第4章 第21讲 任意角和弧度制、三角函数的概念(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形核心模块，以任意角、弧度制、三角函数概念为基础，构建“概念-公式-应用”知识体系，覆盖高考常考的象限角判断、弧度制应用、三角函数定义及符号等考点。通过考点梳理（如终边相同角集合表示）、方法指导（数形结合分析三角函数线）、真题训练（2025年高考题示例）等环节，帮助学生系统突破重点难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如在三角函数定义教学中，借助单位圆引导学生抽象坐标与函数值关系，通过“给值求值”问题训练逻辑推理能力。设置自测诊断、分层对点练（基础巩固与能力提升），配合思想方法提炼（转化与化归等），确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源 【知识构建】 【命题趋势】 　　三角函数和解三角形作为高考的必考内容，在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及[2025全国一卷T4、T11，2025全国二卷T5、T8、T15]，大部分是考查基础知识、基本方法和基本技能，考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养. 1.题型设置：常以一小一大的形式呈现. 2.内容考查：本章高考考查的频率较高，常考查利用三角恒等变换“给角求值”“给值求值”“给值求角”、三角函数的图象与性质、三角函数的图象变换以及利用正、余弦定理解三角形等问题. 3.能力考查：高考题凸显对理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力的考查. 【备考策略】 1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：一是重视对三角函数定义、图象与性质的研究；二是重视对同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换公式的掌握，明确公式的来龙去脉，弄清公式之间的内在联系，扫除公式、定理“障碍”；三是重视对正弦定理、余弦定理以及变形的理解，弄清公式的各种用法. 2.重视知识的交汇与联系：注重多个知识点的交汇融合，特别是三角函数与解三角形与平面向量、函数、解析几何等知识的交汇与联系. 3.重视数学思想方法的应用：(1)数形结合思想：数形结合思想在三角函数中有着广泛的应用，复习时要充分重视，如三角函数的图象与性质、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及其变换(平移、对称、伸缩)、解三角形等问题. (2)函数与方程思想：在解决三角函数性质、三角恒等变换、解三角形等问题时，常用到函数与方程思想. (3)转化与化归思想：在探求三角函数性质时，最典型的一类题目是通过三角恒等变换转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，从而求得其性质.另外在解决解三角形问题时，通常运用正弦定理、余弦定理并结合三角恒等变换公式转化为角的形式或边的形式，也是转化与化归思想的充分体现. 另外分类讨论思想、整体思想、模型思想在本章中都有体现，希望在复习过程中引导学生对数学思想方法的提炼，让学生养成自觉运用数学思想分析问题和解决问题的习惯. 第21讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 【课程标准】　1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义. 1.任意角 [微提醒]　(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. 2.弧度制的定义和公式 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 ｜α｜＝(弧长用l表示，半径长用r表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝°≈57.30° 弧长公式 弧长l＝｜α｜r 扇形面积公式 S＝lr＝｜α｜r2 3.任意角的三角函数 (1)借助“单位圆”定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). (2)借助“终边上点的坐标”定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝. (3)三角函数值在各象限内的符号，如图： [微提醒]　记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 【常用结论】 1.象限角与轴线角的集合表示 学生用书⬇第98页 2.终边相同的角与对称性 (1)β与α终边相同⇔β＝α＋2kπ(k∈Z). (2)β与α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ(k∈Z). (3)β与α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ(k∈Z). (4)β与α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ(k∈Z). 3.若角α∈，则sin α＜α＜tan α. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角 B.角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关 C.不相等的角终边一定不相同 D.若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1 答案：BD 2.(链接人教A必修一P180例3)若sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 解析：若sin θ＜0，则角θ在第三或第四象限或在y轴负半轴上，若tan θ＜0，则角θ在第二或第四象限，所以当sin θ＜0且tan θ＜0时，角θ在第四象限.故选D. 3.(链接人教A必修一P175T6)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为　　　　. 答案： 解析：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×＝，由弧长公式得l＝. 4.(多空题)(链接人教A必修一P180T3)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝　　　　，cos α＝　　　　，tan α＝　　　　. 答案：－　 　 － 解析：由题意知点P到原点的距离r＝＝，则sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－. 考点一　象限角与终边相同的角自主练透 1.若α是第二象限角，则(　　) A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 答案：D 解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.对于A，可得－π－2kπ＜－α＜－－2kπ，k∈Z，此时－α是第三象限角，故A错误；对于B，可得＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，故B错误；对于C，可得2π＋2kπ＜＋α＜＋2kπ，k∈Z，即2π＜＋α＜＋2π，k∈Z，所以＋α是第一象限角，故C错误；对于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，故D正确.故选D. 2.若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与2 026°角终边相同的最小正角为(　　) A.26° B.136° C.226° D. 336° 答案：C 解析：因为2 026°＝360°×5＋226° ，所以与2 026° 角终边相同的最小正角为226°.故选C. 3.集合{α｜kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案：C 解析：当k取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，故角的终边在第一象限或y轴正半轴；当k取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤，故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.故选C. 4.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为　　　　　　　　　. 答案： 解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为. 1.象限角的判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法：将已知角化为α＋2kπ(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，由角α所在象限判断已知角所在象限. 2.判断或kα(k≥2，且k∈N*)所在象限的方法步骤 第一步：先用终边相同角的形式表示出角α的取值范围； 第二步：写出或kα的取值范围； 第三步：根据k的可能取值讨论确定或kα的终边所在位置. 考点二　弧度制及其应用 师生共研 (1)已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形的面积为(　　) A.3 B.1 C. D. (2)已知扇形OAB的面积为1 cm2，它的周长是4 cm，则扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为　　　　. (3)已知半径为3的扇形OAB的弦长AB＝3，则该扇形的弧长为　　　　. 答案：(1)C　(2)2　(3) 解析：(1)设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，则l＋2r＝3α＋6＝9，解得α＝1，因此扇形的面积为αr2＝.故选C. (2)设该扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，依题意得所以α＝＝2 rad，所以扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为2. (3)在△ABO中，AB2＝OA2＋OB2＝18，故∠AOB＝，故弧长l＝×3＝. 学生用书⬇第99页 应用弧度制解决问题的方法 1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. 3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 对点练1.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)因为α＝60°＝ rad，所以l＝αR＝×10＝(cm). (2)由题意得 解得(舍去)或 故扇形的圆心角为. (3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2. 考点三　三角函数的概念及其应用多维探究 角度1　三角函数的定义的应用 (1)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为(　　) A.－6 B.6 C.0 D.－3 (2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)由题意知，cos α≠0，设角α的终边上一点为(a，－3a)(a≠0)，则r＝｜a｜.当a＞0时，r＝a，sin α＝－，cos α＝，所以10sin α＋＝－3＋3＝0.当a＜0时，r＝－a，sin α＝，cos α＝－，所以10sin α＋＝3－3＝0.故选C. (2)由题意得点P(－8m，－3)，r＝，所以cos α＝＝－，解得m＝±.又cos α＝－＜0，所以－8m＜0，即m＞0，所以m＝.故选C. 角度2　三角函数值符号的判断 (1)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不确定 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.故选C. (2)因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.故选A. 角度3　三角函数线的应用 (1)设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c 的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.c＞b＞a (2)设0≤α＜2π，若sin α＞cos α，则角α的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)D　(2)(，) 解析：(1)当0＜α＜时，sin α＜α＜tan α，则sin ＜tan ，即b＜c.又＝＝3tan ＞3×＝1，即b＞a，所以c＞b＞a.故选D. (2)因为sin α＞cos α，且0≤α＜2π，所以cos α＞0时，可得tan α＞，在单位圆中画出满足tan α＞的三角函数线，可知此时＜α＜，图中的浅色阴影区域(不包括边界)为此时角α的范围；当cos α＜0时，可得tan α＜，此时借助单位圆中的三角函数线，可知此时＜α＜，图中的深色阴影区域(不包括边界)为此时角α的范围；当cos α＝0时，sin α＝±1，只有sin α＝1满足条件sin α＞cos α，此时α＝，综上可得，＜α＜. 1.利用三角函数的定义可以解决如下三个方面问题 一是已知角α终边上一点P的坐标 可以求出α的三角函数值 二是已知角α的三角函数值和相关条件 可以求出点P的坐标 三是已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小 可求角α终边上某特定点的坐标 2.判断三角函数值的符号的关键 一是定象限：即确定角的终边所在的象限；二是判符号：即结合符号法则判定所求三 角函数值的符号；三是特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 3.作为三角函数知识的纵向延伸，掌握三角函数线的应用，特别是利用不等式sin x＜ x＜tan x，x∈进行放缩比较大小问题. 对点练2.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则｜a－b｜＝(　　) A. B. C. D.1 答案：B 解析：因为点A和点B为角α的终边上的两点，所以＝，即b＝2a.由三角函数定义，得cos α＝，则cos 2α＝2cos2α－1＝－1＝，解得｜a｜＝.故｜a－b｜＝｜a｜＝.故选B. 【教师备选】　已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是(　　) A.－2 B. C.－2或 D.1 答案：B 解析：由题意可知，＝且2a＋1＞0，即a＞－，所以＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝.又a＞－，所以a＝.故选B. 对点练3.设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则a，b，c 的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.b＜a＜c 答案：D 解析：由如图的三角函数线知，MP＜AT，因为＞，所以MP＞OM，所以cos ＜sin ＜tan ，所以b＜a＜c.故选D. 学生用书⬇第100页 对点练4.(多选)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　) A.sin α＝－ B.cos α＝ C.sin α＋cos α＝± D.tan α＝1 答案：CD 解析：当角α的终边在第一象限时，在其终边上任取一点P(a，a)，a＞0，则r＝a，故sin α＝，cos α＝，tan α＝1，sin α＋cos α＝.当角α的终边在第三象限时，在其终边上任取一点P(－a，－a)，a＞0，则r＝a，故sin α＝－，cos α＝－，tan α＝1，sin α＋cos α＝－，结合选项C、D正确.故选CD. 对点练5.已知α＝985°，则＋＋＝　　　　. 答案：－1 解析：由题意得α＝985°＝2×360°＋265°，所以985°是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，所以＋＋＝＋＋＝－1－1＋1＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $