第2章 第14讲 函数的图象(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖作图方法、变换规律、图象识别及性质应用，按课标要求构建“基础梳理-考点突破-真题演练”体系，通过自测诊断夯实基础，分考点（自主练透、师生共研、多维探究）分层教学，帮助学生系统掌握图象与性质的内在联系。 资料突出数学思维与应用意识培养，如在图象识别中结合奇偶性分析和特值排除法，在参数范围问题中通过图象直观转化不等式关系，设置分层对点练和真题（2024全国甲卷等）精讲，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第14讲　函数的图象 【课程标准】　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数，理解函数图象的作用.　2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 1.描点法作图的流程 2.函数图象的四种变换 [微提醒]　函数图象平移变换的一般规律：①“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系；②“上加下减”只针对函数值f(x). 【常用结论】 1.将y＝f(x)图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y＝f(a＞0)的图象. 2.记牢函数图象自身对称和两个函数图象之间对称的有关结论.(见本章第9讲　函数的对称性及其应用) 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到 B.当x∈(0，＋∞)时，函数y＝｜f(x)｜与y＝f(｜x｜)的图象相同 C.函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称 D.若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 答案：ABC 2.(链接人教A必修一P68例5)下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 答案：C 3.(链接人教A必修一P140T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 答案：B 4.(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点的(　　) A.横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C.纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 答案：A 解析：因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象.故选A. 学生用书⬇第56页 考点一　作函数的图象 自主练透 1.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 答案：C 解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确.故选C. 2.作出下列函数的图象： (1)y＝； (2)y＝｜log2(x＋1)｜； (3)y＝x2－2｜x｜－1； (4)y＝. 解：(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分， 再作出y＝的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分， 即得y＝的图象，如图①所示实线部分. (2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝｜log2(x＋1)｜的图象，如图②所示. (3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象， 再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③所示. (4)y＝＝2＋， 故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位得到，图象如图④所示. 函数图象的画法 注意：画函数的图象一定要注意定义域. 考点二　函数图象的识别(高考超重点) 师生共研 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) (2)(2025·天津卷)已知函数y＝f的图象如图所示，则f的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)f＝－x2＋sin＝－x2＋sin x＝f.又函数定义域是，故该函数为偶函数，可排除A、C，又f(1)＝－1＋sin 1＞－1＋sin＝－1－＞－＞0，故可排除D.故选B. (2)由图可知函数为偶函数，而函数f＝和函数f＝为奇函数，故排除A、B；又当x∈时，1－x2＞0，x2－1＜0，此时f＝＞0，f＝＜0，由图可知当x∈时，f＜0，故C不符合，D符合.故选D. 1.由函数解析式确定函数图象的两个关键点 (1)利用函数的解析式，判断函数的奇偶性，再根据奇偶函数图象的对称性，排除不合适的选项. (2)利用特值法，根据函数在某区间上的函数值的符号或极限思想，对不合适的选项进行排除. 2.由函数图象判断其解析式的关键 会观图，从图象的左右位置，判断函数的定义域；从图象的上下位置，判断函数的值域；从图象的变化趋势，判断函数的单调性；从图象的对称性，判断函数的奇偶性.从而把不合适的解析式排除. 学生用书⬇第57页 对点练1.(2025·河南九师联盟二模)已知y＝1－alog2x是减函数，则函数f＝的大致图象为(　　) 答案：B 解析：因为y＝1－alog2x是减函数，且y＝log2x是增函数，所以a＞0.因为f＝又当x＞0时，f＝－，所以函数f的图象是对称轴为直线x＝＞0，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意.故选B. 对点练2.如图，已知函数f的图象关于坐标原点O对称，则函数f的解析式可能为(　　) A.f＝x2 B.f＝xln C.f＝ D.f＝ 答案：D 解析：由题意得f为奇函数，即f＝－f，定义域是∪.对于A，由f＝x2定义域是R，不符合，故A错误；对于B，由f＝xln∪，且f＝ln＝－xln＝－f，但x趋向于＋∞时，f趋向于＋∞，不符合图象，故B错误；对于C，由f＝∪，且f＝＝－＝－f，但f＝＞0在x∈上恒成立，不符合图象，故C错误；对于D，由f＝∪，且f＝＝－＝－f，符合图象，故D正确.故选D. 考点三　函数图象的应用 多维探究 角度1　研究函数的性质 (多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，F(x)＝min{f(x)，g(x)}，则(　　) A.F(x)是偶函数 B.方程F(x)＝0有三个解 C.F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D.F(x)有4个单调区间 答案：ABD 解析：根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图，由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，故A正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，故B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确.故选ABD. 角度2　解不等式 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)＞2f(x)的解集为(　　) A.∪ B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.∪∪ D.∪∪ 答案：C 解析：根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示.由x2f(x)＞2f(x)，得(x2－2)f(x)＞0，则或 解得x＜－2或＜x＜2或－＜x＜0，故不等式的解集为∪∪.故选C. 角度3　求参数的取值范围 (1)(多想少算)(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞) (2)已知函数f＝若对任意的x都有≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)法一：当x＞2时，f(x)＞0，即当x＞2时，x｜x－a｜－2a2＞0，所以当x＞2时，｜x－a｜＞(*).①当a＝0时，(*)式显然成立.②当a≠0时，令F(x)＝｜x－a｜，g(x)＝(x＞0)，函数F(x)与g(x)的大致图象，如图所示，则F(2)≥g(2)，即｜2－a｜≥，则a2≤｜2－a｜，得－2≤a＜0或0＜a≤1；综上－2≤a≤1.故选B. 法二：当a＞2，x＞2时，f(x)＝x｜x－a｜－2a2＝当2＜x＜a时，f＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意.当0＜a≤2，x＞2时，f(x)＝x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞2a，由于x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1.当a＝0，x＞2时，f(x)＝x2＞0恒成立，符合题意.当a＜0，x＞2时，f(x)＝x－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1.故选B. 【注】两种方法充分体现了多想少算的思想，回归数学本质函数图象解决问题事半功倍. (2)因为f＝令g(x)＝，作出g(x)的图象，如图所示，令h(x)＝ax，由图知，要使对任意的x都有≥ax恒成立，则必有a≤0，当x≤0时，y1＝x2－4x，由消y得到x2－(4＋a)x＝0，由Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4，由图可知－4≤a≤0.故选B. 1.根据函数的图象研究函数性质的方法 (1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域. (2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性. (3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性. 2.利用函数图象研究不等式问题时，当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解. 3.利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围. 对点练3.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　　) A.－ B.－ C.－1 D.－2 答案：C 解析：由图象知所以f(x)＝　故f(－3)＝5－6＝－1.故选C. 对点练4.已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　) A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：不等式f(x)＞0等价于不等式2x＞x＋1，作出函数y＝2x和函数y＝x＋1的图象，如图所示，易知两个函数图象的交点坐标为(0，1)和(1，2)，观察函数图象可知，当x＜0或x＞1时，函数y＝2x的图象在函数y＝x＋1图象的上方，此时2x＞x＋1，故不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D. 对点练5.设函数f(x)＝｜x2－2x｜－ax－a，其中a＞0，若只存在两个整数x，使得f(x)＜0，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：f(x)＝｜x2－2x｜－ax－a＜0，则｜x2－2x｜＜ax＋a，分别画出y＝｜x2－2x｜与y＝a(x＋1)的图象，如图所示. 因为只存在两个整数x，使得f(x)＜0， 所以当x＝1时，｜12－2｜＝1，令2a＝1， 解得a＝，经检验，此时有两个整数使f(x)＜0， 即x＝0或x＝2，结合图象可得实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $