第二十三章 一次函数 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 人教版初中数学第二十三章一次函数单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定义、图像性质及实际应用，融合科技与生活情境，体现数学眼光、思维与语言素养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|一次函数定义、图像与性质、函数与方程不等式|结合弹簧伸长（7题）、无人机运动（10题）等情境，考查抽象能力与几何直观| |填空题|4题|一次函数解析式、交点坐标、图像应用|通过函数图像（15题）、分段函数性质（16题），培养推理意识与数据观念| |解答题|6题|函数建模、综合应用与探究|设计购车方案（21题）、虹吸实验（22题）等真实问题，融合运算能力与模型观念，体现应用意识|

2025-2026学年度人教版第二十三章测试卷 一、单选题 1．下列四个函数中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若点在一次函数的图象上，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 4．已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（     ） A．2 B．1 C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 8．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 9．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度 时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 10．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 11．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，…如此运动下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 14．二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______________ ． 15．一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 16．已知点，为函数图象上两点，下列结论：①函数的最小值为；②若，则；③若点，在该函数的图象上，当时，；④若方程有两个解，则的取值范围是；其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题 17．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)当自变量满足：，求对应函数值的取值范围． 18．已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，该函数图像经过点，请判断是否经过点． (2)若，，点，在该函数图像上，且，判断，的大小关系． 19．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 20．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求的取值范围． 21．某公司拟采购一辆运输车，现面临传统燃油（汽油）车与电车两种选型方案．一辆传统燃油车的购买成本是13万元，每千米的燃油费用为元；一辆电车的购买成本为20万元，每千米的电费为元．设车辆行驶路程为（单位：万千米），传统燃油车总费用为（单位：万元），电车的总费用为（单位：万元）． (1)请写出，关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)若公司预算不超过25万，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？ (3)在平面直角坐标系中，分别画出两个函数的图像．观察图像，根据运输业务，当车辆的总路程达到50万千米，你认为购买哪种车更合算？ 22．如图1，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度v与时间t的关系成线性关系，其变化如图2所示．在实验开始的6s后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． (1)求时，水流速度v与时间t的函数解析式； (2)求第6s的水流速度； (3)若虹吸管水流方向的横截面面积为，当每秒出水量为时，求此时对应的时间． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度人教版第二十三章测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C A A A C B 题号 11 12 答案 D C 1．B 【详解】解：一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数， 选项A中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； 选项B中，符合的形式，其中，，满足一次函数定义； 选项C中不是整式函数，不符合一次函数定义； 选项D中不是整式函数，不符合一次函数定义 2．D 【分析】点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，先代入横坐标求出的值，再根据横纵坐标的符号判断点所在象限即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入解析式，得 ， ∴点的坐标为， ∵横坐标，纵坐标 ∴点在第四象限． 3．A 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再通过两点纵坐标的大小关系得到横坐标的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该直线上，且，即， ∴． 4．B 【分析】利用点在直线上的坐标满足直线解析式，得到关于的表达式，再结合求出的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵直线经过点和， ∴，， ∵， ∴ ， ∴或 解得：， 所以的值可能为． 5．C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 6．A 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 7．A 【分析】先从表格中找出弹簧伸长量和重物质量的变化规律，得到与的函数关系式后，代入的值计算即可． 【详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 8．A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 9．C 【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D． 【详解】解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意； 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得， 所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意； 当时，， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意； 小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意． 10．B 【分析】数形结合可得答案． 【详解】解：由题可知：甲从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，起飞时甲、乙高度不相同，故A不正确； 速度路程时间，由两图像交点知，相同时间内，甲上升的距离大于乙上升的距离，甲无人机的上升速度更快，故B正确，C不正确，D不正确． 11．D 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 12．C 【分析】根据题意依次求出点的坐标，发现点与点重合，从而得出动点运动的循环周期为，再根据的余数确定点的位置即可求解. 【详解】解：对于直线， ∵当时，， ∴， 当时，， 解得，则， ∵点，且， ∴点的纵坐标为， 把代入得， 解得， ， ， ∴， ， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， 同理可得，， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ，此时点与点重合， ∴动点的运动每次为一个循环， ， ∴点与点重合， ∴点的坐标为 13． 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 14． 【详解】解：由题意，∵二元一次方程组的解为对应一次函数的图象的交点的横坐标与纵坐标， ∴二元一次方程组的解为， 则一次函数与的图象的交点坐标为． 15． 【详解】解：由图象可知，的解集，即的解集为. 16． ①②④ 【分析】解：根据解答①；再根据函数的图象关于直线对称，可得点，关于直线对称，解答②；然后当时，对有，随的增大而减小解答③；对于④，先整理方程得 ，可得直线 恒过定点，将代入直线方程得，解得，此时只有一个交点，当时，直线与平行，此时只有一个交点，再结合函数图象可得解答即可． 【详解】解：① ， 函数的最小值为，故①正确； ② 函数的图象关于直线对称， ，可得，即点，关于直线对称， ，故②正确； ③当 ，即时，对有，随的增大而减小， ， ，不满足，故③错误； ④ 整理方程得，直线恒过定点， 函数中，时，斜率为；时，斜率为， 将代入直线方程得，解得，此时只有一个交点， 当时，直线与平行，此时只有一个交点， 结合函数图象可得，当时，直线与有两个交点，即方程有两个解，故④正确． 所以正确的是①②④． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数， （2）根据（1）所求，先求出、时，对应的函数值，再根据解析式可得y随x的增大而减小，即可得出函数值的取值范围． 【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， 当时，， 当时，， ∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，． 18．(1)函数图像经过点 (2) 【分析】（1）首先利用待定系数法解得该一次函数解析式，然后验证是否经过点即可； （2）首先确定该一次函数的增减性，然后判断，的大小关系即可． 【详解】（1）解：把，点代入， 得，解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， 所以该函数图像经过点； （2）∵当时，， 当时，， ∴该函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴． 19．(1)； (2)2；4 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据三角形面积公式，写出函数解析式即可； （2）根据函数解析式，得出m、n的值即可； （3）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （4）把分别代入和，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∵E为的中点， ∴， 当时，点P在上，，则： ； 当时，点P在上，，则： ； （2）解：把代入得：，即； ∵时，函数解析式为， ∴时，，即； （3）解：函数图象，如图所示： （4）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； 综上，当或时，． 20．(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，，即，然后求出，则，同理，再根据面积为即可求解； （）由（）知一次函数表达式为，由，则随的增大而增大，所以通过当时，，当时，，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入， 得， 解得； （2）解：由（）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图象与坐标轴围成的面积为； （3）解：由（）知，一次函数表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴的取值范围为． 21．(1)， (2)传统燃油车最多行驶8万千米，电车最多行驶6.25万千米，选择传统燃油车 (3)图见解析，选择购买电车 【分析】（1）直接根据题意列函数关系式即可； （2）分别求得、两种情况下x的取值范围，然后比较即可解答； （3）先根据题意画出函数图像，然后根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，． （2）解：令，即，解得． 令，即时，解得． ∵，所以即在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车． （3）解：根据题意画函数图像如下： 由图像可知，当行驶总路程为50万千米时，电车的总费用明显低于传统燃油车，所以选择购买电车． 22．(1) (2) (3)此时的时间为第 【分析】（1）因为时，与成一次函数关系，所以可设一次函数解析式，利用图2中和时的值代入求解． （2）先求出当时，水流速度v与时间t的函数解析式为，再将代入计算对应的值． （3）因为每秒出水量等于横截面积乘以水流速度，所以先根据出水量求出对应的值，再水流速度判断的时间范围，代入对应区间的函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为． （2）解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为， 当时，， ∴第6s的水流速度为． （3）解：∵每秒出水量为， ∴水流速度为， 由（2）得在范围内，水流速度最小为， ∴将代入中，得，解得， ∴当每秒出水量为时，此时的时间为第． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $