第4章 第7节 余弦定理和正弦定理(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦余弦定理和正弦定理核心考点，按定理梳理、解的判断、面积公式及常用结论构建知识体系，通过自测诊断、考点分层讲解（解三角形、形状判断、面积问题）、方法指导与真题训练，帮助学生系统突破三角形度量问题，体现复习的逻辑性和针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如在解三角形时引导学生根据边角关系选择定理，判断形状时通过“角化边”“边化角”发展推理能力，融入2023-2025年高考真题及分层练习。设置师生共研、自主练透等环节，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习进度和提升学生应考能力提供有力支持。

第七节　余弦定理和正弦定理 【课程标准】　1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理．　2.能用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径. 2.三角形解的判断 ∠A为锐角 ∠A为钝 角或直角 图形 关系 式 a=bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 [常用结论] (1)三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (2)三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C. (2)cos(A+B)=－cos C. (3)sin=cos. (4)cos=sin. (3)三角形中的射影定理 在△ABC中，a=bcos C+ccos B； b=acos C+ccos A； c=bcos A+acos B. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B．在△ABC中，若sin A>sin B，则∠A>∠B C．在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素 D．当b2+c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2+c2－a2=0时，△ABC为直角三角形；当b2+c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形 答案：ACD 2.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A=，∠B=，a=1，则b=(　　) A．2 B．1 C． D． 答案：D 解析：由=，得b===×2=.故选D． 3.(用结论)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 acos B－bcos A=c，且∠C=，则∠B=(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A=sin C，即sin Acos B－sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A，整理可得sin Bcos A=0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，据此可得cos A=0，∠A=，则∠B=π－∠A－∠C=π－=.故选C． 4.在△ABC中，已知∠B=45°，b=2，c=，则∠C=　　　　.  答案：30° 解析：由正弦定理得sin C===，因为b>c，B=45°，所以∠C=30°. 5. (双空题)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，b=5，c=6，则cos A=　　　　，△ABC的面积为　　　　.  答案：　 解析：依题意得cos A==，所以sin A==，所以△ABC的面积为bcsin A=. 学生用书⬇第114页 考点一　利用正、余弦定理解三角形(高考超重点)自主练透 1.(2021·全国甲卷文)在△ABC中，已知∠B=120°，AC=，AB=2，则BC=(　　) A．1 B． C． D．3 答案：D 解析：由余弦定理AC2=AB2+BC2－2AB·BCcos B，得BC2+2BC－15=0，解得BC=3或BC=－5(舍去).故选D． 2．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 答案：A 解析：cos A＝＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝45°.故选A. 3.(2024·全国甲卷理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠B=，b2=ac，则sin A+sin C=(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为∠B=，b2=ac，则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=.由余弦定理可得b2=a2+c2－ac=ac，即a2+c2=ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C=sin Asin C=，所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=，因为∠A，∠C为三角形内角，则sin A+sin C>0，则sin A+sin C=.故选C． 4.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A=2. (1) (一题多解)求∠A； (2)若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长. 解：(1)法一：(辅助角公式) 由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1，即sin=1， 由于∠A∈(0，π)⇒∠A+∈，故∠A+=，解得∠A=. 法二：(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2，又sin2A+cos2A=1，消去sin A得到， 4cos2A－4cos A+3=0⇔=0，解得cos A=， 又∠A∈(0，π)，故∠A=. (2)由题意得bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B， 又∠B，∠C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B=，得到∠B=， 于是∠C=π－∠A－∠B=， sin C=sin(π－A－B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=， 由正弦定理可得==，即==， 解得b=2，c=+， 故△ABC的周长为2++3. 应用正弦、余弦定理解题的技巧 1.求边：利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2－2bccos A等求解. 2.求角：利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理变形公式cos A=等求解. 3.利用式子的特点转化：如出现a2+b2－c2=λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 考点二　判断三角形的形状师生共研 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C+ccos B=asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，若c－acos B=(2a－b)cos A，则△ABC的形状为　　　　　　.  答案：(1)A　(2)直角三角形或等腰三角形 解析：(1)因为bcos C+ccos B=asin A，所以sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A，即sin(B+C)=sin2A，所以sin A=sin2A，又0<∠A<π，故sin A=1，即∠A=，因此△ABC是直角三角形.故选A． (2)由正弦定理得sin C－sin Acos B=2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin(A+B)－sin Acos B=2sin Acos A－sin Bcos A，故cos A(sin B－sin A)=0，所以cos A=0或sin A=sin B，即∠A=或∠A=∠B，故△ABC为直角三角形或等腰三角形. [变式探究] 1.(变条件)若将本例(1)中的条件改为“2sin Acos B=sin C”，试判断△ABC的形状. 解：法一：由已知得2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，即sin(A－B)=0， 因为－π<∠A－∠B<π，所以∠A=∠B， 故△ABC为等腰三角形. 法二：由正弦定理得2acos B=c，再由余弦定理得2a·=c⇒a2=b2⇒a=b， 故△ABC为等腰三角形. 2.(变条件)若将本例(1)中的条件改为“=”，试判断△ABC的形状. 解：法一：由余弦定理得，==，化简得(a2－b2)(c2－a2－b2)=0，所以a=b或c2=a2+b2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. 法二：由=可知cos A>0，cos B>0，即∠A∈，∠B∈， 结合题意及正弦定理可得=，即sin Acos A=sin Bcos B，所以sin 2A=sin 2B，则2∠A=2∠B或2∠A+2∠B=π，即∠A=∠B或∠A+∠B=. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. 判断三角形形状的两种常用途径 学生用书⬇第115页 注意：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系. 对点练1.在△ABC中，已知a2+b2－c2=ab，且2cos Asin B=sin C，则该三角形的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 答案：C 解析：因为a2+b2－c2=ab，所以由余弦定理得cos C==，又∠C∈，所以∠C=，由2cos Asin B=sin C及正弦定理得，cos A== =，所以b2=a2，即b=a，又∠C=，故该三角形为等边三角形.故选C． 对点练2.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=a+1，c=a+2. (1)若2sin C=3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由. 解：(1)由2sin C=3sin A及正弦定理，得2c=3a. 又c=a+2，所以a=4，c=6， 所以b=a+1=5. 由余弦定理，得cos A===. 又∠A∈(0，π)，所以sin A=， 所以S△ABC=bcsin A=×5×6×=. (2)存在. 由题意知c>b>a，要使△ABC为钝角三角形，需cos C===<0， 得0<a<3. 因为a为正整数，所以a=1或a=2. 当a=1时，b=2，c=3，此时不能构成三角形； 当a=2时，b=3，c=4，满足题意. 综上，存在正整数a=2，使得△ABC为钝角三角形. 考点三　与三角形面积有关的问题(高考超重点)师生共研 [答题规范]　(13分)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2－c2=ab. (1)求∠B； (2)若△ABC的面积为3+，求c. [思路分析] 学生用书⬇第116页 三角形面积问题的常见类型 1.求三角形面积：一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积. 2.已知三角形面积解三角形：常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系. 3.已知与三角形面积有关的关系式：常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. 对点练3.(2024·河南开封第二次质量检测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos A=asin B. (1)求sin A； (2)若a=，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC的面积. 条件①：b=c；条件②：b=；条件③：sin C=. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 解：(1)由bcos A=asin B， 得sin Bcos A=sin Asin B，而sin B≠0， 则cos A=sin A>0，∠A为锐角，又sin2A+cos2A=1，解得sin A=， 所以sin A=且∠A为锐角. (2)若选条件①，由sin A=，∠A为锐角，得cos A=， 由余弦定理得a2=b2+c2－2bccos A，又b=c，则3=6c2+c2－4c2， 解得c=1，b=，△ABC唯一确定，所以S△ABC=bcsin A=. 若选条件②，由正弦定理得=，则sin B==<1， 由b=>a=，得∠B>∠A，因此角B有两解，分别对应两个三角形，不符合题意. 若选条件③，由sin A=，∠A为锐角，得cos A=， 又sin A=>sin C=，得a>c，∠A>∠C， 则cos C=， 因此sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=，△ABC唯一确定， 由正弦定理得=，则c==1， 所以S△ABC=acsin B=. [真题再现]　1.(多选)(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为，若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos Acos B sin C＝，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C．sinA＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3 答案：ABC 解析：对于A，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2，所以sin2A＋sin2B＝sin C，故A正确；对于B，令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A＋sin2B＝sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.因为cos Acos Bsin C＝>0，sin C>0，所以cos A>0，cos B>0，若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即A>－B，则sin A>sin (－B)＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B>cos2B＋sin2B＝1，矛盾．故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝，所以cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝0，又cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝，所以sin Asin B＝.因为S△ABC＝absin C＝ab＝，所以ab＝，所以＝(2R)2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝，故B正确；对于C，(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝sin C＋2sin Asin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝，故C正确；对于D，AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误．故选ABC. 2.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2+S3=，sin B=. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C=，求b. 解：(1)由S1－S2+S3=，得(a2－b2+c2)=，即a2－b2+c2=2， 又a2－b2+c2=2accos B ，所以accos B=1. 由sin B=，得cos B=或cos B=－(舍去)， 所以ac==，则△ABC的面积S=acsin B=××=. (2)由sin Asin C=，ac=及正弦定理知===，即b2=×=，得b=. [教材呈现]　(湘教版必修二P97T19)在锐角△ABC中，已知m=(2sin(A+C)，)，n=，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)若AC=1，求△ABC面积的最大值. 点评：高考题和教材习题的考查角度、考查方式一样，都是给出含有三角形的边、角关系的式子，结合三角知识求解，事实上这类问题是高考试题中解三角形问题的典型的题型. 课时测评36　余弦定理和正弦定理 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－9，每小题5分，共45分) 1.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C，则cos A=(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C，所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc，则cos A==－.故选B． 2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B=bcos A，且b=2，c=2，则a的值为(　　) A．2 B．2 C．2－2 D．1 答案：B 解析：由已知及正弦定理得，sin Asin B=sin Bcos A且sin B≠0，可得tan A=，又0<∠A<π，所以∠A=，又b=2，c=2，所以由余弦定理a2=b2+c2－2bccos A=16－12=4，解得a=2.故选B． 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2acos B，则△ABC的形状一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰三角形 答案：D 解析：由余弦定理可得cos B=，故c=2acos B=2a×=，即c2=a2+c2－b2，故a2=b2，则a=b，所以△ABC为等腰三角形.故选D． 4.(2026·陕西咸阳模拟)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin C=，c=4，B=，则△ABC的面积为(　　) A．1 B．2 C．1或7 D．2或14 答案：C 解析：由=可得b=，因为sin C=，所以cos C=－或cos C=，所以sin A=sin(B+C)=sincos C+cossin C，故sin A=或sin A=，所以S△ABC=bcsin A=××4×=1或S△ABC=bcsin A=××4×=7.故选C． 5.(多选)(2026·辽宁大连模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若=，则∠A= B．若sin 2A=sin 2B，则此三角形为等腰三角形 C．若a=1，b=2，∠A=30°，则此三角形必有两解 D．若△ABC是锐角三角形，则sin A+sin B>cos A+cos B 答案：AD 解析：由正弦定理可知=，又=，所以=，可得tan A=1，因为∠A∈(0，π)，所以∠A=，故A正确；因为2∠A∈(0，2π)，2∠B∈(0，2π)，且2∠A，2∠B最多有一个大于π，所以由sin 2A=sin 2B可知，2∠A=2∠B或2∠A+2∠B=π，即∠A=∠B或∠A+∠B=，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得sin B===1，因为∠B∈(0，π)，所以∠B=，故此三角形有唯一解，故C错误；因为△ABC是锐角三角形，所以∠A+∠B>，即>∠A>－∠B>0，又y=sin x在上单调递增，所以sin A>sin=cos B，同理sin B>sin=cos A，所以sin A+sin B>cos A+cos B，故D正确.故选AD． 6.(多选)(2026·四川资阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=tan A+tan B，下列结论中正确的是(　　) A．∠A= B．∠A= C．当a=4时，△ABC面积的最大值为2 D．当b－c=时，△ABC为直角三角形 答案：BD 解析：由=tan A+tan B及正弦定理得=tan A+tan B，即= tan A+tan B⇒=tan A+tan B，即=tan A+tan B，因为在三角形中tan A+tan B≠0，所以tan A=，又A∈(0，π)，所以∠A=，故A错误，B正确；若a=4，由b2+c2－a2=bc得16=b2+c2－bc≥2bc－bc=bc，即bc≤16，当且仅当b=c=4时，等号成立，所以S△ABC=bcsin A≤×16 ×= 4，即△ABC面积的最大值为4，故C错误；由b－c=得b=c+，将其代入b2+c2－a2=bc中得3c2+ac－2a2=0，所以(c－a)=0，因为a>0，c>0，所以c－a=0⇒a=c，即b=2c，所以满足b2=a2+c2，故△ABC为直角三角形，故D正确.故选BD． 7.(2026·江西赣州模拟)在△ABC中，AB=，AC=2，∠C=120°，则sin A=　 .  答案： 解析：因为AB=，AC=2，C=120°，所以由余弦定理AB2=BC2+AC2－2BC·ACcos C可得BC2+2BC－3=0，所以解得BC=1，或－3(舍去)，所以由正弦定理可得sin A==. 8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C+csin B=4asin Bsin C，b2+c2－a2=8，则△ABC的面积为　　　　.  答案： 解析：因为bsin C+csin B=4asin Bsin C，sin Bsin C>0，结合正弦定理可得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C，所以sin A=，因为b2+c2－a2=8，结合余弦定理a2=b2+c2－2bccos A，可得2bccos A=8，所以∠A为锐角，且cos A=，从而求得bc=，所以△ABC的面积为S=bcsin A=××=. 9.(2026·广西梧州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)cos C=c(cos A+cos B)，a=4，b=6，则c=　　　　.  答案：2 解析：由正弦定理得(sin A+sin B)cos C=sin C(cos A+cos B)，所以sin Acos C+sin Bcos C=sin Ccos A+sin Ccos B，所以sin Acos C－sin Ccos A=sin Ccos B－sin Bcos C，即sin(A－C)=sin(C－B).又∠A，∠B，∠C是三角形的内角，∠A－∠C+∠C－∠B=∠A－∠B∈(－π，π)，所以∠A－∠C=∠C－∠B，所以∠A+∠B=2∠C，所以∠C=，由余弦定理得c2=a2+b2－2abcos C=42+62－2×4×6×=28，所以c=2. 10.(10分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1. (1)求sin∠ABC；(4分) (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC 的面积.(6分) 解：(1)由余弦定理可得BC2=AB2+AC2－2AB·AC·cos∠BAC =4+1－2×2×1×cos 120°=7， 则BC=，cos∠ABC===， sin∠ABC= = =. (2)由三角形面积公式可得==4， 则S△ADC=S△ABC=×= . 11.(15分)(2026·重庆模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(A－B)tan C=sin Asin B. (1)求；(6分) (2)若cos B=，求sin A.(9分) 解：(1)因为sin(A－B)tan C=sin Asin B， 所以sin=sin Asin B， 所以sin(A－B)sin C=sin Asin Bcos C， 即sin Acos Bsin C－cos Asin Bsin C=sin Asin Bcos C， 由正弦定理可得accos B－bccos A=abcos C， 由余弦定理可得ac·－bc·=ab·， 所以a2+c2－b2－b2－c2+a2=a2+b2－c2，即a2+c2=3b2，所以=3. (2)由题意可知cos B==，又a2+c2=3b2，可得a2+c2－2ac=0， 即(a－c)2=0， 所以a=c，即△ABC为等腰三角形， 由cos B=2cos2－1=， 解得cos=或cos=－， 因为∠B∈，所以∈， 所以cos=， 所以sin A=sin=cos=. 12.(20分)(2026·福建福州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3·+4·=·. (1)求；(7分) (2)已知∠B=3∠C，c=1，求△ABC的面积.(13分) 解：(1)已知3bccos A+4accos B=abcos C， 代入余弦定理，3(b2+c2－a2)+4(a2+c2－b2)=a2+b2－c2，化简得4c2=b2，所以=2. (2)由正弦定理知=，即sin B=2sin C， 又∠B=3∠C，故sin B=sin 3C=sin(2C+C)=sin 2C·cos C+cos 2C·sin C=2sin C·(1－sin2C)+(1－2sin2C)sin C=3sin C－4sin3C=2sin C， 即3－4sin2C=2，得sin C=，故∠C=，此时∠B=3∠C=，b=2c=2AB=2，BC=，则△ABC的面积S△ABC=×1×=. (每小题5分，共10分) 13.在△ABC中，已知∠ABC=2∠BAC，3BC=2AB，BD⊥AC，D为垂足，CD=2，则BD=(　　) A．3 B．6 C．2 D．4 答案：B 解析：设∠BAC=α，可得∠ABC=2α，∠ACB=π－3α，由正弦定理得=，即=，因为3BC=2AB，所以2sin 3α=3sin α，又因为sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcos α+cos 2αsin α=2sin αcos αcos α+(1－2sin2α)sin α=3sin α－4sin3α，所以2(3sin α－4sin3α)=3sin α，整理得3sin α－8sin3α=0，因为0<α<，所以0<sin α<1，所以3－8sin2α=0，即sin2α=，解得sin α=，则sin 3α=sin α=，即sin∠ACB=，因为∠ACB为锐角，cos∠ACB ==，所以tan∠ACB==，在直角△BDC中， tan∠ACB =，所以BD=CD·tan∠ACB=2×=6.故选B． 14.(多选)(2026·江西鹰潭一模)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，·=2S，下列选项正确的是 (　　 ) A．∠A= B．若b=2，则△ABC只有一解 C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2，4] D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+ 答案：ABD 解析：对于A，因为·=2S，所以bccos A=2×bcsin A，则tan A=，因为∠A∈(0，π)，所以∠A=，故A正确；对于B，因为b=2=a，则∠B=∠A=，∠C=，故△ABC只有一解，故B正确；对于C，若△ABC为锐角三角形，则∠B∈，∠C∈，则则<∠B<，即sin B∈，由正弦定理可知b==4sin B∈(2，4)，故C错误；对于D，若D为BC边上的中点，则=(+)，所以=(+2·+)=(b2+c2+bc)，由余弦定理知a2=b2+c2－2bccos A=b2+c2－bc=4，得b2+c2=bc+4，又b2+c2=bc+4≥2bc，所以bc≤=4+8，当且仅当b=c=+时取得等号，所以=(b2+c2+bc)=(4+2bc)≤[4+2×(4+8)]=7+4，即|AD|≤ =2+，故D正确. 故选ABD． 学生用书⬇第117页 学科网（北京）股份有限公司 $