学易金卷：高二数学下学期期末真题重组卷【天津专用，测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章～选择性必修第三册】

**基本信息** 高二数学期末真题重组卷，整合天津多区期末真题，覆盖选择性必修第二、三册核心内容，注重数学思维与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|集合、充分必要条件、函数零点、独立性检验|基础概念辨析，如第4题结合临界值表考查统计推断| |填空题|6/30|定义域、复数运算、线性回归、概率计算|知识应用，如第13题以答题情境考查全概率公式| |解答题|5/75|概率分布、独立性检验（马街书会文化）、导数综合|综合应用，如第18题融合非遗文化与统计建模，第19题导数单调性讨论体现逻辑推理，第20题函数最值证明发展数学思维|

■■■ ■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 n 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2IA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][CI[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 13 1 14」 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章~选择性必修第三册。 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（24-25高二下·天津·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·天津河西·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津河西·期末）利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（ ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 5．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）下列说法正确的个数是（   ） ①如果记录了x，y的几组数据分别为，那么关于的经验回归直线必过点； ②残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越差； ③样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有关系； ④对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关. A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·天津·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 8．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10．（23-24高二下·天津滨海新区·期末）函数的定义域是____________． 11．（23-24高二下·天津河东·期末）计算（i为虚数单位）的值为______. 12．（23-24高二下·天津西青·期末）已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 13．（23-24高二下·天津西青·期末）现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为_______． 14．（23-24高二下·天津南开·期末）已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 15．（23-24高二下·天津南开·期末）若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（23-24高二下·天津和平·期末）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 17．（23-24高二下·天津·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)若，，求的值. 18．（23-24高二下·天津·期末）“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ (2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 19．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 20．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数，其中实数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上的最大值是0，求的取值范围； (3)当时，证明：. 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章~选择性必修第三册。 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（24-25高二下·天津·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以 故选：D 2．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由不等式，解得或，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二下·天津河西·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在单调递减，所以，即， 所以， 故选：A． 4．（24-25高二下·天津河西·期末）利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（ ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 【答案】D 【详解】因为， 所以在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”， 故选：D. 5．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）下列说法正确的个数是（   ） ①如果记录了x，y的几组数据分别为，那么关于的经验回归直线必过点； ②残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越差； ③样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有关系； ④对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，由题意可得，所以关于的经验回归直线必过点，故①正确； 对于②，残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越好，故②错误； 对于③，样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有线性关系，但可能存在其它关系，故③错误； 对于④，对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关，故④正确. 故选：B. 6．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得：函数定义域为，且在上单调递增. 因为函数在上单调递减， 所以 因为， 所以由零点的存在性定理可得：该函数的零点所在区间是. 故选：C. 7．（24-25高二下·天津·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种， 所以，满足条件的参赛方案有种. 故选：B 8．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题可知在上恒成立， 当时，在上恒成立，不合要求，舍去； 故，则，设， 可得，即在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：B 9．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 因此 当时，由得，即， 当时，由得，即， 所以关于的方程有且仅有四个相异实根，根据对称性可知当时，有且仅有不同两个实数根， 即当时，有且仅有不同两个实数根， 记，则， 当，故在单调递减，在单调递增，且当 作出的大致图像：    结合直线恒过定点， 当直线与相切时，设切点为，则此时切线方程为；，即， 因此， 记函数，则，当，故在单调递增，在单调递减， 故，因此满足的唯一且， 此时切线的斜率，此时切线与有唯一的交点， 结合函数图像可知：当且时，此时与有两个不同的交点， 故选：C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．（23-24高二下·天津滨海新区·期末）函数的定义域是____________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 11．（23-24高二下·天津河东·期末）计算（i为虚数单位）的值为______. 【答案】 【详解】. 故答案为： 12．（23-24高二下·天津西青·期末）已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 【答案】 【详解】由表格中的数据可得，， 将点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 13．（23-24高二下·天津西青·期末）现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为_______． 【答案】0.77/ 【详解】由全概率公式可知，他做对该题的概率为. 故答案为：0.77. 14．（23-24高二下·天津南开·期末）已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 【答案】18 【详解】由，得， 又，即，，， 故 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值为18 故答案为：18 15．（23-24高二下·天津南开·期末）若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】令，依题意，直线的斜率在函数图象公切线斜率之间， 设公切线与函数图象相切的切点分别为， 求导得，显然切线过点， 即，又，且， 于是，整理得，解得或， 因此两条公切线的斜率分别为，如图， 观察图象，得当时，存在实数，使得关于的不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（23-24高二下·天津和平·期末）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【详解】（1）由题意：的值可以为：0，1，2，3，且： ，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . （2）事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数相等”，则二等品（或三等品）的件数记为，则可以为1，2， , 所以. 17．（23-24高二下·天津·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【详解】（1） ； （2） ； （3），又， 所以. 18．（23-24高二下·天津·期末）“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ (2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关． (2)①概率为；②的分布列见解析；数学期望 【详解】（1）补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． （2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． ②的可能取值为， ， ， 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望. 19．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得； （2）由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 20．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数，其中实数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上的最大值是0，求的取值范围； (3)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数图象在处的切线方程为. （2）当时，，， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值； 当时，由，得，函数在上单调递增， ，，则0不可能是在上的最大值； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减， ，，即0是在上的最大值， 所以的取值范围. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以恒成立，即成立. 试卷第14页，共14页 试卷第2页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A A D B C B B C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12．2.2 13．0.77 14．18 15． 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） (1)分布列见解析； (2) 【详解】（1）由题意：的值可以为：0，1，2，3，且： ，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . （2）事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数相等”，则二等品（或三等品）的件数记为，则可以为1，2， , 所以． 17．（15分） (1) (2) (3)1 【详解】（1） ； （2） ； （3），又， 所以. 18．（15分） (1)列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关． (2)①概率为；②的分布列见解析；数学期望 【详解】（1）补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． （2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． ②的可能取值为， ， ， 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望 19．（15分） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得； （2）由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 20．（16分） 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数图象在处的切线方程为. （2）当时，，， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值； 当时，由，得，函数在上单调递增， ，，则0不可能是在上的最大值； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减， ，，即0是在上的最大值， 所以的取值范围. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以恒成立，即成立． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章~选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共45分） 1、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（24-25高二下·天津·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·天津河西·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津河西·期末）利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（ ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 5．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）下列说法正确的个数是（   ） ①如果记录了x，y的几组数据分别为，那么关于的经验回归直线必过点； ②残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越差； ③样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有关系； ④对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关. A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·天津·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 8．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．（23-24高二下·天津滨海新区·期末）函数的定义域是____________． 11．（23-24高二下·天津河东·期末）计算（i为虚数单位）的值为______. 12．（23-24高二下·天津西青·期末）已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 13．（23-24高二下·天津西青·期末）现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为_______． 14．（23-24高二下·天津南开·期末）已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 15．（23-24高二下·天津南开·期末）若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_______ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（23-24高二下·天津和平·期末）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 17．（23-24高二下·天津·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)若，，求的值. 18．（23-24高二下·天津·期末）“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ (2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 19．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 20．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数，其中实数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上的最大值是0，求的取值范围； (3)当时，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025-2026学年高二数学下学期期末真题重组卷 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 4 分，共 2 0 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． _________________ ___ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 60 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $