第2章 第2节 函数的单调性与最值(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过基础判断、区间分析、值域求解及综合应用，构建从概念到创新的完整训练体系，培养推理能力与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|4题（选择1-4）|基本函数单调性比较|从具体函数单调性（如幂、指、对函数）切入，夯实概念生成基础| |单调区间与参数|4题（填空7-8、选择6、13）|分段函数、区间限制下的单调性分析|结合定义域分段讨论，推导单调区间与参数取值关系| |值域与单调性|2题（选择3、5）|分式函数、二次函数的值域求解|利用单调性确定函数最值，建立性质与值域的逻辑联系| |综合应用|5题（解答10-11、选择12、15）|证明、抽象函数、新定义（闭函数）|通过定义法证明单调性，迁移应用至抽象与创新情境，完成应用拓展|

课时测评7　函数的单调性与最值 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-9，每小题5分，共45分) 1.下列函数在区间(0，1)上为单调递增函数的是(　　) A．y=-x3+1 B．y=cos x C．y=lox D．y=x- 答案：D 解析：y=-x3+1，y=cos x，y=lox在(0，1)上都为单调递减函数，y=x-在(0，1)上为单调递增函数.故选D． 2.函数f(x)=在(　　) A．(-∞，1)∪(1，+∞)上是增函数 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上是减函数 C．(-∞，1)和(1，+∞)上是增函数 D．(-∞，1)和(1，+∞)上是减函数 答案：C 解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1，根据函数y=-的单调性及有关性质，可知f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上是增函数.故选C． 3.若函数f(x)=，则f(x)的值域为 (　　 ) A．(-∞，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[3，+∞) 答案：C 解析：f(x)==2+，因为x2≥0，所以x2+1≥1，所以0<≤1，所以f(x)∈(2，3].故选C． 4.(2026·安徽阜阳模拟)已知函数f(x)=若a=50.01，b=log32，c=log20.9，则有(　　) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 答案：A 解析：因为y=ex是增函数，y=e-x是减函数，所以f(x)=ex-e-x在(0，+∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)=-x2在(-∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增.又c=log20.9<0，0<b=log32<1，a=50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).故选A． 5.(多选)已知函数f(x)=x-，下列说法正确的是(　　) A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a=-4时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞) C．当a=-4时，f(x)的值域为(-∞，-4]∪[4，+∞) D．当a>0时，f(x)的值域为R 答案：BCD 解析：当a>0时，f(x)=x-，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞).因为f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故A错误；又当x→-∞时，f(x)→-∞，当x→0-时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a=-4时，f(x)=x+，由其图象(图略)可知，B、C正确.故选BCD． 6.(多选)已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0 D．当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2] 答案：BC 解析：易知f(x)在(-∞，0]，(0，+∞)上单调递增，故A错误，B正确；若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≥0或a≤-1，故C正确；当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故x∈[-1，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故D错误.故选BC． 7. (双空题)函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为　　　　　　　　，单调递减区间为　　　　　　　　.  答案：(-∞，-1]和[0，1]　(-1，0)和(1，+∞) 解析：由于y=即y= 画出函数的图象如图所示， 所以单调递增区间为(-∞，-1]和[0，1]，单调递减区间为(-1，0)和(1，+∞). 8.已知函数f(x)=在区间[-1，a-2]上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　.  答案：(1，2] 解析：由分段函数解析式知：f(x)在[-2，0]上单调递增，由f(x)在[-1，a-2]上单调递增，得-1<a-2≤0，即a∈(1，2]. 9.(新设问)已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是　　　　.  答案：f(x)=(x-1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)=只要满足题意即可) 解析：由题意知，f(x)=(x-1)2，x∈(0，4)，则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x=1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)=(x-1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题. 10.(13分)已知函数f(x)=x|x-4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(6分) (2)写出函数f(x)的单调递减区间.(7分) 解：(1)f(x)=x|x-4|=函数图象如图所示. (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4). 11.(14分)已知f(x)=. (1)若a=-2，试证明：f(x)在(-∞，-2)上单调递增；(5分) (2)若a>0，且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围.(9分) 解：(1)证明：当a=-2时，f(x)=. 任取x1，x2∈(-∞，-2)，且x1<x2， 则f-f=-=. 因为(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(-∞，-2)上单调递增. (2)任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2， 则f-f=-=. 因为a>0，x2-x1>0， 所以要使f(x1)-f(x2)>0， 只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立， 所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. (每小题6分，共12分) 12.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是(　　) A．y=f(x)+x是增函数 B．y=f(x)+x是减函数 C．y=f(x)是增函数 D．y=f(x)是减函数 答案：A 解析：不妨令x1<x2，所以x1-x2<0，因为>-1⇔f-f<-(x1-x2)⇔f+x1<f+x2，令g(x)=f(x)+x，所以g(x1)<g(x2)，又x1<x2，所以g(x)=f(x)+x是增函数.故选A． 13.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a+1)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.  答案：(-∞，1]∪[4，+∞) 解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a+1)上单调递增，需满足a≥4或a+1≤2，即a≤1或a≥4. (每小题8分，共16分) 14.设a∈R，函数f(x)=若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，2] B．[1，3] C．[0，2] D．[2，3] 答案：A 解析：当x>1时，x2+-3a=x2++-3a≥3-3a=12-3a，当且仅当x2=，即x=2时等号成立；当x≤1时，f(x)=x2-2ax+9=(x-a)2+9-a2，要使得函数f(x)的最小值为f(1)，则解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1，2].故选A． 15.(新定义)(多选)对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是(　　) A．函数y=x2+1是闭函数 B．函数y=-x3是闭函数 C．函数f(x)=是闭函数 D．k=-2时，函数y=k+是闭函数 答案：BD 解析：对于A，因为y=x2+1在定义域内不是单调函数，所以函数y=x2+1不是闭函数，故A错误；对于B，函数y=-x3在定义域内是减函数，设[a，b]⊆R，则解得所以存在区间[-1，1]，使得y=-x3在[-1，1]上的值域为[-1，1]，所以函数y=-x3是闭函数，故B正确；对于C，y==1-在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)=不是闭函数，故C错误；对于D，y=-2+的定义域为[-2，+∞)，并且在[-2，+∞)上为增函数，若y=-2+是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数的值域为[a，b]，即所以a，b是方程x=-2+的两个不相等的实根，整理方程得x2+3x+2=0，解得x=-2或x=-1，所以存在区间[-2，-1]⊆[-2，+∞)，使得函数y=-2+的值域为[-2，-1]，所以函数y=-2+是闭函数，故D正确.故选BD． 学科网（北京）股份有限公司 $