第3章 第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

课时分层测评20　导数的概念及其意义、导数的运算

(时间：60分钟　满分：85分)

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(1—8题，每小题5分，共40分)

1.若函数f(x)满足＝2，则＝(　　)

A.2 B.1

C.0 D.－1

答案：D

解析：因为＝2，所以＝－＝－×2＝－1.故选D.

2.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，那么f(1)＋f'(1)等于(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

答案：C

解析：根据题意得f(1)＝×1＋2＝，f'(1)＝，所以f(1)＋f'(1)＝＋＝3.故选C.

3.(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)

A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1

C.y＝2x D.y＝3x

答案：B

解析：由f(x)＝ex＋2x，得f'(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f'(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.故选B.

4.已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案：C

解析：根据题意知f'(x)＝2x＋2－.因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以f'＝2，即3－2m＝2，解得m＝.故选C.

5.(新定义)(多选)定义方程f(x)＝f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　)

A.g(x)＝x·2x B.g(x)＝－ex－2x

C.g(x)＝ln x D.g(x)＝sin x＋2cos x

答案：ABC

解析：对于A，g'(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝，所以g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g'(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，所以g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g'(x)＝，根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，所以g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g'(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，所以tan x＝－，根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个根，所以g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.故选ABC.

6.(多选)过点A(1，2)与曲线f(x)＝x3＋x相切的直线方程可能为(　　)

A.2x＋y－4＝0 B.3x－y－1＝0

C.4x－y－2＝0 D.7x－4y＋1＝0

答案：CD

解析：因为f(x)＝x3＋x，所以f'(x)＝3x2＋1.若A点是切点，则k＝f'(1)＝4，则切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故C正确；若A点不是切点，设切点为B(t，t3＋t)，则曲线f(x)在B处的切线斜率为kAB＝f'(t)＝3t2＋1.又因为直线AB的斜率为kAB＝，则3t2＋1＝，化简可得(2t＋1)(t－1)2＝0，解得t＝－(注意t≠1)，所以切线斜率为f'＝，则切线方程为y－2＝(x－1)，即7x－4y＋1＝0，故D正确.故选CD.

7.已知f(x)＝ex－f'(0)x，则f(2)＝　　　　.

答案：e2－1

解析：由f(x)＝ex－f'(0)x得f'(x)＝ex－f'(0)，则f'(0)＝e0－f'(0)，得f'(0)＝，故f(x)＝ex－x，因此f(2)＝e2－1.

8.已知点P是曲线y＝x2－3ln x上任一点，则P到直线x＋y＋＝0的距离的最小值为　　　　.

答案：

解析：设P，因为y＝x2－3ln x，则y'＝2x－.根据题意有2x0－＝－1，解得x0＝1或x0＝－(舍)，所以P，此时P到直线x＋y＋＝0的距离为d＝＝.

9.(10分)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数).

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程.

解：(1)f'(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f'(1)＝1－＝0，解得a＝e.

(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f'(x)＝1－.