第2章 第1节 函数的概念及其表示(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及其表示”核心考点，依据课程标准和高考评价体系，系统梳理定义域、解析式、分段函数等考查要求，通过近五年真题分析明确分段函数占30%、定义域占25%的高频考点权重，归纳选择、填空、解答常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“教材夯实+考点突破+真题实战”的复习策略，如以2022浙江卷分段函数题为例，运用分类讨论和数形结合培养数学思维，总结求定义域四步法、解析式四种方法等应试技巧，帮助学生掌握得分要点，教师可通过课时测评精准指导学情，助力高效备考。

第一节　函数的概念及其表示 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数．　 3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 04 03 教考衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的_______，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有_____的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B). 实数集 唯一 微提醒　若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y=x2(x≥0)与y=x2. 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y=f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的_______；与x∈A对应的数y叫作函数值记作f(x)，所有函数值组成的集合___________叫作函数的_____. (2)如果两个函数的_______相同，并且_________完全一致，我们就称它们是同一个函数. 定义域 {f(x)|x∈A} 值域 定义域 对应关系 微提醒　分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数. 3.表示函数的方法 表示函数的主要方法有_______、_______和图象法. 4.分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的_______给出，这种函数叫作分段函数. 解析法 列表法 解析式 常用结论 (1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 自测诊断 1.(多选)下列结论错误的是 A．若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B．函数y=f(x)的图象可以是一条封闭曲线 C．y=x0与y=1是同一个函数 D．函数f(x)=的定义域为R √ √ √ 2.在下列图形中，能表示函数关系y=f(x)的是 √ 3.(多选)下列各组函数是同一个函数的是 A．f(x)=x2－2x－1与g(s)=s2－2s－1 B．f(x)=与g(x)=x C．f(x)=与g(x)= D．f(x)=x与g(x)= √ √ f(x)=与g(x)=x的值域不同；f(x)=x与g(x)==|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确. 4. (双空题)已知函数f(x)=x+，则f(x)的定义域为____________________；若f(a)=2，则a的值为_____.  (－∞，0)∪(0，+∞) 1 要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞).由f(a)=2得a+=2，解得a=1. 5.已知函数f(x)=则f(f(－))=_____.  1 f=3，则f=f(3)=log33=1. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　求函数的定义域 自主练透 要使函数有意义，则需解得－1<x≤2且x≠0，所以x∈ (－1，0)∪(0，2].故选B． 1.(2026·湖北武汉模拟)函数f(x)=+的定义域为 A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2] C．[－2，2] D．(－1，2] √ 2.已知函数y=f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)=的定义域是 A．(－∞，－2)∪(－2，3] B．(－8，－2)∪(－2，1] C．∪ D． √ 因为f(x)的定义域为，所以解得－≤x≤0，且x≠－2.所以g(x)的定义域为∪.故选C． 3.若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． √ 由题意知，ax2－4ax+2>0的解集为R.当a=0时，2>0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0<a<.综上，实数a的取值范围是.故选D． 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 规律方法 对点练1.(1)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S=f(x)的定义域为 A．(0，+∞) B．(0，a) C．[0，+∞) D． √ 矩形的一条边长为x>0，则另一条边长为>0，得x<，所以0<x<，故f(x)的定义域为.故选D． (2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1，2]，则函数f(4x+1)的定义域为 A．[3，5] B． C．[5，9] D． √ 在f(2x+1)中，x∈[1，2]，所以2x+1∈[3，5]，所以在f(4x+1)中，4x+1∈[3，5]，所以x∈.故选B． 考点二　求函数的解析式 师生共研 典例1 (1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，则f(x)= _________________.  2x+或－2x－8　 (待定系数法)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b，又f(f(x))=4x+8，所以a2x+ab+b=4x+8，即所以f(x)=2x+或f(x)=－2x－8. (2)已知f=lg x，则f(x)=____________.  lg(x>1)　 (换元法)令t=+1(t>1)，则x=， 所以f=lg，即f(x)=lg(x>1). (3)已知f=x4+，则f(x)=___________________.  x2－2，x∈[2，+∞)　 (配凑法)因为f=－2， 所以f(x)=x2－2，x∈[2，+∞). (4)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)=2f·－1，则f(x)=______.  + (构造法)在f(x)=2f·－1中，将x换成，得f=2f(x)·－1， 由 解得f(x)=+. 求函数解析式的四种方法 规律方法 对点练2.(1)若f=，则f(x)=________________.  (x≠0且x≠1)　 f(x)==(x≠0且x≠1). (2)若f(x)满足2f(x)+f(－x)=3x，则f(x)=________.  3x　 因为2f(x)+f(－x)=3x①，将x用－x替换，得2f(－x)+f(x)=－3x②，由①②得f(x)=3x. (3)已知f(x)是二次函数且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，则f(x)的解析式为 ________________.  f(x)=x2－x+2 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=2，得c=2，f(x+1)－f(x)=　a(x+1)2+b(x+1)+2－ax2－bx－2=x－1，即2ax+a+b=x－1，所以所以f(x)=x2－x+2. 考点三　分段函数(高考超重点) 多维探究 典例2 角度1　分段函数求值 已知函数f(x)=则f= A． B． C． D． √ f=f=f=f=f=+=3+=.故选A． 求分段函数函数值的方法 　　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 规律方法 典例3 角度2　分段函数与方程、不等式 　　　　(1)已知函数f(x)=若f(a－2)=f(a)，则f= A．11 B．6 C．4 D．2 √ 由题意得函数f(x)在(－∞，0]和(0，+∞)上均为增函数，因为f(a－2)　=f(a)，所以解得0<a≤2，所以a2+a=5(a－2)+6，即a2－4a　+4=0，解得a=2，符合题意，所以f=f(1)=12+1=2.故选D． (2) 已知函数f(x)=则f(x)<f(x+1)的解集为____________.  当x≤0时，x+1≤1，f(x)<f(x+1)等价于x2－1<(x+1)2－1，解得－<x≤0；当0<x≤1时，x+1>1，此时f(x)=x2－1≤0，f(x+1)　=log2(x+1)>0， 所以当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x+1)； 当x>1时，x+1>2，f(x)<f(x+1)等价于log2x<log2(x+1)，此时也恒成立.综上，不等式f(x)<f(x+1)的解集为. 解决分段函数与不等式问题的基本策略 1.分类讨论：解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可. 2.数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题. 规律方法 对点练3.(1)设x∈R，定义符号函数sgn(x)　=则方程x2sgn(x)=2x－1的解是 A．1 B．－1－ C．1或－1－ D．1或－1+或－1－ √ 当x>0时，方程x2sgn (x)=2x－1可化为x2=2x－1，化简得(x－1)2=0，解得x=1；当x=0时，方程x2sgn (x)=2x－1可化为0=－1，无解；当x<0时，方程x2sgn (x)=2x－1可化为－x2=2x－1，化简得x2+2x－1=0，解得x=－1+(舍去)或x=－1－.综上，方程x2sgn (x)=2x－1的解是1或－1－.故选C． (2)(2026·山东泰安模拟)已知函数f=且f= －12，则f(6－m)= A．－1 B．－3 C．－5 D．－7 √ 由题意知，当m≤1时，f(m)=2m+1－8=－12，得2m+1=－4，又2m+1>0，所以方程无解；当m>1时，f(m)=4(m+1)=－12，得(m+1)=－3=　lo8，即m+1=8，解得m=7，所以f(6－m)=f(－1)=2－1+1－8=－7.故选D． (3)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是__________.  (－∞，0) 根据题意作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，满足f(x+1)<f(2x)时，则所以x<0. 返回 教考衔接　精研教材 返回 真题再现 (2022·浙江卷)已知函数f=则f=_____；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是___________.  　 3+ 由已知f=－+2=，f=+－1=，所以 f=.当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2+2≤3，所以－1≤x≤1，当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+－1≤3，所以1<x≤2+，1≤f(x)≤3等价于 －1≤x≤2+，所以[a，b]⊆[－1，2+]，所以b－a的最大值为3+. 返回 教材呈现 (湘教版必修一P76练习2)已知函数f(x)= (1)求f(3)+f(－3)f的值； (2)对函数f(x)，若存在点x0，使得f(x0)=1，求实数x0的值. 点评：2022年浙江卷高考题与教材习题在考查函数的赋值与整体代换的思想的同时，又在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现. 课 时 测 评 返回 1.函数f(x)=lg+的定义域是 A．(2，+∞) B．(2，3) C．(3，+∞) D．(2，3)∪(3，+∞) √ 因为f(x)=lg+，所以解得x>2，且x≠3，所以函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，+∞).故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 √ 因为f(－2)=1，所以f(－2)+1=2，所以f(f(－2)+1)=f(2)=3.故选C． 2.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(－2)+1)的值为   A．1 B．2 C．3 D．4 x x≤0 0<x<2 x≥2 y 1 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)=则f(f(－3))等于 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 因为f(－3)=(－3)2－1=8，所以f(f(－3))=f(8)=log28=3.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.已知f=lg x，则f(10)的值为 A．1 B． C． D． √ 令x3=10，则x=1，所以f=lg 1=.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.已知f=+，则f(x)= A．(x+1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1) C．x2－x+1(x≠1) D．x2+x+1(x≠1) √ f=+=－+1，令=t，则f(t)=t2－t+1(t≠1)，即f(x)=x2－x+1(x≠1).故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6. 已知函数f(x)=若f(x0)>3，则x0的取值范围是 A．x0>8 B．x0<0或x0>8 C．0<x0<8 D．x0<0或0<x0<8 √ 由题意知，当x0≤0时，因为+1≤2，所以不存在f(x0)>3；当x0>0时，由log2x0>3=log28，解得x0>8.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)已知f(x)=，则f(x)满足的关系有 A．f(－x)=－f(x) B．f=－f(x) C．f=f(x) D．f=－f(x) √ √ 因为f(x)=，所以f(－x)===f(x)，即不满足A；f=　=，f=－f(x)，即满足B，不满足C；f==，f= －f(x)即满足D．故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)(2026·山东烟台模拟)存在函数f满足：对于任意的x∈R，都有 A．f=cos 2x B．f=sin x C．f= D．f= √ √ 对于A，因为f(sin x)=cos 2x=1－2sin2x，令t=sin x，所以f(t)=1－2t2， －1≤t≤1，故A正确；对于B，f(cos 2x)=sin x，取x=，f(0)=；取x=－，f(0)=－，故B错误；对于C，令t=x2+2x，所以|x+1|= =，即f(t)=(t≥－1)符合题设，故C正确；对于D，取x=1，f(2)=2；取x=－1，f(2)=0，故D错误.故选AC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知函数f(x)=x+，g(x)=则下列选项正确的有 A．f(g(2))=2 B．g(f(1))=1 C．f(g(－1))=2 D．g= √ √ 由题意知g(2)=log22=1，f(g(2))=f(1)=2，故A正确；g(f(1))=g(2)=1，故B正确；f(g(－1))=f=+2=，故C错误；g=g=2－2=，故D正确.故选ABD． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.(开放题)写出一个满足：f=f(x)+f(y)+2xy的函数解析式为_____________________.  令x=y=0，解得f=0，令x+y=0，即y=－x，所以f=f(x)+f(－x) －2x2，即f(x)+f(－x)=2x2，不妨设f(x)=x2，满足要求(答案不唯一). f=x2(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)=的定义域是R，则实数a的取值范围是_________.  (－12，0] 由题意得ax2+ax－3≠0对任意实数x都成立.当a=0时，显然成立；当a≠0时，满足Δ=a2+12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为 (－12，0]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是____________.  当x<0时，<0，当x≥0时，2x－1+≥+.因为函数f(x)的值域为R，所以+≤0，解得a≤－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)=若f(2 026)=1，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．4 √ 因为当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以 f(2 026)＝f(337×6＋4)＝f(4)＝－f (1)＝f(－1)－f(0)＝＝1，则a＝2.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)+2f(x)=x2+1，则f(1)等于 A．－1 B．1 C．－ D． √ 因为定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)+2f(x)=x2+1，所以当x=0时，f(1)+2f(0)=1，①，当x=1时，f(0)+2f(1)=2，②，②×2－①，得3f(1)=3，解得f(1)=1.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(新定义)(多选)设x∈R ，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]=1，[2]=2，[－1.2]=－2.设f(x)=x－[x]，则下列结论正确的有 A．f(－1.1)=0.9 B．函数f(x)的图象关于原点对称 C．f(x+1)=f(x)+1 D．函数f(x)的值域为[0，1) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，因为f(x)=x－[x]，所以f(－1.1)=－1.1－[－1.1]=－1.1－(－2)　=0.9，故A正确；对于B，因为f(0.5)=0.5－[0.5]=0.5－0=0.5，f(－0.5)=－0.5－[－0.5]=－0.5－(－1)=0.5，所以f(0.5)+f(－0.5)=1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B错误；对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k+1，此时有k+1≤x+1<k+2，所以f(x+1)=x+1－[x+1]=x+1－(k+1)=x－k，f(x)=x－[x]=x－k，故C错误；对于D，由C分析可知∀x∈R，总有f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数，不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)=x－[x]=x－0=x<1，因此函数f(x)的值域为[0，1)，故D正确.故选AD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(开放题)已知函数f(x)=试举出一个a的值，使得f(a)+f(6－a)=成立，则a可以为______________________(写出一个即可).  －1或7(写出一个即可) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 因为函数f(x)=可得当x>1时，f(x)=log2(x+1)> log22=1，当x≤1时，f(x)=2x－1－2≤20－2=－1.当a>1且6－a>1，即1<a<5时，f(a)+f(6－a)>1+1与f(a)+f(6－a)=矛盾，不符合题意；当a>1且6－a≤1，即a≥5时，f(a)+f(6－a)=log2(a+1)+25－a－2=，则a=7；当a≤1且6－a>1，即a≤1时，则f(a)+f(6－a)=log2(7－a)+2a－1－2　=，则a=－1.综上所述，a可以为－1或7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 函数的概念及其表示 $