第1章 第4节 基本不等式及其应用(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

**基本信息** 聚焦基本不等式核心应用，通过分层题型系统构建"概念-变形-综合"解题体系，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4题(1-4)|直接应用、配凑法|概念生成：基本不等式直接求最值| |条件变形|4题(5-8)|换元法、一题多解|原理推导：等式条件下的变形技巧| |综合拓展|8题(9-16)|新设问构造、知识融合|应用拓展：跨知识结合与创新设问|

课时测评4　基本不等式及其应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-10，每小题5分，共50分) 1.的最大值为(　　) A．9 B． C．3 D． 答案：B 解析：当-6≤a≤3时，3-a≥0，a+6≥0，由基本不等式得≤=，当且仅当3-a=a+6，即a=-时取等号.故选B． 2.设实数x满足x>0，则函数y=2+3x+的最小值为(　　) A．4-1 B．4+2 C．4+1 D．6 答案：A 解析：因为x>0，所以x+1>0，所以y=2+3x+=3+-1≥2-1=4-1，当且仅当3(x+1)=，即x=-1时等号成立，所以函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A． 3.若a>0，b>0，2ab+a+2b=3，则a+2b的最小值是(　　) A． B．1 C．2 D． 答案：C 解析：a>0，b>0，3=2ab+a+2b≤+(a+2b)，当且仅当a=2b时取等号，因此(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0，即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0，解得a+2b≥2，所以当a=2b=1时，a+2b取得最小值2.故选C． 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 答案：C 解析：由题意知，体积V=4 m3，高h=1 m，所以底面积S=4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y=20×4+10×≥80+20=160，当且仅当2x=，即x=2时取等号.所以该容器的最低总造价是160元.故选C． 5.(多选)( 2026·福建部分地市第一次质检)已知正实数x，y满足x+y=1，则(　　) A．x2+y的最小值为 B．+的最小值为8 C．+的最大值为 D．log2x+log4y没有最大值 答案：AC 解析：因为x，y为正实数，且x+y=1，所以y=1-x，x∈(0，1).所以x2+y=x2-x+1=+，当x=时，x2+y的最小值为，故A正确；+==5++≥5+2=9，当且仅当x=，y=时等号成立，故B错误；=x+y+2=1+2≤1+x+y=2，当且仅当x=y=时等号成立，故+≤，即+的最大值为，故C正确；log2x+log4y=log2x+log2=log2， x2y=x2=x·x· ≤=，当且仅当x=2-2x，即x=时等号成立，所以x≤.所以log2x+log4y有最大值log2，故D错误.故选AC． 6.(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a+b+≥2 B．> C．≥a+b D．(a+b)≥4 答案：ACD 解析：因为a>0，b>0，所以a+b+≥2+≥2，当且仅当a=b且2=，即a=b=时取等号，故A正确；因为a+b≥2>0，所以≤=，当且仅当a=b时取等号，故B错误；因为≤=，当且仅当a=b时取等号，所以==a+b-≥2-=，当且仅当a=b时取等号，所以≥，即≥a+b，故C正确；因为(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b时取等号，故D正确.故选ACD． 7.函数y=(x>-1)的最小值为　　　　.  答案：0 解析：因为y==x-1+=x+1+-2(x>-1)，所以y≥2-2=0，当且仅当x=0时，等号成立.所以y=(x>-1)的最小值为0. 8. (一题多解)已知x>0，y>0，xy=x+4y+12，则xy的最小值为　　　　.  答案：36 解析：法一：由xy=x+4y+12，移项得(x-4)y=x+12，显然x≠4，所以y=，由y>0，得x>4， 所以xy=x·===x-4++20≥2+20=36， 当且仅当x=12，y=3时等号成立，所以xy的最小值为36. 法二：因为xy=x+4y+12≥2+12，所以-4-12≥0，解得≥6，即xy≥36，当且仅当x=4y，即x=12，y=3时，等号成立，所以xy的最小值为36. 9.(新设问)写出一个关于a与b的等式，使+是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为　　　　.  答案：a2+b2=1(答案不唯一) 解析：该等式可为a2+b2=1，证明如下：+==1+9++≥10+2=16，当且仅当b2=3a2时取等号，所以+是一个变量，且它的最小值为16. 10.( 2026·江苏南京六校联考)函数y=loga(x+2)-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则+的最小值为　　　　.  答案：5 解析：对于函数y=loga(x+2)-3，令x+2=1，可得x=-1，y=-3，可知A(-1，-3)，若点A(-1，-3)在直线mx+ny+1=0上，则-m-3n+1=0，即m+3n=1，则+=+=++3，且mn>0，则>0，可得+=++3≥2+3=5，当且仅当=，即m=n=时等号成立，所以+的最小值为5. 11.(16分)已知正实数x，y满足等式+=2. (1)求xy的最小值；(6分) (2)若3x+y≥m2-m恒成立，求实数m的取值范围.(10分) 解：(1)2=+≥2， 即xy≥3，当且仅当x=1，y=3时等号成立， 所以xy的最小值为3. (2)3x+y==≥=6， 当且仅当x=1，y=3时等号成立. 即=6. 所以m2-m≤6，解得-2≤m≤3.所以实数m的取值范围是[-2，3]. (每小题6分，共18分) 12.设实数x，y满足x+y=1，y>0，x≠0，则+的最小值为(　　) A．2-1 B．2+1 　 C．-1 D．+1 答案：A 解析：当x>0时，+=+=++1≥2+1=2+1，当且仅当=，即x=-1，y=2-时等号成立，此时有最小值2+1；当x<0时，+=+=+-1≥2-1=2-1，当且仅当=，即x=-1-，y=2+时等号成立，此时有最小值2-1.所以+的最小值为2-1.故选A． 13.设a>b>0，则a2++的最小值是　　　　.  答案：4 解析：因为a>b>0，所以a-b>0，所以a>0，a2++=a2+ab-ab++=a2-ab++ab+=a++ab+≥2+2=4，当且仅当即a=，b=时等号成立.所以a2++的最小值是4. 14.已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤+恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案： 解析：因为x+y=6，所以t=+=+ =x+1+-2+y+2+-4=3++，所以t=3++=3+=++≥+2=4，当且仅当y=4，x=2时等号成立，所以=4，a≤4，故实数a的取值范围是. (每小题8分，共16分) 15.( 2026·浙江宁波“十校”联考)已知正实数a，b，c满足b+c=1，则+的最小值为　.  答案：16 解析：因为b+c=1，所以+=a·+=a·+=a·+=a·+，由于b，c为正实数，故由基本不等式得+≥2=6，当且仅当=，即b=，c=时，等号成立，所以a·+ ≥8a+=8(a+1)+-8≥2-8=16，当且仅当8(a+1)=，即a=时等号成立，综上，+的最小值为16. 16.(知识融合)若直线ax-by-3=0(a>0，b>0)过点(1，-1)，则+的最大值为　　　　.  答案：2 解析：直线ax-by-3=0过点(1，-1)，则a+b=3.又a>0，b>0，设t=+，则t>0，t2=a+1+b+2+2=6+2≤6+2=12，即t≤2，当且仅当a+1=b+2，即a=2，b=1时等号成立，所以+的最大值为2. 学生用书⬇第13页 学科网（北京）股份有限公司 $