第1章 第3节 等式性质与不等式性质(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦等式性质与不等式性质核心考点，涵盖实数比较大小基本事实、不等式对称性等六大性质及推论，按“概念梳理-方法提炼-应用突破”逻辑构建知识体系。通过自测诊断、考点分层讲解（数式比较、性质辨析、范围求解）、方法总结（作差作商、构造函数）等环节，帮助学生系统掌握重点难点。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“一题多变”教学策略，如通过改变条件将x,y范围问题转化为线性组合求解，引导学生运用推理意识构建变量关系。设置基础自测、考点例题、变式探究分层练习，配合方法归纳（如真分数假分数规律），助力学生高效突破比较大小、性质应用等高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第三节　等式性质与不等式性质 【课程标准】　1. 梳理等式性质，理解不等式的概念．　2.会比较两个数的大小．　3.掌握不等式的性质，并能简单应用． 1.两个实数比较大小的方法(基本事实) 2.不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇒a+c>b+c， 推论1　a+b>c⇔a>c-b 推论2　a>b，c>d⇒a+c>b+d. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒ac<bc， 推论3　a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. 推论4　a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). (5)可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). (6)可倒数：a>b，且ab>0⇒<，a>b，且ab<0⇒>. [微提醒]　(1)同向不等式可以相加，不能相减.(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变. [常用结论] 若b>a>0，m>0，则 (1)<<(a-m>0)(真分数越加越大，越减越小)； (2)<<(a-m>0)(假分数越加越小，越减越大). 【自测诊断】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种 B．若>1，则a>b C．同向不等式具有可加性和可乘性 D．两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 答案：AD 2.若M=(x-3)2，N=(x-2)(x-4)，则有(　　) A．M >N B．M ≥N C．M<N D．M≤N 答案：A 解析：因为M-N=(x-3)2-(x-2)(x-4)=1>0，所以M >N.故选A． 3.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是(　　) A．< B．ab<b2 C．ab>a2 D．-<- 答案：D 解析：因为a<b<0，由不等式的性质可知，-a>-b>0，ab>0，所以-<-，所以>，故A错误，D正确；由a<b<0，可得ab>b2>0，a2>ab>0，故B、C错误.故选D． 4.实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(　　) A．<1 B．2-x<2-y C．lg(x-y)>0 D．x2>y2 答案：B 考点一　数(式)的大小比较自主练透 1.已知p∈R，M=(2p+1)(p-3)，N=(p-6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为(　　) A．M<N B．M >N C．M≤N D．M ≥N 答案：B 解析：因为M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0，所以M >N.故选B． 2.若a=，b=，则a　　　　b.(填“>”或“<”)  答案：< 解析：法一：易知a，b都是正数，====log89>1，故a<b. 法二：令f(x)=，所以f'=，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，所以f(x)在(e，+∞)上单调递减，所以f(4)<f(3)，即=<，故a<b. 学生用书⬇第9页 3.设a，b∈[0，+∞)，A=+，B=，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 答案：B 解析：由题意得，B2-A2=-2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B． 4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为　　　　.  答案：eπ·πe<ee·ππ 解析：==， 又0<<1，0<π-e<1，所以<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ. 数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论. 2.作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论. 3.构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 考点二　不等式的性质师生共研 (1)(多选)(2025·湖南永州模拟)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若b<a<0，则bc2<ac2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> (2)(多选)若a>0>b>-a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　) A．ad>bc B．+<0 C．a-c>b-d D．a(d-c)>b(d-c) 答案：(1)BD　(2)BCD 解析：(1)对于A，ac2-bc2=c2(a-b)，因为b<a<0，所以a-b>0，又c2≥0，所以c2(a-b)≥0，则bc2≤ac2，故A错误；对于B，-=，因为b>a>0>c，所以c(b-a)<0，ab>0，所以-=<0，即<，故B正确；对于C，-=，因为c>b>a>0，所以c-a>0，c-b>0，a-b<0，所以-=<0，即<，故C错误；对于D，-==，因为a>b>c>0，所以a-b>0，b+c>0，所以>0，即>，故D正确.故选BD． (2)因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>-a，所以a>-b>0，因为c<d<0， 所以-c>-d>0，所以a(-c)>(-b)(-d)，所以ac+bd<0，cd>0，所以=+<0，故B正确；因为c<d，所以-c>-d，因为a>b，所以a+(-c)>b+(-d)，即a-c>b-d，故C正确； 因为a>0>b，d-c>0，所以a(d-c)>b(d-c)，故D正确.故选BCD． 判断不等式的常用方法 1.利用不等式的性质逐个验证. 2.利用特殊值法排除错误选项. 3.作差法. 4.构造函数，利用函数的单调性验证. 对点练1.(1)已知a，b∈R，满足ab<0，a+b>0，a>b，则(　　) A．< B．+>0 C．a2>b2 D．a<|b| (2)(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中是真命题的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若bc-ad≥0，bd>0，则≤ C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)因为ab<0，a>b，则a>0，b<0，>0，<0，故A不正确；<0，<0，则+<0，故B不正确；又a+b>0，即a>-b>0，则a2>(-b)2，即a2>b2，故C正确；由a>-b>0得a>|b|，故D不正确.故选C． (2)对于A，若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故A正确；对于B，若bc-ad≥0，bd>0，则≥0，化为≥，可得≤，故B正确；对于C，若a<b<0，则a2>b2>0，ab>0，可得-=<0，故<，故C错误；对于D，若a>b，>，则-=>0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故D正确.故选ABD． 考点三　不等式性质的应用师生共研 (一题多变)(1)(双空题)已知-1<x<4，2<y<3，则x-y的取值范围是　　　　，3x+2y的取值范围是　　　　.  (2)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是　　　　.  答案：(1)(-4，2)　(1，18)　(2) 解析：(1)因为-1<x<4，2<y<3，所以-3<-y<-2，所以-4<x-y<2.由-1<x<4，2<y<3，得-3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x+2y<18. (2)因为4<b<9，所以<<，又3<a<8， 所以×3<<×8，即<<2. [变式探究] (变条件)若将本例(1)中条件改为“-1<x+y<4，2<x-y<3”，求3x+2y的取值范围. 解：设3x+2y=m(x+y)+n(x-y)， 则所以即3x+2y=(x+y)+(x-y)，又因为-1<x+y<4，2<x-y<3， 所以-<(x+y)<10，1<(x-y)<， 所以-<(x+y)+(x-y)<，即-<3x+2y<，所以3x+2y的取值范围为. 根据不等式的性质求取值范围的策略 1.严格运用不等式的性质，注意其成立的条件. 2.同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围. 3.建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 对点练2.(1)已知0<β<α<，则α-β的取值范围是　　　　.  (2)已知a>b>c，2a+b+c=0，则的取值范围是　　　　.  答案：(1)　(2)(-3，-1) 解析：(1)因为0<β<，所以-<-β<0，又0<α<，所以-<α-β<，又β<α，所以α-β>0，即0<α-β<. (2)因为a>b>c，2a+b+c=0，所以a>0，c<0，b=-2a-c.因为a>b>c，所以-2a-c<a，即3a>-c，解得>-3，将b=-2a-c代入b>c中，得-2a-c>c，即c<-a，得<-1，所以-3<<-1. 学科网（北京）股份有限公司 $