造的无限不循环小数（如0.1010010001…）。 【知识点六、实数概念及分类】 1.概念：有理数和无理数的统称，与数轴上的点一一对应。 2.分类：① 按定义：实数 ； ② 按符号：实数 【知识点七、实数的性质】 1.相反数：a的相反数为-a，互为相反数则a + b = 0； 2.绝对值：|a| =，具有非负性； 3.倒数：非0实数a的倒数为，互为倒数则a×b = 1； 4.大小比较：正数>0>负数，无理数可通过估算比较。 题型解析◆精准备考 题型1.平方根概念辨析 1．下列各数中，没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D．4 2．如果的两个平方根是a、b，那么______． 3．正数的平方根是和，求的值． 题型2.求一个数的平方根 1．的平方根为（   ） A． B． C． D．5 2．如果，，那么的平方根是________． 3．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 题型3.求代数式的平方根 1．若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 2．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 3．已知与 互为相反数，求的平方根． 题型4.已知一个数的平方根求这个数 1．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．49 B． C． D．4 2．2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______． 3．已知和是实数m的两个不同的平方根，求x，m的值． 题型5.利用平方根解方程 1．若二次根式，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 2．假设存在一个数i，且它具有的性质，若，则______． 3．求下列各式中x的值． ； 题型6.求一个数的算术平方根 1．若，则的值为（   ） A． B．1 C．32026 D． 2．若，则的算术平方根为________． 3．已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 题型7.利用算术平方根的非负性解题 1．实数是连续整数，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 2．设为正整数，且，则的值为______． 3．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 题型8.估计算术平方根的取值范围 1．下列各式中，正确的是(   ) A．B． C． D． 2．已知是9的算术平方根，则的值为____． 3．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 题型9.算术平方根的实际应用 1．如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 2．将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 3．已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 题型10.立方根概念理解辨析 1．下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 2．若和都是的立方根，则 ___________， ___________． 3．解下列方程： (1)． (2)． 题型11.求一个数的立方根 1．已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知、都是实数，且满足，则的立方根是________． 3．求的值 (1)． (2)． 题型12.已知一个数的立方根求这个数 1．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 3．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 题型13.立方根的实际应用 1．春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 3．把48个棱长为的正方体铸成一个长、宽、高的比为的长方体，求这个长方体的表面积． 题型14.算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．若的算术平方根是5，则的立方根是__________． 3．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 题型15.无理数辨别分类 1．在下列实数中，无理数是（    ） A．0.101001 B． C． D． 2．实数中是无理数的是______． 3．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，0，，1.414，． (1)整数集合：{                 }； (2)分数集合：{                 }； (3)有理数集合：{               }； (4)无理数集合：{               }． 题型16.无理数的大小估算与整数部分计算 1．已知，若n为整数且，则n的值为（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 2．实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 3．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 题型17.实数的分类 1．在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 3．把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 题型18.实数与数轴 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 3．在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． 题型19.实数的大小比较 1．在0，，，四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 3．解答下列各题 (1)计算： (2)比较数的大小：与 题型20.实数的混合运算 1．下列各式中，正确的是（  ） A．B． C．D． 2．计算：_______________． 3．计算： 题型21.新定义下的实数运算 1．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 2．规定新运算：，其中a，b为实数，则________． 3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 题型22.实数运算的实际应用 1．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 3．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 题型23.与实数运算相关的规律题 1．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 3．观察：．．．通过观察，当时，求：的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数 期末复习讲义 期末复习◆目标 1.熟记算术平方根、平方根、立方根的概念、符号、性质，掌握开方与乘方互逆运算，区分三者核心差异； 2.精准辨析有理数与无理数，掌握实数分类，理解实数与数轴一一对应的核心关系； 3.熟练运用实数的相反数、绝对值、倒数性质，掌握实数大小比较、简单化简及混合运算； 核心题型◆归纳 题型1.平方根概念辨析 题型2.求一个数的平方根 题型3.求代数式的平方根 题型4.已知一个数的平方根求这个数 题型5.利用平方根解方程 题型6.求一个数的算术平方根 题型7.利用算术平方根的非负性解题 题型8.估计算术平方根的取值范围 题型9.算术平方根的实际应用 题型10.立方根概念理解辨析 题型11.求一个数的立方根 题型12.已知一个数的立方根求这个数 题型13.立方根的实际应用 题型14.算术平方根和立方根的综合应用 题型15.无理数辨别分类 题型16.无理数的大小估算与整数部分计算 题型17.实数的分类 题型18.实数与数轴 题型19.实数的大小比较 题型20.实数的混合运算 题型21.新定义下的实数运算 题型22.实数运算的实际应用 题型23.与实数运算相关的规律题 重点知识◆梳理 【知识点一、平方根与算术平方根】 1.平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即=a,那么这个数x就叫做a的平方根。记作±. ★重点提醒：负数无平方根；正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0。 2.算术平方根定义：非负数a的正的平方根，记作(). 关键：双重非负性（被开方数a≥0，算术平方根本身≥0）；0的算术平方根是0。 3.算术平方根和平方跟的区别与联系 · · 平方根 · 算术平方根 · 个数 · 一个正数有2个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根. · 一个正数只有1个算术平方根。 · 符号表示 · ±(a≥0) · (a≥0) · 取值范围 · 正数、0、负数（仅非负数有平方根） · 非负数（0或正数） · 联系 · 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个。 【知识点二、开平方与平方根】 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数。 2.开平方和平方根的区别与联系 （1） 开平方时，被开方数a必须是非负数。 （2） 平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程。 （3） 平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 【知识点三、立方根的概念与性质】 1.概念：若 = a，则x=（三次根号，根指数3不可省略）。 2.性质：① 任意实数有且只有一个立方根，符号与被开方数一致； ②=-（任意实数a均成立）。③(==a(任意实数a均成立) 【知识点四、开立方与立方根】 1.开立方是求立方根的运算，是立方的逆运算。 核心：根指数3不可省；正数开立方得正，负数得负，0得0； 小数、分数可转化为整数立方简化计算。 2.利用立方根解方程 核心：将方程化为 = k（k为常数），两边同时开立方得x=. 例如：解方程 - 8 = 0，移项得 = 8，解得x ==2 【知识点五、无理数】 1.概念：无限不循环小数，不能化成分数（a、b为整数，b≠0）。 2.常见类型：含π的数、开方开不尽的数、特殊构造的无限不循环小数（如0.1010010001…）。 【知识点六、实数概念及分类】 1.概念：有理数和无理数的统称，与数轴上的点一一对应。 2.分类：① 按定义：实数 ； ② 按符号：实数 【知识点七、实数的性质】 1.相反数：a的相反数为-a，互为相反数则a + b = 0； 2.绝对值：|a| =，具有非负性； 3.倒数：非0实数a的倒数为，互为倒数则a×b = 1； 4.大小比较：正数>0>负数，无理数可通过估算比较。 题型解析◆精准备考 题型1.平方根概念辨析 1．下列各数中，没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：根据平方根的性质可知：只有非负数才有平方根，负数没有平方根， ∴没有平方根． 2．如果的两个平方根是a、b，那么______． 【答案】 【分析】根据平方根的性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得与的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， 故答案为． 3．正数的平方根是和，求的值． 【答案】 【分析】由正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可． 【详解】解：正数的平方根是和， ， 解得， 则， ． 题型2.求一个数的平方根 1．的平方根为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】正数有两个互为相反数的平方根，根据定义即可计算得出结果 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 2．如果，，那么的平方根是________． 【答案】 【分析】当一个非负数的被开方数扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）时，它的算术平方根会相应地扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根是． 3．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 【答案】 【分析】由平方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的算术平方根是6， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型3.求代数式的平方根 1．若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 【答案】D 【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值． 【详解】∵一个正数x的平方根为和， ∴（）+（）=0， 解得：a=7. ∴=7，=-7， ∴x=(±7)  =49. 故选D. 【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值. 2．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 3．已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 题型4.已知一个数的平方根求这个数 1．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．49 B． C． D．4 【答案】A 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质列方程求出的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵该正数的两个平方根为和， ，解得． 将代入得其中一个平方根为， 这个正数为． 2．2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平方根定义，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是， ∴， 解得：． 3．已知和是实数m的两个不同的平方根，求x，m的值． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得， ． 题型5.利用平方根解方程 1．若二次根式，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用算术平方根解方程，根据的算术平方根是即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：A． 2．假设存在一个数i，且它具有的性质，若，则______． 【答案】 【分析】先对方程进行整理化简，得到，结合将方程变形后，利用开平方求解即可． 【详解】， 移项得 ， 系数化为得 ， ， ， 开方得 ， ． 3．求下列各式中x的值． ； 【答案】或 【分析】首先将原方程整理为，根据平方根的性质可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴或． 题型6.求一个数的算术平方根 1．若，则的值为（   ） A． B．1 C．32026 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．若，则的算术平方根为________． 【答案】4 【分析】根据算术平方根的被开方数和完全平方式的非负性，求出、的值，进而求出值，从而得到其算术平方根． 【详解】解：，， ，， 解得，， ， 的算术平方根为4． 3．已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)代数式的值为 【详解】（1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . 题型7.利用算术平方根的非负性解题 1．实数是连续整数，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】先确定的范围，再得到连续整数的值，最后计算即可． 【详解】解： 即 ，且为连续整数 ． 2．设为正整数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 3．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 题型8.估计算术平方根的取值范围 1．下列各式中，正确的是(   ) A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，表示的算术平方根，结果为非负数，，C错误． 选项D，，，D正确． 2．已知是9的算术平方根，则的值为____． 【答案】 3 【详解】解：∵ 9的算术平方根为3， ∴ 由题意得， 解得． 3．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)的值为 (2)的算术平方根为 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：，解方程即可求出的值； （2）根据的值求出的一个平方根的值，即可求出的值，把和的值代入求值，再求出它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 的值为； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 题型9.算术平方根的实际应用 1．如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得，，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4， ∴，， ∴ ． 2．将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 【答案】 /6厘米 【分析】根据题意可知，正方体铁块的体积等于水位上升部分的圆柱体体积，利用正方体体积公式和圆柱体体积公式列方程求解即可得到底面半径． 【详解】解：设圆柱体玻璃杯的底面半径为. 由正方体体积公式可得，正方体铁块的体积为： . 水位上升部分水的形状为圆柱体，由圆柱体体积公式可得，上升部分水的体积为： . 根据题意可得方程： 化简方程得： ∴ 因为圆的半径为正数，因此． 3．已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 【答案】(1)该运动员的跑步速度是米/秒 (2)该运动员跑步速度的近似值约为米/秒 【分析】（1）根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度； （2）根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，代入得： ， 即， 解得：，负值舍去， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． （2）解：∵， ∴（米/秒）， 即该运动员跑步速度的近似值约为米/秒． 题型10.立方根概念理解辨析 1．下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 2．若和都是的立方根，则 ___________， ___________． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了立方根的定义和解一元一次方程．先根据立方根的定义确定根指数，求出b的值，再利用两个立方根相等得到被开方数相等，求出a的值． 【详解】解：和都是的立方根， ，． 解得∶，． 故答案为∶6；1 3．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或 ； （2）解：， ， ． 题型11.求一个数的立方根 1．已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将的值逐个代入判断即可． 【详解】解：A．当时，，符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，不符合题意． 2．已知、都是实数，且满足，则的立方根是________． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义，被开方数为非负数，据此先求出的值，再代入求出的值，最后计算的立方根即可． 【详解】解：根据算术平方根的性质，被开方数大于等于， 可得 解得， 将代入 ， 得 ， 则， 因为，所以的立方根是． 3．求的值 (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：由已知， ∴， ∴， ∴或． （2）解：由已知，， ∴， ∴． 题型12.已知一个数的立方根求这个数 1．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 2．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 3．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，的立方根是2， ∴， ∴； （2）解：， ∴的平方根为． 题型13.立方根的实际应用 1．春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方体体积公式计算原体积，再求出体积增大后的新体积，最后根据正方体体积与棱长的关系计算新棱长即可． 【详解】解：∵原正方体的棱长为3， ∴原正方体的体积为， ∵新体积增大为原来的2倍， ∴新正方体的体积为， 设新正方体的棱长为，由正方体体积公式得， ∴． 2．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 3．把48个棱长为的正方体铸成一个长、宽、高的比为的长方体，求这个长方体的表面积． 【答案】． 【详解】解：依题意设长方体的长、宽、高分别为、、． 列方程： , 解得：， 所以长方体的长、宽、高分别为、、， 长方体的表面积：． 题型14.算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 2．若的算术平方根是5，则的立方根是__________． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 3．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】8 【分析】根据题意得出，确定，再由立方根得出，然后代入计算，求出算术平方根即可． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得，      的立方根为， ， 解得，      ． 的算术平方根为． 题型15.无理数辨别分类 1．在下列实数中，无理数是（    ） A．0.101001 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：首先明确，有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． ∵是有限小数，属于有理数，∴选项A错误． ∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴选项B正确． ∵是分数，属于有理数，∴选项C错误． ∵，是整数，属于有理数，∴选项D错误． 2．实数中是无理数的是______． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的每个实数逐一判断，即可得到结果． 【详解】解：是分数，分数属于有理数， 是有限小数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 开立方开不尽，是无限不循环小数，无理数． 3．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，0，，1.414，． (1)整数集合：{                 }； (2)分数集合：{                 }； (3)有理数集合：{               }； (4)无理数集合：{               }． 【答案】(1)，0 (2)，，1.414 (3)，，0，，1.414 (4)，，， 【详解】（1）解：， 整数集合：{，0} （2）解：分数集合：{，，1.414} （3）解：有理数集合：{，，0，，1.414 } （4）解：无理数集合：{，，，} 题型16.无理数的大小估算与整数部分计算 1．已知，若n为整数且，则n的值为（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】B 【详解】解：∵，，且， ∴， 即． ∵，且为整数， ∴． 2．实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算．先估算无理数的取值范围，由此得到的整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 小数部分 ， 将，代入得： 3．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）先根据已知条件和平方根与立方根的定义，列出关于和关于的方程，解方程求出，，再估算的大小，从而求出其整数部分c即可； （2）把（1）中所求，，的值代入进行计算，从而求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴，解得． ∵的立方根为， ∴，解得． ∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴． （2）解：∵，，， ∴． ∵2的平方根为， ∴的平方根为． 题型17.实数的分类 1．在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，逐个判断给定的数，即可得到无理数的个数． 【详解】解：∵ 3.1415926 是有限小数，是无限循环小数，是分数，0是整数，以上都是有理数； 是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，是开立方开不尽的数，这三个都是无理数． ∴ 无理数共有3个． 2．把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【答案】；；； 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，有理数也可分为正有理数，零和负有理数；无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解：． 负有理数：（） 正分数：（） 非负整数：（） 有理数：（） 3．把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 【答案】②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧ 【分析】本题考查实数的分类，解题的关键是根据分数、无理数、非负整数及负实数的意义依次对各个数进行判断即可．也考查了立方根及乘方． 【详解】解：①是无理数； ②是分数也是负实数； ③是整数，也是负实数； ④是分数； ⑤是无理数； ⑥是无理数； ⑦是整数而不是负数； ⑧是整数，也是负实数； ⑨（相邻的两个之间依次多一个）是无理数， ∴分数：②④； 无理数：①⑤⑥⑨； 是整数而不是负数：⑦； 负实数：②③⑧． 故答案为：②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧． 题型18.实数与数轴 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∵点表示的数为，点在点的右侧， ∴点所表示的数为． 2．如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 【答案】 【详解】解：∵点从原点滚动到点， ∴， ∴点对应的数为， ∴点对应的数的相反数是． 3．在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． 【答案】图见解析，． 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴比较大小即可． 【详解】解：， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得：． 题型19.实数的大小比较 1．在0，，，四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算四个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵ ，，，， 比较大小得 ， ∴ 绝对值最小的数是0， 故选：A． 2．比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个正实数的大小，可采用平方法，将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可求解. 【详解】解：，，且，， 又， . 3．解答下列各题 (1)计算： (2)比较数的大小：与 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先分别化简每一项，再进行加减运算即可． （2）对于两个正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，平方更大的原数更大． 【详解】（1）解：原式 （2）解：和都是正数， 分别计算平方得，， ， ． 题型20.实数的混合运算 1．下列各式中，正确的是（  ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据立方根和算术平方根的性质逐一计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：A、，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，等式成立，D正确． 2．计算：_______________． 【答案】 【详解】解： 3．计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型21.新定义下的实数运算 1．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 2．规定新运算：，其中a，b为实数，则________． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∴． 3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)6 (2)或或（答案不唯一，符合题意即可） (3) (4)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （4）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 题型22.实数运算的实际应用 1．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 2．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 3．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 题型23.与实数运算相关的规律题 1．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给式子总结变化规律可得，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ∴， ∴． 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 【答案】 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，每个数的被开方数与项数相等． 【详解】解：由已知条件可得，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，分组规律为：每组第一个为负平方根，第二个为正平方根，第三个为正立方根，且每个数的被开方数等于该项的项数． ， 第个数是第组的第个数，为负平方根，被开方数为，即． 3．观察：．．．通过观察，当时，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，根据题意可得（n为正整数）；由非负性的性质可求出，则原式变形为，再裂项求解即可． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推，可知（n为正整数）； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $