第4章 第23讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

**基本信息** 以“公式应用—变形转化—综合迁移”为主线，通过分层题型训练两角和差公式的运算能力与推理意识，突出角的拆分与公式逆用技巧。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-2题|诱导公式转化角、同角关系求正切|从三角函数定义到两角和差公式直接应用| |公式变形|3-8题|方程思想（加减消元）、二倍角公式代换|公式正向展开与逆向构造的逻辑关联| |综合拓展|9-15题|角的组合（2α=α+β+α-β）、平方关系求最值|从单一公式到多公式联用的知识网络构建|

课时分层测评33　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　) A.－ B. C.－ D.1 答案：B 解析：sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77°＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝.故选B. 2.已知sin α＝，α∈(，π)，则tan(－α)＝(　　) A.－7 B.－ C. D.7 答案：D 解析：因为sin α＝，α∈(，π)，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，tan(－α)＝＝＝7.故选D. 3.(2025·浙江温州一模)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(　　) A. B.－ C.5 D.－5 答案：C 解析：sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，两式相减得2cos αsin β＝，两式相加得2sin αcos β＝，所以＝＝5，即＝5.故选C. 4.(2025·安徽江淮十校联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：D 解析：因为sin 2α＝sin［2(α＋)－］＝－cos(2α＋)，又cos＝cos 2＝2cos2(α＋)－1＝2×－1＝－，所以sin 2α＝.故选D. 5.(2025·山东泰安一模)已知tan＝3，则cos 2α＝(　　) A.－ B.－ C.－ D. 答案：C 解析：根据题意，tan＝＝3，解得tan α＝－2，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选C. 6.已知α，β∈，若sin＝，cos(β－)＝，则sin(α－β)的值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin＝－，所以sin(α－β)＝－sin［(α＋)－(β－)］＝－×＋×＝.故选A. 7.(多选)下列等式能够成立的为(　　) A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 答案：BC 解析：对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin (75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos 105°cos 75°－sin 105°sin 75°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误.故选BC. 8.(多选)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　) A.tan α＝－ B.sin 2α＝ C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－ 答案：AC 解析：cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝.因为α∈，所以sin α＝，cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝－.故选AC. 9. －＝　　　　. 答案：4 解析：原式＝ ＝＝ ＝ ＝4. 10.(1)(原创)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则tan 2α的值为　　　　. (2)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin(2α＋β)的值为　　　　. 答案：(1)－1　(2)－ 解析：(1)根据题意，tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1. (2)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝＝.因为0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π.因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝＝，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝－. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2025·广东佛山二模)若α＋β＝(α≠＋kπ，β≠＋kπ，k∈Z)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案：D 解析：因为α＋β＝，则tan＝tan ＝tan(π＋)＝tan ＝1，则tan＝，所以＝1，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋1＝2.故选D. 12.(多选)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则(　　) A.cos β＝ B.sin β＝ C.cos(α－β)＝ D.sin(α－β)＝－ 答案：AC 解析：因为α∈(0，)，cos α＝，所以sin α＝.又α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝，故A正确；sin β＝，故B错误；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，故C正确；sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，故D错误.故选AC. 13.(15分)已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝. (1)(一题多解)证明：tan α＋5tan β＝0； (2)计算的值. 解：(1)证明：法一：由条件sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝， 得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)， 即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β， 整理得sin αcos β＝－5cos αsin β， 也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. 法二：由条件sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝， 即sin αcos β－cos αsin β＝， sin αcos β＋cos αsin β＝， 得sin αcos β＝，cos αsin β＝－， 从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. (2)由于tan(α－β)＝⇒tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， 所以 ＝ ＝ ＝－＝. (每小题5分，共10分) 14.(2025·T8联考)若cos α＋cos β＝，cos＝－，其中α，β∈，则sin α＋sin β＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：令sin α＋sin β＝t①，因为cos α＋cos β＝②，所以由①2＋②2，得2＋2cos＝t2＋.又cos＝－，故t2＝.又t＞0，所以t＝.故选A. 15.(2025·浙江杭州二模)若sin x＋cos x＝2sin α，sin xcos x＝sin2β，则(　　) A.4cos22α＝cos22β B.cos22α＝4cos22β C.4cos 2α＝cos 2β D.cos 2α＝4cos 2β 答案：A 解析：将sin x＋cos x＝2sin α平方得1＋2sin xcos x＝4sin2α，结合sin xcos x＝sin2β可得1＋2sin2β＝4sin2α，即1＋2sin2β－4sin2α＝0，即2cos 2α－cos 2β＝2－＝1＋2sin2β－4sin2α＝0，即2cos 2α＝cos 2β，故C、D错误；由2cos 2α＝cos 2β两边平方可得4cos22α＝cos22β，故A正确，B错误.故选A. 学生用书⬇第106页 学科网（北京）股份有限公司 $