第1章 第2节 常用逻辑用语(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件的判定与应用、全称量词与存在量词命题的否定及真假判断，按“命题基础-充分必要条件-量词命题”逻辑层次梳理知识。通过自测诊断、考点精讲、方法总结、真题演练环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计“定义法与集合法判定条件关系”“改量词否结论”等解题策略，结合2023-2025年真题及教材衔接题分层训练。通过师生共研、变式探究培养学生逻辑推理能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考效率。

第二节　常用逻辑用语 【课程标准】　1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.命题 (1)命题：可以判断真假的陈述句.成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题. (2)命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立“也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p. (3)逆命题：将一个命题的条件和结论互换位置后得到的命题.这个命题与原命题是互为逆命题. 2.充分条件和必要条件 (1)当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件. (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，称p是q的充要条件. 换句话说：如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件. [微提醒]　区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同. 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “任意”“所有”“每一个” ∀ 存在量词 “存在某个”“至少有一个” ∃ 4.全称命题和特称命题 命题 名称 定义 命题结构 命题 简记 全称 命题 含有全称量 词的命题 对M中任意一个元素x，有p(x)成立 ∀x∈M， p(x) 特称 命题 含有存在量 词的命题 存在M中的某个元素x，使p(x)成立 ∃x∈M， p(x) 5.含量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈I，p(x) ∃x∈I， ¬p(x) ∃x∈I，p(x) ∀x∈I， ¬p(x) 学生用书⬇第5页 [微提醒]　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. [常用结论] (1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. (2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. (3)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B．“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C．已知集合A，B，A∪B=A∩B的充要条件是A=B D．命题“∃x∈R，sin2+cos2=”是真命题 答案：ABC 2.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　) A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 答案：ABD 3.(用结论)命题“∀x∈R，x2+x≥0”的否定是(　　) A．∃x0∈R，+x0≤0　　 B．∃x0∈R，+x0<0 C．∀x∈R，x2+x≤0 D．∀x∈R，x2+x<0 答案：B 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确. 4.若命题“∀x∈R，x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(-∞，1) 5.已知A=(-∞，a]，B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为　　　　.  答案：(-∞，3) 考点一　充分条件、必要条件的判定自主练透 1.(2024·全国甲卷)设向量a=，b=，则(　　) A．x=-3是a⊥b的必要条件 B．x=-3是a∥b的必要条件 C．x=0是a⊥b的充分条件 D．x=-1+是a∥b的充分条件 答案：C 解析：对于A，当a⊥b时，则a·b=0，所以x·(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A错误；对于C，当x=0时，a=，b=，故a·b=0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x=-1+时，不满足2(x+1)=x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.故选C． 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列.则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：C 解析：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn=na1+d，则=a1+d=n+a1-，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即-=D，=S1+(n-1)D，即Sn=nS1+n(n-1)D，当n≥2时，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，两式相减得：Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，即an=a1+2(n-1)D，当n=1时，上式成立，于是an=a1+2(n-1)D，又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选C． 3．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x＝0得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0得x＝(k∈Z)，所以必要性不成立．故“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A. 4.(2023·全国甲卷)“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：B 解析：当sin2α+sin2β=1时，例如α=，β=0，但sin α+cos β≠0，即由sin2α+sin2β=1推不出sin α+cos β=0；当sin α+cos β=0时，sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1，即sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知， “sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”成立的必要不充分条件.故选B． 充分条件、必要条件的两种判定方法 1.定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. 2.集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 学生用书⬇第6页 考点二　充分必要条件的探求与应用师生共研 (1)命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 (2)已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　　　　.  答案：(1)C　(2)[0，3] 解析：(1)命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”⇒“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇒9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C． (2)由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10， 所以P={x|-2≤x≤10}. 因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P， 又S≠⌀，所以解得0≤m≤3， 故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件. [变式探究] 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为　　　　.  答案：[9，+∞) 解析：由例题知P={x|-2≤x≤10}. 因为¬P是¬S的必要不充分条件， 所以P是S的充分不必要条件， 所以P⇒S且S⇏ P.所以[-2，10]⫋[1-m，1+m]. 所以或所以m≥9， 则m的取值范围是[9，+∞). 2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由. 解：由例题知P={x|-2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S， 所以所以 这样的m不存在. 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 对点练1.若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为(　　) A．-2<x<1 B．-1<x<1 C．0<x<2 D．-1<x<0 答案：A 解析：不等式x2<1等价于-1<x<1，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(-1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意.故选A． 考点三　全称量词命题与存在量词命题多维探究 角度1　含有量词的命题的否定 (一题多变)已知命题p：∀x≥0，ln(1+x)≥x-，则命题p的否定为(　　) A．∀x≥0，ln<x- B．∃x≥0，ln<x- C．∀x<0，ln<x- D．∃x<0，ln<x- 答案：B 解析：根据含有全称量词命题的否定可知，命题p：∀x≥0，ln≥x-，则命题p的否定为：∃x≥0，ln<x-.故选B． [变式探究] (变条件)若将本例中的“∀”改为“∃”，如何选择答案? 解：p：∃x≥0，ln(1+x)≥x-的否定为¬p：∀x≥0，ln(1+x)<x-.故选A． 角度2　含量词命题的真假判断 (多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R，3x-1>0 B．∀x∈N+，(x-1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0=2 答案：ACD 解析：当x∈N+时，x-1∈N，可得(x-1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确.故选ACD． 角度3　含量词命题的应用 (1)已知命题p：∀x∈R，x2-a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2-a=0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为　　　　.  (2)已知函数f(x)=x2-2x+3，g(x)=log2x+m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　.  答案：(1)(-∞，-2]　(2)(-∞，0) 解析：(1)由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ=4a2-4(2-a)≥0，即a≤-2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(-∞，-2]. (2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(1)=2，g(x)max=g(4)=2+m.由题知f(x)min>g(x)max，即2>2+m，解得m<0，故实数m的取值范围是(-∞，0). 学生用书⬇第7页 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围. 3.含有双量词命题的类型 (1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔f(x1)max≤g(x2)min. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空. (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集. 对点练2.(1)(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，-x2-1<0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm=m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得= (2)已知命题p：∃x0∈R，+2x0+a≤0，命题q：∀x>0，x+>a.若p假q真，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，+∞) B．(-∞，2] C．(1，2) D．(-1，2] 答案：(1)ABC　(2)C 解析：(1)∀x∈R，-x2≤0，所以-x2-1<0，故A是真命题；当m=0时，nm=m恒成立，故B是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C是真命题；因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，所以≤<，故D是假命题.故选ABC． (2)命题p：∃x0∈R，+2x0+a≤0为假命题，则∀x∈R，x2+2x+a>0为真命题，满足Δ=22-4a<0，解得a>1.命题q：∀x>0，x+>a为真命题，由x+≥2=2，当且仅当x=1时等号成立，可知a<2.综上，实数a的取值范围为(1，2).故选C． 1.[真题再现]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：对于p而言，取x=-1，则有=0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.故选B． [教材呈现]　(湘教版必修一P22T10)对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假： (1)p：任意有理数都可以写成两个整数之商； (2)q：∃x∈R，x2+2x+3≤0. 点评：该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题角度完全相同. 2.[真题再现]　(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时等号成立，所以二者互为充要条件.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修一P17例3)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的　　　　；  (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　；  (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　；  (4)若x∈R，则x2=2是x=2的　　　　.  点评：该高考试题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材例题角度完全一致，且难度小于教材例题. 学科网（北京）股份有限公司 $