第1章 第5节 一元二次函数、方程和不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦一元二次函数、方程和不等式高考核心考点，按概念定义、三个“二次”关系、不等式解法（含参数与不含参数）、恒成立问题的逻辑层次组织，通过考点梳理（如关系表）、方法指导（分类讨论策略）、真题训练（2023新课标Ⅰ卷实例）等环节，帮助学生构建知识体系，突破解题难点。 讲义突出数学思维培养，如通过三个“二次”关系图表分析逻辑联系，在含参数不等式解法中引导分类讨论，发展推理能力。设置自测诊断、对点练、真题再现分层练习，配合即时反馈，确保学生高效掌握考点，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第五节　一元二次函数、方程和不等式 【课程标准】　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1=x2=- 没有 实根 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} 且 R 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [微提醒]　对于不等式ax2+bx+c>0，求解时不要忘记a=0时的情形. [常用结论] (1)分式不等式的解法 ①>0(<0)⇔f(x)·g>0(<0). ②≥0⇔ (2)绝对值不等式的解法 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞，-a)∪(a，+∞)；|x|<a(a>0)的解集为(-a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. (3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是 (　　) A．若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R C．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0 D．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集 答案：AD 2.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A．{x|x<-n或x>m} B．{x|-n<x<m} C．{x|x<-m或x>n} D．{x|-m<x<n} 答案：B 解析：(m-x)(n+x)>0⇒(x-m)(x+n)<0，又因为m+n>0，所以m>-n，所以不等式的解集为{x|-n<x<m}.故选B． 3.不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　　　　　.  答案：(-∞，-1]∪ 解析：由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0，即(2x-3)(x+1)≥0，得x≤-1或x≥，故不等式的解集为(-∞，-1]∪. 4.(易错题)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为　　　　　.  答案：(-3，0] 解析：当k=0时，满足题意；当k≠0时，解得-3<k<0，所以-3<k≤0，即实数k的取值范围为(-3，0]. 5.若不等式ax2+ax+a+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案：{a|a≥0} 解析：当a=0时，不等式为3>0，满足题意；当a≠0时，需满足解得a>0，综上可得，实数a的取值范围为{a|a≥0}. 学生用书⬇第15页 考点一　一元二次不等式的解法(高考超重点)多维探究 角度1　不含参数的一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)-3x2-2x+8≥0； (2)0<x2-x-2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0， 即(3x-4)(x+2)≤0，解得-2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. 解一元二次不等式的4个步骤 角度2　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解：原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0. 因为a>0，所以a(x-1)<0， 所以当a>1时，解得<x<1； 当a=1时，不等式无解； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时， 不等式的解集为； 当a=1时，不等式的解集为⌀； 当a>1时，不等式的解集为. 对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论： 1.根据二次项系数为正、负及零进行分类. 2.根据判别式Δ与0的关系进行分类. 3.当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 对点练1.解下列关于x的不等式： (1)x-3>-2； (2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0)； (3)>1. 解：(1)由不等式x-3>-2，可得>2或<1.由>2，得x>4；由<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集为{x|x>4或0≤x<1}. (2)原不等式转化为(x-a)(x-a2)<0.当a2>a，即a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}；当a2<a，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a2=a，即a=1时，不等式的解集为⌀. (3)>1⇒-1>0⇒>0⇒<0⇒-1<x<0，故不等式的解集为(-1，0). 考点二　三个“二次”的关系师生共研 (多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1，2)，则 (　　) A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．b<0且c>0 C．a+b+c>0 D．不等式ax2-cx+b<0的解集是R 答案：AB 解析：由题意知a<0，故A正确；由题意可得-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以所以得b<0，c>0，故B正确；因为－1是方程ax2－bx＋c＝0的根，所以把x＝－1代入方程得a＋b＋c＝0，故C不正确；把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b<0，可得ax2＋2ax＋a<0，因为a<0，所以x2＋2x＋1>0，即(x＋1)2>0，此时不等式的解集为{x|x≠－1}，故D不正确．故选AB. 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 学生用书⬇第16页 对点练2.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是，则不等式ax2-bx+c>0的解集为　　　　.  答案： 解析：由条件知-2，-是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，所以-2-=-×=，所以b=a，c=a.从而不等式ax2-bx+c>0，即为a>0.因为a<0，所以原不等式等价于2x2-5x+2<0，即(x-2)(2x-1)<0，解得<x<2.所以不等式的解集为. 考点三　一元二次不等式恒成立问题多维探究 角度1　在R上的恒成立问题 已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是 (　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(-∞，0)∪(1，+∞) D．(-∞，0]∪[1，+∞) 答案：A 解析：当k=0时，8>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上实数k的取值范围是[0，1].故选A． 角度2　在给定区间上的恒成立问题 (一题多解)已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5-m恒成立，则实数m的取值范围为　　　　.  答案： 解析：要使f(x)<5-m在x∈[1，3]上恒成立，即m+m-6<0在x∈[1，3]上恒成立. 法一：令g=m+m-6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g=g(3)，即7m-6<0，所以m<，所以0<m<；当m=0时，-6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g=g(1)，即m-6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，实数m的取值范围是. 法二：因为x2-x+1=+>0，m(x2-x+1)-6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立.令y=，因为函数y==在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可.所以实数m的取值范围是. 角度3　在给定参数范围内的恒成立问题 若不等式x2+px>4x+p-3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是 (　　) A．[-1，3] B．(-∞，-1] C．[3，+∞) D．(-∞，-1)∪(3，+∞) 答案：D 解析：不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0，由已知可得[p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4)， 可得解得x<-1或x>3.故选D． 恒成立问题求参数范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论. 对点练3.(1)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|a<-2或a≥2} B．{a|-2<a<2} C．{a|-2<a≤2} D．{a|a<2} (2)已知函数f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀，所以不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R.当a-2=0，即a=2时，-4<0，符合题意；当a-2≠0，即a≠2时，需满足解得-2<a<2.综上实数a的取值范围是{a|-2<a≤2}.故选C． (2)由题意得x2-4x-4<1，解得-1<x<5，即x∈(-1，5).因为f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，所以(m-1，-2m)⊆(-1，5)，所以解得0≤m<，即m∈. [真题再现]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N=，则M∩N= (　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：法一：因为N==∪，而M=，所以M∩N=.故选C． 法二：因为M=，将-2，-1，0，1，2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以M∩N=.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修一P61T5)已知U=R，A={x|x2-16<0}，B={x|-x2+3x+18>0}，求A∩B，A∪B. 点评：两题均考查了一元二次不等式的解法和集合交并运算，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系或因式分解法转化集合，再求集合交并运算进行问题解决. 学科网（北京）股份有限公司 $