第1章 第5讲 第2课时 一元二次方程、不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕一元二次方程、不等式核心考点，以三个“二次”关系为纽带构建知识体系，涵盖定义、解法（含参数、分式、绝对值）及恒成立问题。通过考点梳理（表格对比Δ不同情形）、方法指导（分式不等式转化、参数分类讨论）、真题训练（链接高考题与教材题），帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义注重数学思维与模型意识培养，如含参数不等式通过分类讨论发展推理能力，恒成立问题用主参变换法提升运算能力。设置自测诊断、分层对点练，配合一题多变（如恒成立问题条件变式），确保高效突破。助力学生形成解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第2课时　一元二次方程、不等式 【课程标准】　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.三个“二次”间的关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x｜x＜x1， 或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 【常用结论】 1.分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g＞0(＜0). (2)≥0⇔ 2.绝对值不等式的解法 绝对值不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；｜x｜＜a(a＞0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 3.一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0 B.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0 D.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集 答案：AD 2.(链接人教A必修一P53T1)不等式－2x2＋x≤－3的解集为　　　　　　　　. 答案：(－∞，－1]∪ 解析：由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥，故不等式的解集为(－∞，－1]∪. 3.不等式＜0的解集为　　　　　　 　. 答案：(2，3) 解析：＜0等价于(x－3)(x－2)＜0，解得2＜x＜3.故不等式的解集为(2，3). 4.(链接北师大必修一P41T1)若不等式x2＋ax＋b＞0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则a＋b＝　　　　. 答案：－3 解析：由题意可得－a＝－1＋2，b＝(－1)×2，即a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3. 学生用书⬇第18页 考点一　 三个“二次”的关系 自主练透 1.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝(　　 ) A.14 B.－14 C.10 D.－10 答案：B 解析：依题意知故a＋b＝－14.故选B. 2.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－4，或x≥5}，则下列说法正确的是(　　) A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－5} C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为 D.a＋b＋c＞0 答案：AC 解析：由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，即a＞0，故A正确；因为－4，5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以所以 bx＋c＞0，即－ax－20a＞0，解得x＜－20，故B错误；不等式cx2－bx＋a＜0等价于－20ax2＋ax＋a＜0，即20x2－x－1＞0，即(5x＋1)(4x－1)＞0，解得x＜－或x＞，故C正确；因为1∉{x｜x≤－4，或x≥5}，所以a＋b＋c＜0，故D错误.故选AC. 3.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为　　　　. 答案： 解析：由题意知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2.又a＞0，解得a＝. 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 考点二　一元二次不等式的解法(高考超重点) 多维探究 角度1　不含参数的一元二次不等式(分式不等式) 1.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集为(　　) A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1} 答案：C 解析：由≥2，得≥0，得≤0，可得得－2≤x＜1.故选C. 2.不等式3－ ＜x的解集为　　　　　　. 答案：{x｜0＜x＜1，或x＞2} 解析：不等式3－＜x等价于＞0，等价于x(x2－3x＋2)＞0，即x(x－1)(x－2)＞0，由数轴标根法得所求不等式的解集为{x｜0＜x＜1，或x＞2}. 3.求下列不等式的解集： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)｜x｜(1－2x)＞0； (3)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于即x＜且x≠0， 所以原不等式的解集为. (3)原不等式等价于⇔⇔ ⇔ 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x｜－2≤x＜－1，或2＜x≤3}. 角度2　含参数的一元二次不等式 解下列关于x的不等式： (1)x2－(a＋1)x＋a＜0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)； (3)ae2x－(a＋1)ex＋1＜0. 解：(1)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0. 当a＞1时，原不等式的解集为{x｜1＜x＜a}； 当a＝1时，原不等式的解集为⌀； 当a＜1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜1}. (2)原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以a(x－)(x－1)＜0. 当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞1时，原不等式的解集为. (3)令t＝ex(t＞0)， 所以原不等式可化为(at－1)(t－1)＜0， 当a≤0时，不等式可化为t－1＞0，解得t＞1，即ex＞1，解得x＞0； 当a＞0，所以a(t－ ) (t－1)＜0， 当a＞1时，解得＜t＜1，即＜ex＜1，解得－ln a＜x＜0； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解得1＜t＜，即1＜ex＜，解得0＜x＜－ln a. 综上，当a≤0时，原不等式的解集为； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞1时，原不等式的解集为. 【教师备选】　已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A.[－3，－2)∪[4，5) B.(－3，－2]∪(4，5] C.(－3，－2]∪[4，5) D.[－3，－2)∪(4，5] 答案：D 解析：不等式x2－(a＋1)x＋a＜0，可化为(x－a)(x－1)＜0，当a＝1时，不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为空集，不符合题意；当a＞1时，不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(1，a)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则4＜a≤5；当a＜1时，不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(a，1)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则－3≤a＜－2，综上可得，实数a的取值范围是[－3，－2)∪(4，5].故选D. 　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类；(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数；(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 注意：对于复合指数(对数、三角)不等式，可以利用换元法或整体思想，转化为一元二次不等式求解，同时注意换元前后对未知数取值范围的影响. 学生用书⬇第19页 对点练1.(多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式x2＋x－2＞0的解集为{x｜x＜－2，或x＞1} B.不等式≤1的解集为{x｜－3≤x＜2} C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3} D.设x∈R，则“｜x－1｜＜1”是“＜0”的充分不必要条件 答案：ABD 解析：对于A，因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2＞0的解集为{x｜x＜－2，或x＞1}，故A正确；对于B，因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；对于C，由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1，或x≥3}，故C错误；对于D，由｜x－1｜＜1，可得－1＜x－1＜1，解得0＜x＜2，由＜0，可得－4＜x＜5，因此，“｜x－1｜＜1”是“＜0”的充分不必要条件，故D正确.故选ABD. 【教师备选】　不等式(x－2)(x＋3)＞x－2的解集为　　　　　. 答案：{x｜x＜－2，或x＞2} 解析：原不等式可化为(x－2)(x＋2)＞0，所以原不等式的解集为{x｜x＜－2，或x＞2}. 对点练2.解关于x的不等式x2－ax＋1＜0，a∈R. 解：当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀， 当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝， 原不等式的解集为{x｜＜x＜}. 综上可知，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀， 当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜＜x＜}. 考点三　一元二次不等式恒成立问题 师生共研 (一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P58T6)当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？ 解：当k＜0时，要使一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立， 则二次函数y＝2kx2＋kx－的图象在x轴下方， 即Δ＝k2－4×2k×＜0，得－3＜k＜0. 当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－的图象开口向上，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0不可能对一切实数x都成立. 综上可知，实数k的取值范围是(－3，0). [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变条件)已知函数f(x)＝kx2－kx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－k恒成立，则实数k的取值范围是　　　　. 答案： 解析：要使f(x)＜5－k在x∈[1，3]上恒成立， 即k＋k－6＜0在x∈[1，3]上恒成立. 法一：令g＝k＋k－6，x∈[1，3].当k＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g＝g(3)，即7k－6＜0，所以k＜，所以0＜k＜；当k＝0时，－6＜0恒成立；当k＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g＝g(1)，即k－6＜0，所以k＜6，所以k＜0.综上所述，实数k的取值范围是. 法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，k(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，所以k＜在x∈[1，3]上恒成立.令y＝.因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需k＜即可.所以实数k的取值范围是. 2.(变条件、变设问)已知函数f(x)＝kx2－kx－1.若对于k∈[1，3]，f(x)＜5－k恒成立，则实数x的取值范围是　　　　. 答案：(，) 解析：要使f(x)＜5－k在k∈[1，3]上恒成立，即k(x2－x＋1)－6＜0在k∈[1，3]上恒成立.记f(k)＝(x2－x＋1)k－6，显然函数y＝f(k)(k∈[1，3])的图象是一条线段，由不等式恒成立可得故不等式组等价于x2－x－1＜0，解得＜x＜，所以实数x的取值范围是(，). 【教师备选】　若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是　　　　　. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，由已知可得＞0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得解得x＜－1或x＞3. 一元二次不等式恒成立问题的解题策略 前提：(1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；(2)弄清楚是在R上恒成立，还是在给定区间上恒成立 判别式法 适用于“在R上恒成立”问题(典例2) 数形结合法、分离法、分类讨论法 适用于“在给定区间上恒成立”问题(变式探究1)，此时不能用判别式Δ 主参变换法 适用于“已知参数范围求函数自变量范围”问题(变式探究2)，此时的解题思路是“更换主元”，把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解 对点练3.(一题多问，一题练透)已知关于x的不等式mx2－2x－m＋1＜0. (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？请说明理由. (2)若不等式对任意x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围. (3)对于m∈[－2，2]，不等式恒成立，求实数x的取值范围. (4)若不等式在[2，3]上有解，求实数m的取值范围. 解：(1)当m＝0时，－2x＋1＜0对任意x∈R不恒成立，不满足；当m＞0时，不满足； 当m＜0时，Δ＝4－4m(1－m)＝4m2－4m＋4＜0无解. 故不存在实数m，使得不等式对任意x∈R恒成立. (2)令f(x)＝mx2－2x－m＋1. 当m＞0时，解得m＞1； 当m＝0时，－2x＋1＜0在[0，1]上不恒成立； 当m＜0时，因为二次函数图象的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，所以只需f(0)＝－m＋1＜0，解得m＞1，矛盾. 综上，实数m的取值范围是(1，＋∞). (3)利用主元法，设g(m)＝(x2－1)m－2x＋1， 若当m∈[－2，2]时，g(m)＜0恒成立， 则 解得＜x＜， 所以实数x的取值范围是(，). (4)因为x∈[2，3]，不等式可整理为m＜，即m＜()max， 设2x－1＝t∈[3，5]，则x2－1＝， 所以m＜()max＝()max＝()max. 因为函数y＝x和函数y＝－在[3，5]上均为增函数，所以函数y＝t－＋2在[3，5]上为增函数，则函数y＝在[3，5]上为减函数， 所以m＜()max＝1. 故实数m的取值范围是(－∞，1). 学生用书⬇第20页 学科网（北京）股份有限公司 $