第2章 第10讲 幂函数与几类常见的特殊函数(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

课时分层测评12　幂函数与几类常见的特殊函数

(时间：60分钟　满分：85分)

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(1—8题，每小题5分，共40分)

1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)

A.1或3 B.1 C.3 D.2

答案：B

解析：由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8＞0，解得m＝1.故选B.

2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a＜c＜b B.b＜c＜a

C.b＜a＜c D.c＜a＜b

答案：C

解析：因为0＜0.40.6＜0.60.6＜0.60.4，又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，所以b＜a＜c.故选C.

3.已知幂函数f(x)的图象经过点，则函数g(x)＝(x2－6)f(x)在区间上的最大值是(　　)

A.－2 B.－3 

C.－4 D.－5

答案：D

解析：设幂函数f(x)＝xα，α∈R，因为其图象过点，所以＝2α，解得α＝－1，则f(x)＝＝，则函数g(x)＝(x2－6)f(x)＝＝x－ .因为函数y＝x－上单调递增，所以g(x)在上单调递增，则当x∈时，g(x)max＝g(1)＝－5.故选D.

4.已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(　　 )

A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数

C.D(x)的值域为[0，1] D.D(π)＞D(3.14)

答案：A

解析：对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，故A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，故B不正确；对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，故C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)＜D(3.14)，故D不正确.故选A.

5.(多选)已知函数f(x)＝x－，下面结论中正确的有(　　)

A.f(x)的图象关于原点对称

B.f(x)的图象关于y轴对称

C.方程f(x)＝3的解集为{－1，4}

D.∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，不等式＞0恒成立

答案：ACD

解析：函数f(x)的定义域是{x｜x≠0}，因为f(－x)＝－x－()＝－(x－)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确，B错误；令f(x)＝x－＝3，得x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以解集为{－1，4}，故C正确；在(0，＋∞)内任取x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)·().因为0＜x1＜x2，x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，不等式＞0恒成立，故D正确.故选ACD.

6.(多选)对于函数f(x)＝(x∈R)，下列结论中正确的是(　　 )

A.f(－x＋1)＋f(x－1)＝0

B.当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m有唯一实数解

C.函数f(x)的值域为(－∞，＋∞)

D.∀x1≠x2，＞0

答案：ABD

解析：因为f(－x)＋f(x)＝＋＝0，故f(x)为奇函数.令t＝x－1，即f(－t)＋f(t)＝f(－x＋1)＋f(x－1)＝0，故A正确；当x＞0时，f(x)＝＝1－，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(0)＝0，f(x)＝＜1，且f(x)是奇函数，所以f(x)的值域为(－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，故B正确，C错误；故对∀x1≠x2，＞0，故D正确.故选ABD.

7.若f(x)＝，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集为　　　　.

答案：

解析：因为f(x)＝在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)，所以即2≤x＜，所以不等式的解集为.

8.已知函数f(x)＝x＋(a＞0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a＝　　　　.

答案：4或6＋4

解析：由对勾函数的性质，可得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增.①当≤2，即0＜a≤4时，f(x)在[2，4]上单调递增，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f(2)＝4＋－2－＝2－＝1，解得a＝4；②当≥4，即a≥16时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(4)＝2＋－4－＝－2＝1，解得a＝12(舍去)；③当2＜＜4，即4＜a＜16时，f(x)在[2，)上单调递减，在(，4]上单调递增，f(x)min＝f()＝2，f(x)max＝f(2)或f(4).当f(x)max＝f(2)时，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f()＝2＋－2＝