第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学高考复习讲义围绕函数奇偶性、周期性核心考点，按定义、几何意义、判断方法、应用（求参数、求值、解不等式）及周期性判定的逻辑层次展开，通过考点梳理（表格呈现定义、常用结论）、方法指导（三种判断方法）、真题训练（自测诊断、典例精讲）等环节，帮助学生构建知识体系，突破难点。 讲义突出新课标核心素养培养，如通过定义法推导奇偶性判定培养数学思维，利用周期性结论转化区间问题发展数学眼光，设置分层练习（基础自测、能力提升）和真题对接（2023-2026年高考题），确保复习高效，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第三节　函数的奇偶性、周期性 【课程标准】　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.　2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.　3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 对一切使F(x)有定义的x，F(-x)也有定义，并且 F(-x)=F(x) 关于y轴对称 奇函数 F(-x)=-F(x) 关于原点对称 [微提醒]　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期. [常用结论] (1)函数奇偶性常用结论 ①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|). ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. (2)函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0). ②若f(x+a)=，则T=2a(a>0). ③若f(x+a)=-，则T=2a(a>0). 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0 B．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C．对于函数y=f(x)，若存在x，使f(-x)=-f(x)，则函数y=f(x)一定是奇函数 D．若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N+)也是函数的一个周期 答案：ABC 2.(用结论)若偶函数f(x)在区间[-2，-1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) 学生用书⬇第24页 A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 答案：A 解析：偶函数f(x)在区间[-2，-1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).对照选项，A正确. 3.(多选)下列函数中为偶函数的是(　　) A．f(x)=x+ B．f(x)= C．y=|ln x| D．y=2|x| 答案：BD 解析：A选项，f(x)为奇函数，C选项，f(x)的定义域为{x|x>0}，不关于原点对称，为非奇非偶函数.故选BD． 4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是(　　) A．-　 B． C．　 D．- 答案：B 解析：因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，所以a-1+2a=0，所以a=.又f(-x)=f(x)，所以b=0，所以a+b=.故选B． 5．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 025)＋f(2 026)＋f(2 027)＝________． 答案：0 解析：由题意知f(0)＝0，f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2 025)＝f(675×3)＝f(0)＝0，f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝－1，f(2 027)＝f(676×3－1)＝f(－1)＝1，所以f(2 025)＋f(2 026)＋f(2 027)＝0＋(－1)＋1＝0. 考点一　函数奇偶性的判断自主练透 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)= B．f(x)= C．f(x)= D．f(x)= 答案：B 解析：对于A，f=，函数定义域为R，但f=，f=，则f≠f，故A错误；对于B，f=，函数定义域为R，且f===f，则f为偶函数，故B正确；对于C，f=，函数定义域为，不关于原点对称，则f不是偶函数，故C错误；对于D，f=，函数定义域为R，因为f=，f=，则f≠f，则f不是偶函数，故D错误.故选B． 2.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)=tan x B．f(x)=x2+x C．f(x)= D．f(x)=ln |1+x| 答案：AC 解析：对于A，函数的定义域为，关于原点对称，f(-x)=tan(-x)=-tan x=-f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，f(-x)=x2-x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)==-f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选AC． 3.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x3-； (2)f(x)=； (3)f(x)=+； (4) (一题多解)f(x)= 解：(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(-x)=(-x)3-=-=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数. (2)由得-2<x<2，即函数f(x)的定义域是{x|-2<x<2}，关于原点对称. 因此f(x)==lg， 所以f(-x)=f(x)， 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0，f(-1)=-f(1)=0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)法一：(定义法)当x>0时，-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x)；当x<0时，-x>0，f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x)，所以f(x)为奇函数. 法二：(图象法)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 判断函数奇偶性的三种常用方法 1.定义法 2.图象法 3.性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. 考点二　函数奇偶性的应用多维探究 角度1　已知函数的奇偶性求参数(高考超重点) (1) (一题多解)(2026·浙江金丽衢十二校第二次联考)若函数f=ln+ax为偶函数，则实数a的值为(　　) A．- B．0 C． D．1 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a) ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 答案：(1)A　(2) B 解析：(1)法一(赋值)：因为函数f=ln(ex+1)+ax为偶函数，所以f=f(1)，所以ln(e-1+1)+(-1)a=ln+a，所以2a=ln(e-1+1)-ln(e1+1)，解得a=-.故选A． 法二(通法)：f=ln+ax的定义域为R，f=ln-ax=ln-ax=ln(ex+1)-x-ax，由于f=ln+ax为偶函数，故f=f，即ln-x=ln+ax⇒x=0，故1+2a=0，解得a=-.故选A． 法三(利用已知函数奇偶性的结论)：由f=ln(ex+1)+ax得，f=ln+ln eax=ln[eax]=ln，已知函数y=ex+e-x是偶函数，所以(a+1)+a=0，解得a=-.故选A． (2)法一：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝x ln ，由() () >0，解得x>或x<－，则其定义域为，或，关于原点对称．f(-x)＝(-x)ln ＝(-x)ln ＝(-x)ln -1＝x ln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 法二：因为y＝ln 是奇函数，又f(x)为偶函数，所以函数y＝x＋a是奇函数，所以a＝0.故选B. 学生用书⬇第25页 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+ax+a+1，则f(-2)等于(　　) A．-2 B．2 C．-6 D．6 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=e-x+2x-1，则当x≥0时，f(x)=　　　　　　.  答案：(1)A　(2)-ex+2x+1 解析：(1)因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)=a+1=0，解得a=-1，当x≥0时，f(x)=x2-x，则f(-2)=-f(2)=-2.故选A． (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x=0时，f(0)=0.当x>0时，-x<0，f(x)=-f(-x)=-(ex-2x-1)=-ex+2x+1，又f(0)=-e0+2×0+1=0，则当x≥0时，f(x)=-ex+2x+1. 角度3　利用奇偶性解不等式 (1)函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)=1，则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是(　　) A．[-2，2] B．[-1，3] C．[0，2] D．[1，3] (2)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则满足xf(x-2)<0的x的取值范围为 (　　 ) A．(-∞，-1)∪(2，5) B．(-∞，-1)∪(0，5) C．(-1，0)∪(2，5) D．(-1，0)∪(5，+∞) 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为f(x)是奇函数，故f(-2)=-f(2)=-1.又f(x)是增函数，-1≤f(x-1)≤1，所以f(-2)≤f(x-1)≤f(2)，则-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，所以x的取值范围是[-1，3].故选B． (2)因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，所以f(x)在(-∞，0)上也单调递增，且f(-3)=0，f(0)=0，所以当x∈(-∞，-3)∪(0，3)时，f(x)<0，当x∈(-3，0)∪(3，+∞)时，f(x)>0，所以由xf(x-2)<0，可得或解得-1<x<0或2<x<5，即x∈(-1，0)∪(2，5).故选C． 函数奇偶性的应用类型及解题策略 对点练1. (1) (2026·河南开封第二次质量检测)若函数f(x)=是奇函数，则实数a=(　　) A．0 B．-1 C．1 D．±1 (2)(2026·山东青岛模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x-2，则不等式f(x)≤2的解集是　　　　.  答案：(1) C　(2)[-2，2] 解析：(1) 当x>0时，-x<0，则f=a2-1=-x-a=-f，则解得a=1，此时f=当x<0时，-x>0，所以f=-x+1=-=-f，符合题意.所以a=1.故选C． (2)因为当x≥0时，f(x)=2x-2，所以偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=2，所以f(x)≤2，即f(|x|)≤f(2)，所以|x|≤2，解得-2≤x≤2. 考点三　函数的周期性师生共研 (1)函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13，且f(3)=2，则f(2 025)=　　　　.  (2)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(0)，则f(2 026)＝________． (3)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为　　　　　　　　　.  答案：(1)　(2)0　(3)f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4] 解析：(1)因为f(x)f(x+2)=13，所以f(x+2)=，所以f(x+4)===f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)==. (2)因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(0)，代入x－2，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(0).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期．因此f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，则f(2)＋f(0)＝f(0)，所以f(2)＝0，即f(2 026)＝0. (3)根据题意，设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，则有4-x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x)，又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x)，x∈[2，4]，则有f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4]. 函数周期性的判定及应用 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 对点练2．(1)(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2 027)＝0 B．f(x)的值域为[－1，2] C．f(x)在[4，6]上单调递减 D．f(x)在[－6，6]上有8个零点 答案：(1)A　(2)AB 解析：(1)当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f(－)＝1－＝－.故选A. (2)f(2 027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，故A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，故B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，故C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，故D错误．故选AB. 学生用书⬇第26页 [真题再现]　(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a= (　　 ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 (2)(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　　　.  答案：(1)D　(2)2 解析：(1)因为f(x)=为偶函数，则f(x)-f(-x)=-==0，又因为x不恒为 0，可得ex-e(a-1)x=0，即ex=e(a-1)x，则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2.故选D． (2)因为f(x)=(x-1)2+ax+sin=(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x，且函数为偶函数，所以a-2=0，解得a=2.经验证，当a=2时满足题意. [教材呈现]　1.(湘教版必修一P90T9)已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3，求a，b，c的值. 2.(湘教版必修一P90T10)已知函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，求a的值. 点评：高考题与教材习题考查角度完全相同，都是已知函数的奇偶性求参数值，此类问题的解法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法. 学科网（北京）股份有限公司 $